第一章-1.4.3学习专用.docx

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1．4.3　正切函数的性质与图象
学习目标　1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．
知识点一　正切函数的性质
思考1　正切函数的定义域是什么？
答案　.
思考2　诱导公式tan(π＋x)＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？
答案　 周期性．
思考3　诱导公式tan(－x)＝－tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？
答案　 奇偶性．
思考4　从正切线上看，在上正切函数值是增大的吗？
答案　是．
梳理　函数y＝tan x的图象与性质见下表：
解析式
y＝tan x
图象

定义域

值域
R
最小正周期
π
奇偶性
奇
单调性
在开区间(k∈Z)内都是增函数
知识点二　正切函数的图象
思考1　利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？
答案　根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间上的图象．作法如下：
(1)作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y轴的左侧作单位圆．
(2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．
(3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)．
(4)连线，得到如图①所示的图象．
(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y＝tan x，x∈R且x≠＋kπ(k∈Z)的图象，把它称为正切曲线(如图②所示)．可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．
思考2　我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y＝tan x，x∈的简图吗？怎样画？
答案　能，三个关键点：，(0,0)，，两条平行线：x＝，x＝－.
梳理　(1)正切函数的图象
(2)正切函数的图象特征
正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．
1．函数y＝tan x在其定义域上是增函数．(　×　)
提示　y＝tan x在开区间(k∈Z)上是增函数，但在其定义域上不是增函数．
2．函数y＝tan x的图象的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)．(　×　)
提示　y＝tan x图象的对称中心是(k∈Z)．
3．正切函数y＝tan x无单调递减区间．(　√　)
4．正切函数在区间上单调递增．(　×　)
提示　正切函数在区间上是增函数，不能写成闭区间，当x＝±时，y＝tan x无意义.
类型一　正切函数的定义域、值域问题
例1　(1)函数y＝3tan的定义域为________．
考点　正切函数的定义域、值域
题点　正切函数的定义域
答案　
解析　由－≠＋kπ，k∈Z，得x≠－－4kπ，k∈Z，
即函数的定义域为.
(2)求函数y＝tan2＋tan＋1的定义域和值域．
考点　正切函数的定义域、值域
题点　正切函数的值域
解　由3x＋≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z，
所以函数的定义域为.
设t＝tan，
则t∈R，y＝t2＋t＋1＝2＋≥，
所以原函数的值域是.
反思与感悟　(1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．
(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解．
跟踪训练1　求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域．
考点　正切函数的定义域、值域
题点　正切函数的定义域
解　由题意得即－1≤tan x<1.
在内，满足上述不等式的x的取值范围是.
又y＝tan x的周期为π，
所以函数的定义域是(k∈Z)．
类型二　正切函数的单调性问题
命题角度1　求正切函数的单调区间
例2　求函数y＝tan的单调区间及最小正周期．
考点　正切函数的单调性
题点　判断正切函数的单调性
解　y＝tan＝－tan，
由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－<x<2kπ＋π(k∈Z)，
所以函数y＝tan的单调递减区间是，k∈Z，周期T＝＝2π.
反思与感悟　y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
跟踪训练2　(2019·太原高一检测)求函数y＝3tan的单调区间．
考点　正切函数的单调性
题点　判断正切函数的单调性
解　y＝3tan＝－3tan，
由－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z，得
－＋<x<＋(k∈Z)，
所以y＝3tan的单调递减区间为(k∈Z)．
命题角度2　利用正切函数的单调性比较大小
例3　比较大小：
(1)tan 32°________tan 215°；
(2)tan________tan.
考点　正切函数的单调性
题点　正切函数的单调性的应用
答案　(1)<　(2)<
解析　(1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°，
∵y＝tan x在(0°，90°)上单调递增，32°<35°，
∴tan 32°<tan 35°＝tan 215°.
(2)tan＝tan＝tan，
tan＝tan＝tan，
∵y＝tan x在上单调递增，且－<－，
∴tan<tan，即tan<tan.
反思与感悟　运用正切函数的单调性比较大小的步骤
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；
(2)运用单调性比较大小关系．
跟踪训练3　比较大小：tan_______tan.
考点　正切函数的单调性
题点　正切函数的单调性的应用
答案　>
解析　∵tan＝－tan＝tan ，
tan＝－tan＝tan .
又0＜＜＜，y＝tan x在内单调递增，
∴tan ＜tan ，∴tan＞tan.
类型三　正切函数综合问题
例4　设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
考点　正切函数的综合应用
题点　正切函数的综合应用
解　(1)∵ω＝，∴最小正周期T＝＝＝2π.
令－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)令－＝0，则x＝；令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝；令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝－.
∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)．
反思与感悟　熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线组成，y＝tan x的对称中心为，k∈Z.
跟踪训练4　画出f(x)＝tan |x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．
考点　正切函数的综合应用
题点　正切函数的综合应用
解　f(x)＝tan |x|化为f(x)＝
根据y＝tan x的图象，作出f(x)＝tan |x|的图象，如图所示，
由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为，(k∈N)；单调减区间为，(k＝0，－1，－2，…).
1．函数f(x)＝tan的单调递增区间为(　　)
A.，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
考点　正切函数的单调性
题点　判断正切函数的单调性
答案　C
2．函数y＝tan x＋是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
考点　正切函数的周期性、对称性
题点　正切函数的奇偶性
答案　A
解析　函数的定义域是，且tan(－x)＋＝－tan x－＝－，所以函数y＝tan x＋是奇函数．
3．(2019·绍兴柯桥区期末)函数y＝3tan的最小正周期是(　　)
A. B.
C. D．5π
考点　正切函数的单调性
题点　正切函数单调性的应用
答案　A
4．将tan 1，tan 2，tan 3按大小顺序排列为________．(用“<”连接)
考点　正切函数的周期性、对称性
题点　正切函数的周期性
答案　tan 2<tan 3<tan 1
5．函数y＝tan x的值域是________________．
考点　正切函数的定义域、值域
题点　正切函数的值域
答案　(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析　函数y＝tan x在上单调递增，在上也单调递增，所以函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
1．正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质
(1)正切函数y＝tan x的定义域是，值域是R.
(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为T＝.
(3)正切函数在(k∈Z)上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.
一、选择题
1．函数y＝tan，x∈R且x≠π＋kπ，k∈Z的一个对称中心是(　　)
A．(0,0) B. C. D．(π，0)
考点　正切函数的周期性、对称性
题点　正切函数的对称性
答案　C
2．函数f(x)＝2tan(－x)是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．奇函数，也是偶函数
D．非奇非偶函数
考点　正切函数的周期性、对称性
题点　正切函数的奇偶性
答案　A
解析　因为f(－x)＝2tan x＝－2tan(－x)＝－f(x)，且f(x)的定义域关于原点对称，所以函数f(x)＝2tan(－x)是奇函数．
3．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则(　　)
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
考点　正切函数的单调性
题点　正切函数单调性的应用
答案　B
解析　∵y＝tan ωx在内是减函数，∴ω<0且T＝≥π，∴－1≤ω<0.
4．下列各点中，不是函数y＝tan的图象的对称中心的是(　　)
A. B.
C. D.
考点　正切函数的周期性、对称性
题点　正切函数的对称性
答案　C
解析　令－2x＝，k∈Z，得x＝－.
令k＝0，得x＝；
令k＝1，得x＝－；
令k＝2，得x＝－.故选C.
5．函数f(x)＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得的线段长为，则f的值是(　　)
A．0 B．1 C．－1 D.
考点　正切函数的周期性、对称性
题点　正切函数的周期性
答案　A
解析　由题意，得T＝＝，∴ω＝4.
∴f(x)＝tan 4x，f＝tan π＝0.
6．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)
考点　正切函数的图象
题点　正切函数的图象
答案　D
解析　当<x<π时，tan x<sin x，y＝2tan x<0；
当x＝π时，y＝0；
当π<x<时，tan x>sin x，y＝2sin x<0.故选D.
7．(2019·舟山模拟)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的周期是
B．f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}
C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
D．f(x)的单调递减区间是，k∈Z
考点　正切函数的综合应用
题点　正切函数的综合应用
答案　D
解析　函数f(x)的周期为2π，A错；f(x)的值域为[0，＋∞)，B错；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，
∴x＝不是f(x)的对称轴，C错；
令kπ－<x－≤kπ，k∈Z，
可得2kπ－<x≤2kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间是，k∈Z，D正确．
二、填空题
8．函数f(x)＝tan(ω>0)的最小正周期为2π，则f＝________.
考点　正切函数的周期性、对称性
题点　正切函数的周期性
答案　1
解析　由已知＝2π，所以ω＝，
所以f(x)＝tan，
所以f＝tan＝tan ＝1.
9．比较大小：tan________tan .
考点　正切函数的单调性
题点　正切函数单调性的应用
答案　<
解析　tan＝tan ，tan＝tan ，
又y＝tan x在内单调递增，
所以tan <tan ，
即tan <tan .
10．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为____________．
考点　正切函数的定义域、值域
题点　正切函数的值域
答案　[－4,4]
解析　∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1,1]，
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．
11．已知函数f(x)，任意x1，x2∈(x1≠x2)，给出下列结论：
①f(x＋π)＝f(x)；②f(－x)＝f(x)；③f(0)＝1；
④>0；⑤f>.
当f(x)＝tan x时，正确结论的序号为________．
考点　正切函数的综合应用
题点　正切函数的综合应用
答案　①④
解析　由于f(x)＝tan x的周期为π，故①正确；函数f(x)＝tan x为奇函数，故②不正确；f(0)＝tan 0＝0，故③不正确；④表明函数为增函数，而f(x)＝tan x为区间上的增函数，故④正确；⑤由函数f(x)＝tan x的图象可知，函数在区间上有f>，在区间上有f<，故⑤不正确．
三、解答题
12．判断函数f(x)＝lg的奇偶性．
考点　正切函数的周期性、对称性
题点　正切函数的奇偶性
解　由>0，得tan x>1或tan x<－1.
∴函数定义域为∪(k∈Z)，关于原点对称．
f(－x)＋f(x)＝lg ＋lg
＝lg＝lg 1＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
13．画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．

数学题目大全带答案考点　正切函数的综合应用
题点　正切函数的综合应用
解　由y＝|tan x|，得

教学过程中的建议y＝
其图象如图所示．
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z)，周期为π.
四、探究与拓展
14．函数y＝sin x与y＝tan x的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少？
考点　正切函数的图象

梦想的力量教学反思题点　正切函数的图象
解　因为当x∈时，tan x>x>sin x，
所以当x∈时，y＝sin x与y＝tan x没有公共点，因此函数y＝sin x与y＝tan x在区间[0,2π]内的图象如图所示，

《春雨》阅读答案小学观察图象可知，函数y＝tan x与y＝sin x在区间[0,2π]上有3个交点．
15．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．

教案的教学反思怎么写(1)求f(x)的解析式；

校长在家长会上的讲话(2)求f(x)的单调区间；

新叶阅读答案(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
考点　正切函数的综合应用

最大的书阅读答案题点　正切函数的综合应用
解　(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，

教学过程中的建议即＝.

改革开放的历史性标志因为ω>0，所以ω＝2，
从而f(x)＝tan(2x＋φ)．
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，
即φ＝＋，k∈Z.
因为0<φ<，所以φ＝，
故f(x)＝tan.
(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，
得－＋kπ<2x<kπ＋，k∈Z，
即－＋<x<＋，k∈Z.
所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．
(3)由(1)知，f(x)＝tan.
由－1≤tan≤，
得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，
即－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为.
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