1、数学教学案例分析数学教学案例分析四川省德昌县职业高级中学四川省德昌县职业高级中学 魏元伟魏元伟第1页 孔子曰：知之者孔子曰：知之者不如好知者，好知不如好知者，好知者不如乐知者者不如乐知者.第2页怎样培养学生数学学习兴趣怎样培养学生数学学习兴趣？第3页引引 例例引例引例1.1.假如等？假如等？请说明在什么情况下（意义下）能够这么做分数加法？请说明在什么情况下（意义下）能够这么做分数加法？第4页引例引例2.2.门后有车门后有车中央电视台曾经在一次猜奖活动中有这么一个问题：中央电视台曾经在一次猜奖活动中有这么一个问题：现有现有1 1、2 2、3 3三扇门，有一扇门后面有一辆轿车，另三扇门，有一扇门后
2、面有一辆轿车，另两扇门后面什么也没有两扇门后面什么也没有.现在假设你已经选了现在假设你已经选了1 1号门号门.此时主持人打开另两扇门中一扇空门此时主持人打开另两扇门中一扇空门.（比如（比如3 3号门是空）号门是空）主持人问你：是否改为选择主持人问你：是否改为选择2 2号门？号门？你该怎样办？你该怎样办？第5页假如这个问题你一时半刻想不出结果，我们假如这个问题你一时半刻想不出结果，我们不妨来看另一个问题：不妨来看另一个问题：假如改为假如改为100100扇门，其中一扇门后面有轿车，扇门，其中一扇门后面有轿车，另另9999扇门后面什么也没有扇门后面什么也没有.假定你选择了假定你选择了1 1号门号门.
3、现在主持人打开现在主持人打开2-1002-100号门中全部后号门中全部后面没有车门（不妨设为是面没有车门（不妨设为是3-1003-100号）号）.请问：此时你是否改为选择请问：此时你是否改为选择2 2号门？号门？第6页引例引例 3.3.比较大小：比较大小：0.9999 0.9999 1 1 ，在十进制中是不允许这么写，我们现在在十进制中是不允许这么写，我们现在假定能够这么写假定能够这么写.这到底是小于还这到底是小于还是等于嘛？我开是等于嘛？我开始腾云驾雾了始腾云驾雾了!第7页数学教学案例分析之一数学教学案例分析之一 “糖水浓度与数学发觉糖水浓度与数学发觉”系列活动系列活动课课 道道 具：一缸清
4、水具：一缸清水 一罐白糖一罐白糖 大大小小玻璃杯若干个大大小小玻璃杯若干个第8页大家都知道：大家都知道：第9页活动课之一活动课之一等比定理发觉等比定理发觉分成三小杯分成三小杯第10页请问：三小杯糖水浓度有何关系？请问：三小杯糖水浓度有何关系？因为三小杯糖水都是由大杯倒出，显然有：因为三小杯糖水都是由大杯倒出，显然有：第11页现在把三小杯糖水倒入一个空大杯子：现在把三小杯糖水倒入一个空大杯子：倒入一个大杯倒入一个大杯第12页请问：混合后糖水浓度与原三个小杯请问：混合后糖水浓度与原三个小杯糖水浓度有何关系？糖水浓度有何关系？学生学生1：混合后糖水浓度为：混合后糖水浓度为第13页由生活常识知，三小杯
5、糖水浓度与混合后糖水浓由生活常识知，三小杯糖水浓度与混合后糖水浓度相等，即是：度相等，即是：这就是等比定理：这就是等比定理：若若 即即.第14页从从“糖水情境糖水情境”到到“等比定理等比定理”，这中间有一，这中间有一个从详细事实到形式化抽象数学过程，前者个从详细事实到形式化抽象数学过程，前者是是“详细模型详细模型”，后者是，后者是“抽象模式抽象模式”，二，二者之间有者之间有“质质”区分区分.把糖放进水里，把糖水倒来倒去，这是数学吗把糖放进水里，把糖水倒来倒去，这是数学吗？不是！不过，？不是！不过，我们一旦舍去糖、水、浓度我们一旦舍去糖、水、浓度等详细性质，抽象出本质属性数量关系等详细性质，抽象
6、出本质属性数量关系等比定理，这就是数学了等比定理，这就是数学了.这中间过程就是一个这中间过程就是一个“数学化数学化”过程！过程！第15页问题：问题：“糖水情境糖水情境”中中 与与“等比定等比定理理”中中 有区分吗？有区分吗？学生学生2：“糖水情境糖水情境”中中 只能是正只能是正数，而且数，而且 .而而“等比定理等比定理”中中 不需要这么多限制，不需要这么多限制，只要有只要有 就够了就够了.第16页老师转问学生老师转问学生1 1：为何说：为何说式是混合后浓度？式是混合后浓度？学生学生1 1：学生学生3 3：第17页老师问学生老师问学生3 3：为何？有何依据？：为何？有何依据？学生学生3 3：在计
7、算小杯糖水浓度时，分子分母可：在计算小杯糖水浓度时，分子分母可能有约分，比如：能有约分，比如：2121克糖水中有克糖水中有3 3克糖，其克糖，其浓度是浓度是 .第18页老师：老师：学生学生4：还是！：还是！第19页老师问：老师问：学生学生4 4：此时式子：此时式子即使不是混合糖水浓度定义即使不是混合糖水浓度定义直接式子，但在数值上并没有变！直接式子，但在数值上并没有变！第20页学生学生4 4：这是因为：这是因为第21页学生学生5 5：第22页学生学生6 6：第23页于是我们一共得到于是我们一共得到了等比定理三种等价形了等比定理三种等价形式！式！第24页学生：学生：老师问：很好！不过这个式子没有
8、反应出加糖来老师问：很好！不过这个式子没有反应出加糖来.第25页学生：学生：老师问：很好！这里老师问：很好！这里c 表示什么？表示什么？学生：表示加糖了！学生：表示加糖了！老师问：老师问：c 表示所加糖质量吗？浓度与质量能够表示所加糖质量吗？浓度与质量能够直接相加吗？直接相加吗？第26页学生：学生：c不是糖质量，而是浓度增加量不是糖质量，而是浓度增加量.老师问：那你这个式子只是反应了浓度增加，并老师问：那你这个式子只是反应了浓度增加，并没有反应出浓度增加原因糖增加没有反应出浓度增加原因糖增加.那么怎样那么怎样把把“因为糖增加而使糖水浓度增加因为糖增加而使糖水浓度增加”这个事实反这个事实反应出来
9、呢？应出来呢？第27页学生：老师，我明白了！学生：老师，我明白了！第28页学生：一样能够考虑约分情形！学生：一样能够考虑约分情形！第29页学生学生1010：因为我们这里都是讨论真分数，于是又有：因为我们这里都是讨论真分数，于是又有：第30页新发觉：新发觉：第31页1.1.问题提出问题提出已知图形以下：已知图形以下：请记住这道题请记住这道题目，并依据排列组合目，并依据排列组合知识推算这么不一样知识推算这么不一样图形共有多少个？图形共有多少个？数学教学案例分析之二数学教学案例分析之二 一道有趣开放题一道有趣开放题第32页 现保持阴影部分面积大小，该图形现保持阴影部分面积大小，该图形能够改变为以下一
10、系列图形能够改变为以下一系列图形：第33页 假设要求正方形边长不变，对应假设要求正方形边长不变，对应地，圆半径（正方形边长二分之一）地，圆半径（正方形边长二分之一）也不变，同时要求只能用半圆和圆心也不变，同时要求只能用半圆和圆心角为角为9090扇形去分割这个正方形并保扇形去分割这个正方形并保持阴影部分面积不变持阴影部分面积不变.画出尽可能多画出尽可能多不一样分法，选出你喜欢图形并说明不一样分法，选出你喜欢图形并说明你喜欢理由你喜欢理由.第34页2.2.问题处理思绪问题处理思绪 为了处理这个问题，我们还得回到最为了处理这个问题，我们还得回到最初图形初图形.先将原图分成四部分，以下：先将原图分成四
11、部分，以下：第35页 思绪一：将上图沿虚线剪开，该问题则思绪一：将上图沿虚线剪开，该问题则转化为用以下四个小正方形去填充一个空转化为用以下四个小正方形去填充一个空白正方形问题白正方形问题.填充填充 a b c d第36页 实际上，上面四个小正方形（经过旋转实际上，上面四个小正方形（经过旋转后）是完全一样后）是完全一样.但为了说明问题，我们将但为了说明问题，我们将它们位置固定下来，看作四个不一样图形，它们位置固定下来，看作四个不一样图形，分别记为分别记为a a，b b，c c，d d，现在用这四个小正，现在用这四个小正方形去填充，考虑一共能组成多少种不一方形去填充，考虑一共能组成多少种不一样图案
12、样图案.由排列组合知识知道，这是一个可由排列组合知识知道，这是一个可重复排列问题，应有重复排列问题，应有4 44 4=256=256种不一样情种不一样情形形.第37页是不是有这么多呢？这是不是有这么多呢？这256256个不一样图案中有没有重个不一样图案中有没有重复呢？为了说明问题，再来看思绪二复呢？为了说明问题，再来看思绪二.思绪二：思绪二：（1）以下列图，先将三个小正方形位置固定，旋转带*小正方形.这么就得到三个不一样于初始图案图案.第38页 （2 2）那么，利用排列组合知识，）那么，利用排列组合知识，假如有两个小正方形同时按不一样假如有两个小正方形同时按不一样方向（旋转方向互不关联）分别旋
13、方向（旋转方向互不关联）分别旋转转（为防止重复，只考虑两个都旋（为防止重复，只考虑两个都旋转情形转情形.不然回到（不然回到（1 1）.这里分为这里分为同时旋转两个相邻小正方形和同时同时旋转两个相邻小正方形和同时旋转两个对角小正方形两种情形，旋转两个对角小正方形两种情形，共有共有332=18332=18种不一样图案种不一样图案.第39页 （3 3）类似，固定一个同时旋转另三个小正）类似，固定一个同时旋转另三个小正方形，又能够得到方形，又能够得到3 33 3=27=27种不一样图案种不一样图案.（4 4）现在让四个小正方形同时旋转（旋转）现在让四个小正方形同时旋转（旋转方向互不关联），都不保持原来
14、位置，又能方向互不关联），都不保持原来位置，又能够得到够得到3 34 4=81=81种不一样图案种不一样图案.加上原来初始图案，则共有加上原来初始图案，则共有1 13 31818272781=13081=130种不一样图案种不一样图案.由此可见，思绪一由此可见，思绪一中中256256个图案中有很多是重复个图案中有很多是重复.第40页 接下来问题是：这接下来问题是：这130130种图案中有没有种图案中有没有重复？假如有，重复了几个？这个问题最重复？假如有，重复了几个？这个问题最终止果应该是多少种不一样图案？请读者终止果应该是多少种不一样图案？请读者自行处理自行处理.第41页以下是一些学生自己画出而且是他们最喜欢图案以下是一些学生自己画出而且是他们最喜欢图案:第42页同时，这道题目还能够扩展为：同时，这道题目还能够扩展为：(1)假如用9块 拼成33大正方形情形又是怎样？(2)假如用6块 作为正方体6个侧面，那么围成正方体侧面展开图有多少种不一样图案？(3)用正多边形地板砖铺满房间，有哪些不一样铺设方案？第43页谢谢大家！请多指教！谢谢大家！请多指教！第44页
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