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第四章第四章 数学中公理化方法数学中公理化方法与结构方法与结构方法 公理化方法公理化方法在近代数学发展中起着基本作在近代数学发展中起着基本作用，它思想对各门当代数学理论系统形成有着用，它思想对各门当代数学理论系统形成有着深刻影响，而深刻影响，而数学结构方法数学结构方法则是全方面整理和则是全方面整理和分析数学一个十分合理方法，其观点曾造成一分析数学一个十分合理方法，其观点曾造成一场几乎席卷世界数学教学改革运动，即场几乎席卷世界数学教学改革运动，即“新数新数学学”运动。运动。两种方法均是用来构建数学理两种方法均是用来构建数学理论论体系，一体系，一个是局部，一个是整体。个是局部，一个是整体。本本章章将将概概括括介介绍绍这这两两种种思思想想方方法法，从从中中领领会数学理论构建普通思想方法。会数学理论构建普通思想方法。第1页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述公理化方法基本思想公理化方法基本思想数学是撇开现实世界详细内容来研究其量数学是撇开现实世界详细内容来研究其量性特征形式与关系。其结果只有经过证实才可性特征形式与关系。其结果只有经过证实才可信，而数学证实采取是逻辑推理方法，依据逻信，而数学证实采取是逻辑推理方法，依据逻辑推理规则，每步推理都要有个大前提，我们辑推理规则，每步推理都要有个大前提，我们不难想象到，最初那个大前提是不可能再由另不难想象到，最初那个大前提是不可能再由另外大前提导出，既是说，我们逆推过程总有个外大前提导出，既是说，我们逆推过程总有个“尽头尽头”，一样，概念需要定义，新概念由前，一样，概念需要定义，新概念由前此概念定义，必也出现这么情况最原始概念无此概念定义，必也出现这么情况最原始概念无法定义。法定义。第2页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述所以，我们要想建立一门科学严格理论体所以，我们要想建立一门科学严格理论体系，只能采取以下方法：让该门学科一些概念系，只能采取以下方法：让该门学科一些概念以及与之相关一些关系作为不加定义原始概念以及与之相关一些关系作为不加定义原始概念与公设或公理，而以后全部概念及其性质要求与公设或公理，而以后全部概念及其性质要求均由原始概念与公设或公理经过准确定义与逻均由原始概念与公设或公理经过准确定义与逻辑推理方法演绎出来，这种从尽可能少一组原辑推理方法演绎出来，这种从尽可能少一组原始概念和公设或公理出发，利用逻辑推理标准，始概念和公设或公理出发，利用逻辑推理标准，建立科学体系方法叫做建立科学体系方法叫做公理化方法公理化方法。第3页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 公理化方法历史考查公理化方法历史考查 众众所所周周知知，在在长长达达一一千千多多年年光光芒芒灿灿烂烂希希腊腊文文化化中中，哲哲学学、逻逻辑辑学学、几几何何学学得得到到了了很很大大发发展展，尤尤其其是是哲哲学学家家和和逻逻辑辑学学家家亚亚里里斯斯多多德德，总总结结了了前前人人所所发发觉觉和和创创建建逻逻辑辑知知识识，以以完完全全三三段段论论作作为为出出发发点点，用用演演绎绎方方法法推推导导出出其其余余十十九九个个不不一一样样格格式式全全部部三三段段论论，创创建建了了人人类类历历史史上上第第一一个个公公理理化化方方法法，即即逻逻辑辑公公理理化化方方法法，从从而而为为数数学学公公理理化化方方法法创创造造了了条件。条件。亚里斯多德思想方法深深地影响了公元前亚里斯多德思想方法深深地影响了公元前3世纪希腊世纪希腊数学家欧几里德，后者把形式逻辑公理演绎方法应用于数学家欧几里德，后者把形式逻辑公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上主要著作几何原本。几何学，从而完成了数学史上主要著作几何原本。第4页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 欧几里德几何原本是有史以来用公理欧几里德几何原本是有史以来用公理化思想方法建立起来第一化思想方法建立起来第一门门演演绎绎数学，而且成数学，而且成为为以后很以后很长时长时期期严严格格证实证实典范。几何原本典范。几何原本在数学发展史上树立了一座不朽丰碑，对数学在数学发展史上树立了一座不朽丰碑，对数学发展起了巨大作用，基本上完善了初等几何体发展起了巨大作用，基本上完善了初等几何体系。系。当然，当然，现现在看来因在看来因为为受当初整个科学水平受当初整个科学水平限制，限制，这这种公理化方法种公理化方法还还是很原始是很原始，其公理体，其公理体系还是不完备系还是不完备。所以。所以，称称这一阶段这一阶段为为公理化方公理化方法早期法早期阶阶段段。第5页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 欧几里德几何原本孕育了一个理性精神，成欧几里德几何原本孕育了一个理性精神，成为为展示人展示人类类智慧和智慧和认识认识能力一个光芒典范。能力一个光芒典范。欧几里德欧几里德原本所表述数学观是：原本所表述数学观是：几何理论是封闭演绎体系。原本成功地将几何理论是封闭演绎体系。原本成功地将零碎数学理论编为一个以基本假设到最复杂结论整体零碎数学理论编为一个以基本假设到最复杂结论整体结构。从逻辑结构来看，原本是一个最早形成演结构。从逻辑结构来看，原本是一个最早形成演绎体系，除所用逻辑规则外，具备了其理论推导全部绎体系，除所用逻辑规则外，具备了其理论推导全部前提，从理论发展形势来看是一个封闭理论演绎体系。前提，从理论发展形势来看是一个封闭理论演绎体系。第6页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 抽象化内容。原本中包括都是普通、抽象概抽象化内容。原本中包括都是普通、抽象概念，它所探讨是这些概念和命题之间逻辑关系，由一些念，它所探讨是这些概念和命题之间逻辑关系，由一些给定概念和命题推演出另一些概念和命题。它不考虑这给定概念和命题推演出另一些概念和命题。它不考虑这些概念和命题与社会详细生活关系，也不研究这些数学些概念和命题与社会详细生活关系，也不研究这些数学“模型模型”所由之产生那些显示原型。如在原本中研所由之产生那些显示原型。如在原本中研究了究了“全部全部”矩形（即抽象矩形概念）性质，但不研究矩形（即抽象矩形概念）性质，但不研究任何一个详细矩形实物大小；原本中研究了自然数任何一个详细矩形实物大小；原本中研究了自然数若干性质，但却一点也不包括详细自然数计算及应用。若干性质，但却一点也不包括详细自然数计算及应用。第7页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 公理化方法。原本基本结构是由少数不定义公理化方法。原本基本结构是由少数不定义概念（如点、线、面等）和少许不证自明命题（五个公概念（如点、线、面等）和少许不证自明命题（五个公设和五个公理）出发，定义出该体系中全部其它概念，设和五个公理）出发，定义出该体系中全部其它概念，推演出全部其它命题（定理）。原本就是用这种公推演出全部其它命题（定理）。原本就是用这种公理化方法建立起了几何学逻辑体系，从而成为其后全部理化方法建立起了几何学逻辑体系，从而成为其后全部数学范本。数学范本。在公理化方法早期阶段，它在公理化方法早期阶段，它“严格性严格性”也只是相对也只是相对当初情况而言。譬如，有些基本概念定义不够妥当，有当初情况而言。譬如，有些基本概念定义不够妥当，有些证实只不过是借助于直观等等。些证实只不过是借助于直观等等。第8页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 尤其是尤其是原本中原本中第五公设陈说从字面上第五公设陈说从字面上看很不自明，所以人们从两个方面对它产生了看很不自明，所以人们从两个方面对它产生了怀疑：第一，第五公设是否正确地反应了空间怀疑：第一，第五公设是否正确地反应了空间性质；其二、它本身很可能是一个定理。性质；其二、它本身很可能是一个定理。对于这两个问题，人们从以下几个方面进对于这两个问题，人们从以下几个方面进行了探讨：一是它能否从其它公理推出；二是行了探讨：一是它能否从其它公理推出；二是换一个与它等价而本身却又是很自明公设；三换一个与它等价而本身却又是很自明公设；三是换一个与它相反公设。是换一个与它相反公设。第9页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 经过很多第一流数学家近两千年大量工作，经过很多第一流数学家近两千年大量工作，第一方案还未成功。到了十八世纪中叶，意大第一方案还未成功。到了十八世纪中叶，意大利数学家萨克利吸收了前人正面直接证实而失利数学家萨克利吸收了前人正面直接证实而失败教训，反其道而行之，改用反证法来证实败教训，反其道而行之，改用反证法来证实（将第五公设换成它否定，然后推出矛盾，那（将第五公设换成它否定，然后推出矛盾，那么就能够证实第五公设就是一个定理，即不独么就能够证实第五公设就是一个定理，即不独立于其它公理），并于立于其它公理），并于17331733年公布了他证实，年公布了他证实，但随即很快数学家们发觉他证实有问题。但随即很快数学家们发觉他证实有问题。第10页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 萨克利最先使用归谬法来证实第五公设。他萨克利最先使用归谬法来证实第五公设。他在一本名叫欧几里得无懈可击（在一本名叫欧几里得无懈可击（1733年）年）书中，从著名书中，从著名“萨克利四边形萨克利四边形”出发来证实平行出发来证实平行公设。公设。萨克利四边形是一个等腰双直角四边形，萨克利四边形是一个等腰双直角四边形，如图，其中如图，其中且为直角。且为直角。萨克利指出，顶萨克利指出，顶角含有三种可能性并角含有三种可能性并分别将它们命名为：分别将它们命名为：第11页1、直角假设：、直角假设：和和是直角；是直角；3、锐角假设：、锐角假设：和和是锐角；是锐角；2、钝角假设：、钝角假设：和和是钝角；是钝角；能够证实，直角假设与第五公设等价。萨克利计划是证能够证实，直角假设与第五公设等价。萨克利计划是证实后两个假设能够造成矛盾，依据归谬法就只剩下第一实后两个假设能够造成矛盾，依据归谬法就只剩下第一个假设成立。这么就证实了第五公设。个假设成立。这么就证实了第五公设。萨克利在假定直线为无限长情况下，首先由钝角假萨克利在假定直线为无限长情况下，首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中他取设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中他取得了一系列新奇有趣结果，如三角形三内角之和小于两得了一系列新奇有趣结果，如三角形三内角之和小于两直角；过给定直线外一给定点，有没有数多条直线不与直角；过给定直线外一给定点，有没有数多条直线不与该直线相交，等等。即使这些结果实际上并不包含任何该直线相交，等等。即使这些结果实际上并不包含任何矛盾，但萨克利认为它们太不合情理，便认为自己导出矛盾，但萨克利认为它们太不合情理，便认为自己导出了矛盾而判定锐角假设是不真实。了矛盾而判定锐角假设是不真实。第12页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 数学家们从萨克利错误中得到了启发，数学家们从萨克利错误中得到了启发，锐角假设（三角形内角和小于锐角假设（三角形内角和小于180180）还未造）还未造成矛盾，因而它与其它公理可能是协调。成矛盾，因而它与其它公理可能是协调。即使萨克利证实是错误，但他提出反证即使萨克利证实是错误，但他提出反证法及其所得结果却起了他一直所未料到作用，法及其所得结果却起了他一直所未料到作用，即两种几何并存可能性。也就是说，除了欧即两种几何并存可能性。也就是说，除了欧几里德几何外，还有非欧几何。几里德几何外，还有非欧几何。第13页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 一一直直到到十十九九世世纪纪，由由高高斯斯、罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基、包包耶耶等等许许多多出出色色数数学学家家作作了了大大量量推推导导工工作作都都没没有有发发觉觉矛矛盾盾，于于是是采采取取锐锐角角假假设设（三三角角形形内内角角和和小小于于180180）罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基几几何何系系统统就就产产生生了了。从从此此也也就就冲冲破破了了欧欧几几里里德德几几何何“一一统统天天下下”旧旧观观念念对对人人们们束束缚缚，使使人人们们意意识识到到逻逻辑辑上上无无矛矛盾盾并并不只限于一个几何不只限于一个几何。第14页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 在在18541854年年又又发发觉觉了了钝钝角角假假设设（三三角角形形内内角角和和大大于于180180）也也成成立立黎黎曼曼几几何何系系统统，以以后后人人们们称称这这两种几何为非欧几何。两种几何为非欧几何。非非欧欧几几何何产产生生后后，还还有有两两方方面面问问题题有有待待深深入入处处理理。从从逻逻辑辑方方面面看看，这这种种逻逻辑辑无无矛矛盾盾性性还还有有待待于于从从理理论论上上得得到到严严格格证证实实；从从实实践践方方面面看看，非非欧欧几几何何客客观观原原型型是是什什么么？人人们们还还不不清清楚楚。也也就就是是说说，非非欧欧几几何何到到底底反反应应了了哪哪种种空空间间形形式式也也没没有有得得到到详详细细解解释释。第15页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 到到了了十十九九世世纪纪五五十十年年代代，伴伴随随微微分分几几何何、射射影影几几何何深深入入发发展展，为为非非欧欧几几何何寻寻找找模模型型提提供供了了条条件。件。意意大大利利贝贝特特拉拉米米于于18691869年年在在其其论论文文非非欧欧几几何何实实际际解解释释中中提提出出了了用用欧欧氏氏球球面面作作为为黎黎曼曼几几何何一一个个解解释释（欧欧氏氏球球面面部部分分大大圆圆被被解解释释成成黎黎曼曼几几何何直直线线，球面上点被解，球面上点被解释释成黎曼几何点）。成黎曼几何点）。第16页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 德德国国数数学学家家克克莱莱因因于于18701870年年在在欧欧氏氏平平面面上上用用不不包包含含圆圆周周圆圆内内部部结结构构了了一一个个罗罗氏氏几几何何模模型型，人人们们称称它它为为罗罗氏氏平平面面，在在此此平平面面上上给给罗罗氏氏几几何何一一个个解解释释，即即把把欧欧氏氏几几何何直直线线解解释释成成罗罗氏氏平平面面上上直直线线，欧氏几何点解欧氏几何点解释释成成罗罗氏平面上点。氏平面上点。因因为为非非欧欧几几何何在在欧欧氏氏几几何何中中找找到到了了它它模模型型，所所以以非非欧欧几几何何无无矛矛盾盾性性就就转转化化为为欧欧氏氏几几何何无无矛矛盾盾性性，也也就就是是说说倘倘若若欧欧氏氏几几何何无无矛矛盾盾，则则非非欧欧几几何何也无矛盾也无矛盾。第17页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 随随即即不不但但人人们们找找到到了了非非欧欧几几何何在在天天文文学学与与相相对对论论中中解解释释和和应应用用，而而且且相相继继发发觉觉欧欧氏氏几几何何每每条条公公理理在在罗罗氏氏空空间间极极限限球球上上得得以以全全部部成成立立。于于是是，反反过过来来欧欧氏氏几几何何相相容容性性可可借借助助非非欧欧几几何何协协调调性性给给以以确确保保。从从而而就就证证实实了了两两种种几几何何是是相相互互协协调调，第第五公设独立性问题得到处理。五公设独立性问题得到处理。非非欧欧几几何何确确实实立立促促进进了了公公理理化化方方法法及及几几何何基基础研究进展。础研究进展。第18页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 在创建非欧几何过程中，公理化方法得到了以下发展：在创建非欧几何过程中，公理化方法得到了以下发展：非欧几何诞生第一步就在于认识到：平行公设不能非欧几何诞生第一步就在于认识到：平行公设不能在其它九条公设和公理基础上证实。它是独立命题，所以在其它九条公设和公理基础上证实。它是独立命题，所以能够采取一个与之相反公理并发展成为全新几何。这就是能够采取一个与之相反公理并发展成为全新几何。这就是说，在一个公理系统中，我们能够把一个含有独立性公理说，在一个公理系统中，我们能够把一个含有独立性公理换成另外公理而得到一个全新公理系统，这种方法是当代换成另外公理而得到一个全新公理系统，这种方法是当代一个主要公理化方法。一个主要公理化方法。非欧几何创建深刻地启示人们，能够证实非欧几何创建深刻地启示人们，能够证实“在一个在一个给定公理系统中一些命题不可能证实给定公理系统中一些命题不可能证实”。第19页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 非欧几何系统已经不是像原本那样依赖于感性非欧几何系统已经不是像原本那样依赖于感性直观实质性公理系统。非欧几何建立标志着从实质性公理直观实质性公理系统。非欧几何建立标志着从实质性公理化方法向形式公理化方法过渡，这表明人们认识已从直观化方法向形式公理化方法过渡，这表明人们认识已从直观空间上升到抽象空间。空间上升到抽象空间。非欧几何创建，为公理化方法能够推广和建立新理非欧几何创建，为公理化方法能够推广和建立新理论提供了依据，大大提升了公理化方法。论提供了依据，大大提升了公理化方法。非欧几何创建，还产生了以下重大影响：非欧几何创建，还产生了以下重大影响：非欧几何诞生标志着欧氏几何统治终止，欧氏几何非欧几何诞生标志着欧氏几何统治终止，欧氏几何统治终止则标志着全部绝对真理终止。统治终止则标志着全部绝对真理终止。第20页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 非欧几何创建，使人们开始认识到数学空间与非欧几何创建，使人们开始认识到数学空间与物理空间之间有着本质区分。数学确实是人思想产物，物理空间之间有着本质区分。数学确实是人思想产物，而不是独立于人永恒世界东西。而不是独立于人永恒世界东西。非欧几何创建使数学丧失了真理性，但却使数非欧几何创建使数学丧失了真理性，但却使数学取得了自由。数学家能够而且应该探索任何可能问学取得了自由。数学家能够而且应该探索任何可能问题，探索任何可能公理系统，只要这种研究含有一定题，探索任何可能公理系统，只要这种研究含有一定意义。意义。非欧几何为数学提供了一个不受实用性左右，非欧几何为数学提供了一个不受实用性左右，只受抽象思想和逻辑思维支配范例，提供了一个理性只受抽象思想和逻辑思维支配范例，提供了一个理性智慧摒弃感觉经验范例。智慧摒弃感觉经验范例。第21页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 当然，非欧几何并非毫无实用性。比如，19爱因斯坦发觉广义相对论研究中，必须用一个非欧几何来描述这么物理空间，这种非欧几何便是黎曼几何。又如，由1947年对视空间（从正常有双目视觉人心理上观察到空间）所作研究得出结论：这么空间最好用罗巴切夫斯基非欧几何来描述。这些事实说明：数学对人类文明发展作用是何等重大。非欧几何创建，标志着公理化方法进入到其非欧几何创建，标志着公理化方法进入到其完善完善阶段。阶段。第22页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 在非欧几何创建之后，以希尔伯特为代表数在非欧几何创建之后，以希尔伯特为代表数学家掀起了对几何基础研究，同时也促进了康托、学家掀起了对几何基础研究，同时也促进了康托、维尔斯托拉斯、戴德金等为代表数学家对数学分维尔斯托拉斯、戴德金等为代表数学家对数学分析基础实数理论研究。从而造成了析基础实数理论研究。从而造成了“分析算术化分析算术化”方向出现，使数学分析基础立足于实数理论之方向出现，使数学分析基础立足于实数理论之上，取代了直观几何说明。因为对实数理论研究，上，取代了直观几何说明。因为对实数理论研究，又推进了代数重大改变，即由代数方程求解造成又推进了代数重大改变，即由代数方程求解造成了群论产生，从而使代数研究对象发生了质改变，了群论产生，从而使代数研究对象发生了质改变，逐步变成一门研究各种代数运算系统形式结构科逐步变成一门研究各种代数运算系统形式结构科学。学。第23页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 因为形式公理化方法在分析、代数领域中取因为形式公理化方法在分析、代数领域中取得了成功，反过来又将几何公理化方法研究推向得了成功，反过来又将几何公理化方法研究推向一个新阶段，即一个新阶段，即形式公理化阶段形式公理化阶段。希尔伯特在希尔伯特在18991899年出版名著几何基础就是这个时期研究年出版名著几何基础就是这个时期研究结果突出代表。结果突出代表。所谓形式公理化方法，是指在一个公理系统所谓形式公理化方法，是指在一个公理系统中，基本概念要求为不加定义原始概念，它涵义、中，基本概念要求为不加定义原始概念，它涵义、特征和范围不是先于公理而确定，而是由公理组特征和范围不是先于公理而确定，而是由公理组隐含确定。隐含确定。第24页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 希希尔尔伯伯特特在在他他几几何何基基础础中中，放放弃弃了了欧欧几几里里德德几几何何原原本本中中公公理理直直观观显显然然性性，把把那那些些在在对对空空间间直直观观进进行行逻逻辑辑分分析析时时无无关关主主要要内内容容加加以以拼拼弃弃，着着眼眼于于对对象象之之间间联联络络，强强调调了了逻逻辑辑推推理理，第第一一次次提提出出了了一一个个简简明明、完完整整、逻逻辑辑严严谨谨形形式式化化公公理理系系统统。从从此此公公理理化化方方法法不不但但是是数数学学中中一一个个主主要要方方法法，而而且且已已被被其其它它学学科科领领域域所所采采取取。所所以以人人们们称它为公理化方法发展史上一个里程碑。称它为公理化方法发展史上一个里程碑。第25页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 即使希尔伯特几何公理系统从本质上讲是一即使希尔伯特几何公理系统从本质上讲是一个形式化公理系统，但它毕竟没有完全摆脱几何个形式化公理系统，但它毕竟没有完全摆脱几何所研究内容范围。为了使形式公理系统更形式化，所研究内容范围。为了使形式公理系统更形式化，涵盖模型更多，就必须使形式化公理系统来自详涵盖模型更多，就必须使形式化公理系统来自详细模型而又要摆脱详细模型过多条条框框束缚，细模型而又要摆脱详细模型过多条条框框束缚，于是人们需要研究更复杂逻辑结构，从而就造成于是人们需要研究更复杂逻辑结构，从而就造成了当代数理逻辑形成和发展。当代数理逻辑出现了当代数理逻辑形成和发展。当代数理逻辑出现后，最少在以下两个方面发挥了巨大作用。后，最少在以下两个方面发挥了巨大作用。第26页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 其一，本世纪初以希尔伯特、哥德尔为代表数学家和逻辑学家掀起了以数理逻辑为工具来研究整个数学基础高潮，又因数学基础深入发展需要，反过来又促使当代数理逻辑发展，从而也就造成了证实论（或元数学）、模型论、递归函数论出现。尤其是英国大哲学家、数学家、和逻辑学家罗素于19发觉集合论悖论，震动了整个数学界，从而更促进了公理化集合论形成和发展。集合论公理化系统出现及当代数理逻辑出现，将形式公理化方法推向一个更高阶段纯形式公理化阶段。希尔伯特建立元数学是以形式系统希尔伯特建立元数学是以形式系统为研究对象一门新数学，它包含对形式为研究对象一门新数学，它包含对形式系统描述、定义、也包含对形式系统性系统描述、定义、也包含对形式系统性质研究。简言之，元数学是以整个理论质研究。简言之，元数学是以整个理论而不是以它某一部分作为数学研究对象。而不是以它某一部分作为数学研究对象。元数学等创建把形式公理化方法向前推元数学等创建把形式公理化方法向前推进了一大步。进了一大步。第27页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 纯形式公理化方法特征是含有高度形式化纯形式公理化方法特征是含有高度形式化和抽象化，系统基本概念、基本关系用抽象符和抽象化，系统基本概念、基本关系用抽象符号表示，命题由符号组成公式表示，命题证实号表示，命题由符号组成公式表示，命题证实用一个公式串表示。一个符号化形式系统只有用一个公式串表示。一个符号化形式系统只有在解释之后才有意义。在解释之后才有意义。公理化方法详细形态有三种：实体性公理公理化方法详细形态有三种：实体性公理化方法、形式公理化方法和纯形式公理化方法，化方法、形式公理化方法和纯形式公理化方法，用它们建构起来理论体系分别为几何原本、用它们建构起来理论体系分别为几何原本、几何基础和几何基础和ZFCZFC公理系统。公理系统。第28页4.14.1公理化方法历史概述公理化方法历史概述 其其二二，为为数数学学应应用用于于当当代代科科学学技技术术开开辟辟了了前前景景。电电子子计计算算机机出出现现就就是是突突出出一一例例，这这是是因因为为电电子子计计算算机机设设计计需需要要研研究究怎怎样样用用基基本本逻逻辑辑运运算算去去表表示示和和结结构构复复杂杂逻逻辑辑结结构构和和运运算算，这这正正是是当当代代数数理理逻逻辑辑研研究究一一个个基基本本课课题题。因因为为电电子子计计算算机机出出现现造造成成了了机机器器证证实实及及数数学学机机械械化化方方向向产产生生，从从而而使使当当代纯形式公理化方法又取得了一个新用场。代纯形式公理化方法又取得了一个新用场。公公理理化化方方法法本本身身及及其其在在数数学学理理论论和和实实践践应应用用中中巨巨大大作作用用，伴伴随随科科学学技技术术发发展展还还在在继继续续向向前前发发展。展。第29页4.24.2公理化方法逻辑特征、意公理化方法逻辑特征、意义和作用义和作用 一、公理化方法逻辑特征 公理化方法作用在于从一组公理出发，以逻辑推理为工具，把某一范围系统内真命题推演出来，从而使系统成为演绎体系.对于所选公理，我们一方面要求能从公理组推出该系统内全部真命题，其次又要求从公理组不能推出逻辑矛盾，再就是希望所选公理个数最少.这三个方面构成了公理化方法逻辑要求，此也是判别一个公理系统是否科学合理准则。第30页4.24.2公理化方法逻辑特征、意公理化方法逻辑特征、意义和作用义和作用 （1 1）无矛盾性（相容性或协调性）无矛盾性（相容性或协调性）无矛盾性要求在一个公理系统中，公理之无矛盾性要求在一个公理系统中，公理之间不能自相矛盾，由公理系推出结果也不能矛间不能自相矛盾，由公理系推出结果也不能矛盾，即不能同时推出命题盾，即不能同时推出命题A与其否定命题与其否定命题 ，显然，这是对公理系统最基本要求。显然，这是对公理系统最基本要求。怎怎样证实给样证实给定公理系定公理系统统无矛盾性呢？若想无矛盾性呢？若想经过经过“由由这这一公理系作出全部可能推一公理系作出全部可能推论论并指出并指出其中没有矛盾其中没有矛盾”来来证实证实是不可能。是不可能。第31页4.24.2公理化方法逻辑特征、意公理化方法逻辑特征、意义和作用义和作用 为为此，人此，人们创们创造了一个特殊方法即解造了一个特殊方法即解释释法或作模型法。法或作模型法。其其基本思想以下：基本思想以下：将公理系每一不定将公理系每一不定义义概念与概念与对对象某一象某一集合相集合相对应对应，而且要求，而且要求对应对应于不一于不一样样概念概念集合没有公共元素，然后，使公理系集合没有公共元素，然后，使公理系T每一每一关系关系对应对应着着对应对应集合元素集合元素间间某一确定关系。某一确定关系。第32页4.24.2公理化方法逻辑特征、意公理化方法逻辑特征、意义和作用义和作用 这么所得集合与关系全体叫做解释域，公这么所得集合与关系全体叫做解释域，公理系理系T每一命题每一命题能够用自然方法对应于解释能够用自然方法对应于解释域中对应命题域中对应命题。假如所得命题。假如所得命题为真，那么为真，那么就称公理系就称公理系T命题命题在这个解释下是真，假如在这个解释下是真，假如假，则假，则在这个解释下是假，假如公理系在这个解释下是假，假如公理系T全全部公理在这个解释下均为真，那么这个解释称部公理在这个解释下均为真，那么这个解释称为所给公理系模型。为所给公理系模型。第33页4.24.2公理化方法逻辑特征、意公理化方法逻辑特征、意义和作用义和作用 解释域及其性质经常是另一数学理论解释域及其性质经常是另一数学理论研研究对象，究对象，本身一样能够是公理化，所以说，用本身一样能够是公理化，所以说，用解释法能证实公理系解释法能证实公理系相对相容性，即能作出相对相容性，即能作出“假如假如相容，即么相容，即么也相容也相容”判断。判断。解释法实质上是将一个公理系系统无矛盾解释法实质上是将一个公理系系统无矛盾性证实化归为另一个公理系统无矛盾性证实，性证实化归为另一个公理系统无矛盾性证实，是一个间接证实。是一个间接证实。克莱因就是采取这种方法将罗氏几何无矛克莱因就是采取这种方法将罗氏几何无矛盾性化归为欧氏几何无矛盾性。盾性化归为欧氏几何无矛盾性。第34页4.24.2公理化方法逻辑特征、意公理化方法逻辑特征、意义和作用义和作用 正正是是因因为为罗罗氏氏几几何何相相容容性性要要由由欧欧氏氏几几何何相相容容性性来来得得证证，原原来来并并无无疑疑问问欧欧氏氏几几何何相相容容性性问问题题也也引引发发了了人人们们怀怀疑疑，迫迫使使人人们们再再去去寻寻找找欧欧氏氏几几何何相相容容性性证证实实，因因为为解解析析几几何何能能够够看看成成是是实实数数系系统统中中欧欧氏氏几几何何一一个个解解释释模模型型，于于是是欧欧氏氏几几何何相相容容性性证证实实转转化化为为实实数数系系统统无无矛矛盾盾性性证证实实，而而实实数数系系统统可可建建立立在在ZFCZFC公公理理化化集集合合论论基基础础上上，所所以以，实实数数系系统统无无矛矛盾盾性性又又化化归归为为集集合合论论无无矛矛盾盾性性证证实实，而而后后者者经经过过几几代代数数学学家家们们努努力力，至至今还未得到彻底处理。今还未得到彻底处理。第35页4.24.2公理化方法逻辑特征、意公理化方法逻辑特征、意义和作用义和作用 （2 2）独立性）独立性 独独立立性性要要求求在在一一个个公公理理系系统统中中，被被选选定定公公理理组组中任何一个公理都不能由其它公理推出。中任何一个公理都不能由其它公理推出。独独立立性性其其实实要要求求是是公公理理组组中中公公理理之之间间不不能能有有依依从从关关系系，若若某某一一公公理理被被其其余余公公理理推推出出，那那它它实实质质上上就就是是一一个个定定理理，在在公公理理组组中中就就是是多多出出，所所以以，独立性要求公理独立性要求公理组组中公理数目最少。中公理数目最少。第36页4.24.2公理化方法逻辑特征、意公理化方法逻辑特征、意义和作用义和作用 利用解释法一样能够证实所给公理系独立性利用解释法一样能够证实所给公理系独立性问题，所谓公理系问题，所谓公理系T中公理中公理A独立性无非是指独立性无非是指A由其它公理既不能证实，也不能否定。由其它公理既不能证实，也不能否定。建立一个新公理系，就是将公理建立一个新公理系，就是将公理换成它否换成它否定定，而其它公理保持不变，只要能证实新公理，而其它公理保持不变，只要能证实新公理系是相容，就可断言系是相容，就可断言在公理系在公理系T中独立，从而中独立，从而将独立性问题化归为相容性证实问题，而新公将独立性问题化归为相容性证实问题，而新公理系相容性证实可用解释法。理系相容性证实可用解释法。第37页4.24.2公理化方法逻辑特征、意公理化方法逻辑特征、意义和作用义和作用 （3 3）完备性）完备性 完完备备性性要要求求在在一一个个公公理理系系统统中中，公公理理组组选选取取能能确确保保由由公公理理组组推推出出该该系系统统全全部部真真命命题题，所所以以，公公理理不不能能过过少少，不不然然就就推推不不出出一一些些真真命命题题，这这是是关于完备性古典定义。关于完备性古典定义。当当代代数数学学常常借借助助模模型型同同构构给给公公理理系系完完备备性性下下定定义义，即即假假如如公公理理系系T全全部部模模型型或或解解释释都都彼彼此此同同构，就称构，就称这这个公理系是完个公理系是完备备。第38页4.24.2公理化方法逻辑特征、意公理化方法逻辑特征、意义和作用义和作用 所所谓谓模模型型同同构构是是指指这这个个公公理理系系两两个个模模型型（X，R）与与（Y，S）（这这是是为为简简便便计计，假假设设给给定定公公理理系系中中只只有有一一个个不不定定义义概概念念和和一一个个不不定定义义关关系系。X与与Y是是某某两两个个集集合合，R与与S分分别别是是这这两两个个集集合合中中关关系系）间间存存在在一一个个双射双射第39页4.24.2公理化方法逻辑特征、意公理化方法逻辑特征、意义和作用义和作用 在在上上述述公公理理化化方方法法三三个个特特征征中中，无无矛矛盾盾性性是是最主要而又是非有不可。最主要而又是非有不可。独独立立性性从从理理论论上上讲讲，从从完完美美简简炼炼上上讲讲，应应该该要要求求，因因为为公公理理和和定定理理在在整整个个系系统统中中处处地地位位不不一一样样，公公理理是是出出发发点点，定定理理是是推推出出，不不能能混混在在一一块块。不不过过，独独立立性性要要求求有有时时可可降降低低。现现行行中中学学几几何何体体系就放弃了系就放弃了这这一要求。一要求。至至于于完完备备性性，要要求求就就大大大大放放宽宽了了；而而且且“从从研研究究完完备备公公理理系系确确定定对对象象转转向向研研究究其其公公理理系系不不完完备对象备对象”被认为是当代数学特征之一。被认为是当代数学特征之一。第40页4.24.2公理化方法逻辑特征、意公理化方法逻辑特征、意义和作用义和作用 二、公理化方法意义和作用二、公理化方法意义和作用 对对于于公公理理化化方方法法作作用用和和意意义义，希希尔尔伯伯特特曾曾评评论论道道：“不不论论在在哪哪个个领领域域，对对于于任任何何严严厉厉研研究究精精神神来来说说，公公理理化化方方法法都都是是而而且且一一直直是是一一个个适适当当不不可可缺缺乏乏伎伎俩俩；它它在在逻逻辑辑上上是是无无懈懈可可击击，同同时时也也是是富富有有结结果果；所所以以，它它确确保保了了研研究究完完全全自自由由。在在这这个个意意义义上上，用用公公理理化化方方法法进进行行研研究究就就等等于于用用已已掌掌握握了了东东西西进进行行思思索索。早早年年没没有有公公理理化化方方法法时时候候，人人们们只只能能朴朴素素地地把把一一些些关关系系作作为为信信条条来来恪恪守守，公公理理化化研研究究方方法法则则能能够够去去掉掉这这种种朴朴素素性性而而使使信信仰仰得得到到利利益益”。“能能够够成成为为数数学学思思索索对对象象任任何何事事物物，在在一一个个理理论论建建立立一一旦旦成成熟熟时时，就就开开始始服服从从于于公公理理化化方方法法，从从而而进进入入了了数数学学。经经过过突突进进到到公公理理更更深深层层次次我我们们能能够够取取得得科科学学思思维维更更深深入入洞洞察察力力，并并搞搞清清我我们们知知识识统统一一性性。尤尤其其是是，得得力力于于公公理理化化方方法法，数数学学似似乎乎就就被被请请来来在在一一切切学学问问中起领导作用中起领导作用”。第41页4.24.2公理化方法逻辑特征、意公理化方法逻辑特征、意义和作用义和作用 公公理理化化方方法法对对数数学学发发展展起起到到了了巨巨大大作作用用，如如在在对对公公理理化化方方法法逻逻辑辑特特征征研研究究中中，产产生生了了许许多多新新数数学学分分支支理理论论，非非欧欧几几何何是是由由研研究究欧欧氏氏几几何何公公理理系系统统独独立立性性产产生生，元元数数学学理理论论或或证证实实论论是是由由研研究究公公理系理系统统相容性相容性产产生，等等。生，等等。第42页4.24.2公理化方法逻辑特征、意公理化方法逻辑特征、意义和作用义和作用 详细地说，公理化方法意义和作用能够概括为以下几详细地说，公理化方法意义和作用能够概括为以下几点：点：表述和总结科学理论表述和总结科学理论公理化方法使相关理论系统化，把它们按照某种逻辑公理化方法使相关理论系统化，把它们按照某种逻辑次序构建成一个系统，因而便于人们系统地了解知识体系，次序构建成一个系统，因而便于人们系统地了解知识体系，便于掌握理论本质。它是应用演绎推理基本方法，它为认便于掌握理论本质。它是应用演绎推理基本方法，它为认识世界提供了演绎推理模式，提供了一个理性证实伎俩，识世界提供了演绎推理模式，提供了一个理性证实伎俩，它是表述科学理论一个比较完善方法，它为各门科学提供它是表述科学理论一个比较完善方法，它为各门科学提供了一个思想方法上示范和有效表述伎俩，有利于促进理论了一个思想方法上示范和有效表述伎俩，有利于促进理论完善和严格化。它赋与数学内在统一性，有利于人们了解完善和严格化。它赋与数学内在统一性，有利于人们了解数学各分支、各部门之间本质联络。
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