数学建模的常用方法上ppt课件市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

我们称研究对象同一个量在两个不一样方面表现我们称研究对象同一个量在两个不一样方面表现之间关系为平衡原理。利用这些平衡关系导出研究对象之间关系为平衡原理。利用这些平衡关系导出研究对象数学关系过程称为用平衡原理建模。数学关系过程称为用平衡原理建模。第四章第四章 数学建模惯用方法数学建模惯用方法(上上)4.1 4.1 平衡原理建模平衡原理建模一、平衡原理一、平衡原理第1页第2页第3页第4页第5页第6页第7页第8页思索题思索题1.1.用平衡原理方法建立某物种数量发展数学模型用平衡原理方法建立某物种数量发展数学模型.2.2.用动态平衡方法建立某可再生物种动态平衡模型用动态平衡方法建立某可再生物种动态平衡模型.第9页4.2 4.2 数据资料建模数据资料建模一、数据资料建模方法含义一、数据资料建模方法含义1 1、数据资料建模方法适用范围、数据资料建模方法适用范围在科学研究中，人们经常碰到有些问题含有以下特征：在科学研究中，人们经常碰到有些问题含有以下特征：能确定其中一些原因之间有因果关系，但不知道这种能确定其中一些原因之间有因果关系，但不知道这种因果关系解析表示。因果关系解析表示。当需要对研究对象进行类别划分时，知道区分这些当需要对研究对象进行类别划分时，知道区分这些对象类别归属描述指标，但面对一个给定对象，怎样对象类别归属描述指标，但面对一个给定对象，怎样确定它应该属于哪一类？其科学标准和方法是什么？确定它应该属于哪一类？其科学标准和方法是什么？哪些原因之间有因果关系，哪种因果关系是该问题中哪些原因之间有因果关系，哪种因果关系是该问题中因果关系更准确表示？因果关系更准确表示？哪些指标能更有力地域分研究对象类属？哪些指标能更有力地域分研究对象类属？第10页第11页第12页2、多个原因线性因果关系、多个原因线性因果关系问题表现形式为：问题表现形式为：现假设因果关系函数形式为：现假设因果关系函数形式为：将问题中数据代入模型即有误差将问题中数据代入模型即有误差上式便是模型中系数应该满足条件。应上式便是模型中系数应该满足条件。应用求多元函数极值方法不难求得全部系用求多元函数极值方法不难求得全部系数预计值。在建模时，这一计算求解过数预计值。在建模时，这一计算求解过程由专门计算函数来完成。程由专门计算函数来完成。第13页3、单一原因非线性因果关系、单一原因非线性因果关系问题表现形式为：问题表现形式为：这些数据全是详细数值，它们任何已知函数值也是已知数值。这些数据全是详细数值，它们任何已知函数值也是已知数值。假如猜测我们模型是假如猜测我们模型是，其中，其中a a、b b是待定系数，它们是待定系数，它们由实际问题中搜集到数据所确定。对于任何一个原因数据由实际问题中搜集到数据所确定。对于任何一个原因数据xi，是一个已知数值。是一个已知数值。基于这一认识，上述模型中待定系数确定就等同于下述模型中相应系数确定。问题便转化成一个原因线性因果关系。我们还能够尝试问题便转化成一个原因线性因果关系。我们还能够尝试用以下模型进行拟合，以选择拟合精度最高模型作为我们用以下模型进行拟合，以选择拟合精度最高模型作为我们最终模型。最终模型。第14页10020040080010001500第15页第16页10020040080010001500第17页10020040080010001500第18页040080012001600037047055060067069040051062073080085087080065076088097010201050120074088010801130125012801600830980118013201450142088010601230139015001500第19页例例5 5：一个模型类型设定方面例子：一个模型类型设定方面例子问题：在录音机运行过程中，我们观察了录音机运行时问题：在录音机运行过程中，我们观察了录音机运行时 间和它计数器读数数据以下表。试建模分析其间和它计数器读数数据以下表。试建模分析其 运行规律。运行规律。时间：分时间：分12345101520253031-读数读数91828374797151211280362382385 仔细观察表中数据特征，读数与时间之间正向增加关系，仔细观察表中数据特征，读数与时间之间正向增加关系，其增加速度并不均匀。由此，我们联想到读数统计着磁带轮转其增加速度并不均匀。由此，我们联想到读数统计着磁带轮转数。即磁带轮转速随缠在它身上磁带降低而加紧。所以，数。即磁带轮转速随缠在它身上磁带降低而加紧。所以，有理由构想磁带轮转动线速度是常数。于是我们有假设：有理由构想磁带轮转动线速度是常数。于是我们有假设：1 1、计数器读数、计数器读数n与缠有磁带轮转速与缠有磁带轮转速k成正比成正比。2、磁带运动时线速度是常数、磁带运动时线速度是常数v3、磁带厚度均为、磁带厚度均为d，各圈磁带间无空隙各圈磁带间无空隙4、磁带缠绕一圈长度等于它所缠顾圆周长、磁带缠绕一圈长度等于它所缠顾圆周长第20页假设我们在开始运行时把计数器置为假设我们在开始运行时把计数器置为0 0空磁带轮半径为空磁带轮半径为r r与计数器相连磁带轮上缠有与计数器相连磁带轮上缠有N N圈磁带；圈磁带；于是由假设于是由假设1 1有：有：令令L(k)表示从磁带轮最外圈开始表示从磁带轮最外圈开始k圈磁带长度，由假设圈磁带长度，由假设3和和4有有第21页第22页第23页6 6、多指标对象类属判别方法、多指标对象类属判别方法第24页三、数据资料建模实例三、数据资料建模实例例例1 1：多原因线性模型：多原因线性模型第25页例例2 2：单原因非线性模型：单原因非线性模型第26页例例3 3：多原因非线性模型：多原因非线性模型第27页例4：多指标对象分类实例第28页4.3 数学规划建模数学规划建模（一）规划模型数学描述（一）规划模型数学描述一一 、规划模型普通含义规划模型普通含义若某实际问题所表示成数学形式为：若某实际问题所表示成数学形式为：S.t.为为subject to缩写，即缩写，即“受约束于”之意之意则称该问题可则称该问题可用数学规划方法建用数学规划方法建模，也称该问题模，也称该问题数学模型是一个数数学模型是一个数学规划模型。学规划模型。满足全部约束条满足全部约束条件任一件任一x x称为一称为一个可行解；可行个可行解；可行解之集称为可行解之集称为可行域域第29页（二）规划模型分类（二）规划模型分类1.1.依据是否存在约束条件分为约束问题和无约束问题。依据是否存在约束条件分为约束问题和无约束问题。2.2.依据设计变量性质分为静态问题和动态问题。依据设计变量性质分为静态问题和动态问题。无约束问题无约束问题约束问题约束问题动态约束问题动态约束问题第30页3.3.依据目标函数和约束条件表示式性质可分为依据目标函数和约束条件表示式性质可分为 线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等第31页第32页第33页四、建立优化模型普通步骤四、建立优化模型普通步骤1.1.确定设计变量和目标变量确定设计变量和目标变量2.2.确定目标函数表示式确定目标函数表示式3.3.寻找约束条件寻找约束条件 例例1 1：设某厂生产电脑和手机两种产品，这两种产品生产需：设某厂生产电脑和手机两种产品，这两种产品生产需要逐次经过两条装配线进行装配。电脑在第一条装配线每台需要要逐次经过两条装配线进行装配。电脑在第一条装配线每台需要2 2小时，在第二条装配线每台需要小时，在第二条装配线每台需要3 3小时；手机在第一条装配线每小时；手机在第一条装配线每台需要台需要4 4小时，在第二条装配线每台需要小时，在第二条装配线每台需要1 1小时。第一条装配线每小时。第一条装配线每天有天有8080个可用工时，第一条装配线天天有个可用工时，第一条装配线天天有6060个可用工时，电脑和个可用工时，电脑和手机每台利润分别为手机每台利润分别为100100元和元和8080元。问怎样制订生产计划？元。问怎样制订生产计划？分析：分析：目标是利润目标是利润L L；而利润是由电脑产量；而利润是由电脑产量x x和手机产量和手机产量y y决定决定第34页假设：假设：1 1、两种产品销量不受限制、两种产品销量不受限制2 2、原材料供给不受限制、原材料供给不受限制约束条件：约束条件：装配线装配线1 1工时限制工时限制装配线装配线2 2工时限制工时限制变量约束变量约束建立模型建立模型第35页模型求解：模型求解：第36页1243657例例2：最短路线问题数学建模实例：最短路线问题数学建模实例1415121013209128810第37页12436579810例例3：最短路线问题算例：最短路线问题算例1001502001751254002503002002751752752003501501009-101008-101506-9-103005-8-104007-8-102752-6-106004-6-105003-5-106001-4-10650最短路线为最短路线为:1-4-6-9-10，长度：，长度：650第38页例例4：分配问题数学模型：分配问题数学模型第39页12436571415121013209128810例5：最小费用流问题第40页12436571415121013209128810例6：最大流量问题第41页第42页钢管订购和运输钢管订购和运输i1234567si80080010003000pi160155155160155150160第43页 一单位钢管铁路运价以下表一单位钢管铁路运价以下表：里程km301350351400401450451500运价万元2023262932里程km5016006017007018008019009011000运价万元3744505560第44页图1第45页图2第46页12436579810最短路线问题算例最短路线问题算例1001502001751254002503002002751752752003501501009-101008-101506-9-103005-8-104007-8-102752-6-106004-6-105003-5-106001-4-10650最短路线为最短路线为:1-4-6-9-10，长度：，长度：650第47页最小运费单价表最小运费单价表s1s2s3s4s5s6s7A2320.3360.3375.3410.3400.3400.3425.3A3300.2345.2355.2395.2380.2385.2405.2A4258.6326.6336.6376.6361.6366.6386.6A5198266276316301306326A6180.5250.5260.5300.5285.5290.5310.5A7163.1241251291276278.1301A8181.2226.2241.2276.2266.2266.2291.2A9224.2269.2203.2244.2234.2234.2259.2A10252297237222212211236A11256301241211188197224A12266311251221206187216A13281.2326.2266.2236.2226.2166.2198.2A14288333273243228161186A15302347287257242178162第48页最小运费单价表最小运费单价表s1s2s3s4s5s6s7A16220265199240230230255A17255300240210187196223A18260305245215200183210A19265310250220206186215A20275320260230220160192A21285330270240230150186第49页符号说明：符号说明：第50页第51页工厂定时订购原料，存入仓库供生产之用；工厂定时订购原料，存入仓库供生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线天天生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线天天生产之用；商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；水库在雨季蓄水，用于旱季浇灌和发电。水库在雨季蓄水，用于旱季浇灌和发电。例例1 1 存贮模型存贮模型（四）简单优化模型举例（四）简单优化模型举例存贮量多少适当？存贮量多少适当？存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会造成一存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会造成一次性订购费用增加，或不能及时满足需求。次性订购费用增加，或不能及时满足需求。第52页问题问题1 不允许缺货存贮模型不允许缺货存贮模型 配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不一样部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已知某一部件日需求量100件，生产准备费5000元，存贮费每日每件1元。假如生产能力远大于需求，而且不允许出现缺货，试安排该产品生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。第53页问题分析问题分析若天天生产一次，每次100件，无存贮费，生产准备费5000元，天天费用5000元；若10天生产一次，每次1000件，存贮费900+800+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均天天费用950元；若50天生产一次，每次5000件，存贮费4900+4800+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均天天费用2550元；寻找寻找生产周期、产量、需求量、生产准备费和生产周期、产量、需求量、生产准备费和存贮费之间关系，使天天费用最少。存贮费之间关系，使天天费用最少。第54页模型假设模型假设1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量；2 产品每日需求量为常数 r；3 每次生产准备费 C1，每日每件产品存贮费 C2；4 生产能力为无限大（相对于需求量），当存贮量 降到零时，Q件产品马上生产出来供给需求，即 不允许缺货。第55页模型建立模型建立总费用与变量关系总费用=生产准备费+存贮费存贮费=存贮单价*存贮量存贮量=？第56页设 t 时刻存贮量为 q(t)，t=0时生产 Q 件，存贮量 q(0)=Q,q(t)以需求速率 r 线性递减，直至q(T)=0，如图。q(t)=Q-r t，Q=r T 。otqQTrA不允许缺货模型存贮量不允许缺货模型存贮量q q(t t)存贮量计算第57页一个周期内存贮量一个周期内存贮费(A面积)一个周期总费用天天平均费用第58页模型求解模型求解用微分法天天平均最小费用著名 经济订货批量公式（经济订货批量公式（EOQ公式）公式）。第59页思索思索1建模中未考虑生产费用（这应是最大一笔费2 用），在什么情况下才能够不考虑它？2建模时作了“生产能力无限大”简化假设，如3 果生产能力有限，是大于需求量一个常数，4 怎样建模？第60页结果解释结果解释当准备费 c1 增加时，生产周期和产量都变大；当存贮费 c2 增加时，生产周期和产量都变小；当日需求费 r 增加时，生产周期变小而产量变大。这些定性结果符合常识，而定量关系（平方根，系数2 等）凭常识是无法得出，只能由数学建模得到。第61页这里得到费用C与前面计算得950元有微小差异，你能解释吗？在本例中第62页敏感性分析敏感性分析讨论参数有微小改变时对生产周期T 影响。由相对改变量衡量对参数敏感程度。T 对c1 敏感程度记为第63页意义是当准备费增加1%时，生产周期增加0.5%；而存贮费增加1%时，生产周期降低0.5%；日需求量增加1%时，生产周期降低0.5%。当有微小改变对生产周期影响不太大。第64页模型假设模型假设1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量；2 产品每日需求量为常数 r；3 每次生产准备费 C1，每日每件产品存贮费 C2；4 生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺 货，天天每件产品缺货损失费C3，但缺货数量需 在下次生产（订货）时补足。问题问题2 允许缺货存贮模型允许缺货存贮模型第65页模型建立模型建立总费用=生产准备费+存贮费+缺货损失费存贮费=存贮单价*存贮量缺货损失费=缺货单价*缺货量存贮量=？，缺货量=？第66页因存贮量不足造成缺货，所以 q(t)可取负值，q(t)以需求速率 r 线性递减，直至q(T1)=0，如图。q(t)=Q-r t，Q=r T1 。otqQTrA允许缺货模型存贮量允许缺货模型存贮量q q(t t)RT1B第67页一个周期内缺货损失费一个周期内存贮费一个周期总费用天天平均费用第68页模型求解模型求解用微分法 令天天平均最小费用第69页每个周期供货量与不允许缺货模型相比较，有第70页结果解释结果解释即允许缺货时，周期和供货量增加，周期初存贮量降低。2）缺货损失费愈大，愈小，愈靠近 ，愈靠近 。1）3）不允许缺货模型可视为允许缺货模型特例。不允许缺货模型可视为允许缺货模型特例。第71页第72页