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预应力的滚珠丝杠传动的有限元公式关键词：滚珠丝杆驱动，有限元法，机刀具，机电一体化系统摘要：在本文，提出了一种取代滚珠丝杠和螺母的球形槽接合区域的刚度条件模型的滚珠丝杠刚度矩阵。对滚珠丝杠和螺母之间相对刚度特性和滚珠丝杠自由度提出了一种标量弹簧模型。依靠整体有限元模型，使建模和振动分析的整个框架结构组合在一起，包括滚珠丝杆进给驱动系统。在这里以一个进给传动测试台进给轴的建模为例子来进行示范和验证。低阶表示的有限元模型，用于模拟进给轴的控制，其对应的测量结果与从测试台得到的结果相匹配。术语：I，B，T，N：坐标系x，y，z：平移自由度，：旋转自由度iek：坐标系i的基向量klN：滚珠丝杠螺母的接合长度lS：隔离环的长度de：滚珠丝杠的有效直径(球中心直径)P：螺距：螺旋角：负载角：滚珠在螺旋圆周上的方位角Fn：滚珠的输出负载Aij：从j到i的转换ic：滚珠在i系统中的弹性模量ickl：张量ic的刚度条件cn：在负载方向的普通刚性滚珠c：特定滚珠的刚性条件CBSD：滚珠丝杠传动的刚度矩阵Ckl:刚度矩阵CBSD子矩阵Ckl：矩阵CBSD的刚度条件idfk：无穷小力在i系统中的k阶的自由度idmk：无穷小扭矩在i系统中的k阶的自由度idk:k阶自由度在i系统中的微小位移简介：在数控驱动领域，尽管线性直接驱动的应用越来越多，但由滚珠丝杠传动的机床伺服驱动系统仍然是直线进给的主要的应用。原因在于，与线性直接驱动相比，其采购成本更低，进给力更大，效率更高，散热更好，且由于它是线性传动比，干扰的敏感性降低。然而，在机械传动系统的电机和滑架之间不可避免的引起控制电路的振动。对于速度控制的伺服驱动器，这限制了控制回路的可利用的动态范围的 1。充分利用数字驱动器的潜在性能，不仅能对驱动器组件做出最佳的选择、设计和标示尺寸，还能尽可能的减小移动框架组件的重量。然而，减少材料的使用，会导致结构刚度的损失。在未来持续发展的机器时代，驱动系统和结构框架的整体设计会越来越重要。2,3有限元法，作为一种结构分析和优化的机械设计手段，仍处于被接受和验证的阶段。对于框架结构的振动分析，将所有柔性体设计为有限元网格，然后用弹簧元件将它们结合在一起，形成一个完整的机械模型。2.4-6后一步意味着各刚度属性和各连接元件自由度波动的替代建模，例如直线导轨。然而，滚珠丝杠进给驱动系统的集成框架结构的有限元模型尚未得到圆满解决。由滚珠丝杠驱动将驱动转矩转换成进给力的过程使传送系统中产生两个力流：一个转矩用于电机转矩的传送，一个轴向力流用于滚珠丝杠的推力轴承的进给力。除了发生弯曲的滚珠丝杠之外。通用的有限元编码不能对滚珠丝杠传动的螺旋自由度和刚度性能提供合适的元件。因此, 在传动系统的组件中，力/力矩分布和由此产生的应变不能进行真实的模拟。通过滚珠丝杠螺母系统5的轴向刚度特性来连接旋转结构（动态多点约束），或者用具有等效传动特性6的旋转传动系统的替代模型作为多自由度的平移系统，几乎正确的解决了这个问题。此外，特殊驱动器的计算方案存在详细的传动系统的建模与分析，包括滚珠丝杠进给驱动系统7-9。然而，这些方法不能灵活的考虑框架的结构。滚珠丝杠传动的刚度矩阵的推导公式及其采用的通用有限元程序已列出。滚珠丝杠的模型允许传动系统直接进行有限元建模，梁元素用于传动轴（电动机轴和滚动丝杠），甚至因此确保了传动系统中的力/转矩应变。将验证刚度公式模拟进给传动测试台的轴向进给，作为一个应用的例子。单个滚珠的刚度球槽接触的刚度状况图1是两个受预应力滚珠丝杠传动的典型设计。在刚度特性上，合格的滚珠要比丝杠与螺母本身重要10。忽略滚珠在滚珠与螺纹槽接触面上Fn方向上的摩擦力图210-12。在局部坐标系N中，x轴与正常接触重合，单个滚珠的刚性张量Nc只包含cn:坐标转换坐标系统N由一个三重旋转的惯性系统I来定义。（如图2和3所示，参见11）(1.)滚珠坐标系统B随球中心，并绕该滚珠丝杠轴，按球的角位置（方位角）Bex=Iex进行进行移动，与惯性系统I有关。（2.）切向系统T面向滚珠中心相切的螺旋轨迹，从B系统通过螺旋角在径向轴Tey=Bey周围旋转。（3.）对于正常的接触系统N，切向系统T必须由负载角在与球中心轨迹相切Tez=Nez的周围旋转。转动算符的转动如图3所示。连接旋转矩阵（2）到（4）给出了从系统N到I或B的坐标转换的元算公式：滚珠在I和B系统中将产生一个刚度张量，密集矩阵的转换如下： 滚珠丝杠传动的刚度矩阵矩阵的尺寸和结构连接滚珠丝杠上的节点1与螺母上的节点2，它们在螺母上的滚珠丝杠轴中心重合（参考点如图1所示），用一个奇异矩阵CBSD来定义滚珠在六个空间自由度的总刚度，并且让丝杠的自由度没有约束。这个矩阵必须1212的矩阵。节点i,j = 1,2,平移自由度x,y,z,旋转自由度，。一个滚珠丝杠的刚度结果作为所有滚珠的总刚度。因此，刚度矩阵CBSD来自单个滚珠刚度张量Nc到惯性坐标系I位于节点和所有滚珠的转换。根据麦克斯韦的互等定理，矩阵CBSD是对称的：由于丝杠常见的有效直径（球的中心直径de）和丝杠螺母传动不会造成任何力和扭矩的转换，因此，子矩阵Cij的绝对数值同的，由于公式（10），它们在非对角块内是对称的：矩阵CBSD的推导，足以确定一个子矩阵，例如用通过考虑单一的节点。特定球刚度从公式（1）到（5），转换公式（7）得到滚珠在惯性系统I的刚度张量，作为滚珠方位角的函数（详见方程（2）中的矩阵AIB）。由于滚珠丝杠传动的总刚度与滚珠的位置和所有状态之间是同周期的。它有利于计算球刚度方位角（滚珠丝杠周围）的平均数。注意下面的事项。具有相同论证的滚珠的刚度也可以在轴线方向上做平均计算。滚珠刚度的角度分配在两个相邻的滚珠和轴线距离l=P/i之间（滚珠丝杠螺距P,螺纹数i），相邻两个螺纹定义了特定滚珠的刚度：通过刚度连续分布的假设，在不知道滚珠的具体位置的条件下，也可以计算出滚珠丝杠传动的刚度矩阵CBSD。系统I上的圆周2和螺母接合长度lN双重积分替代了球的总和：该公式通过同等的双螺母与螺母四点接触推导。如图4所示，四点接触的螺母可以看作为有一半刚度的两个双螺母。两个假设的滚珠丝杠上的区别在于预装载的方向，总体而言，它们根据一个实际的双螺母公式，对于接合长度，假设间隔环lS=0。轴向刚度对于滚珠丝杠传动的轴向刚度Cax=Cxx是通过在系统I或B中整合后的滚珠轴向刚度条件而直接获得的这个。这些刚度条件是由特定滚珠的刚度（公式12）从公式（7）或（8）转换而来。根据公式（13）得到滚珠丝杠传动的轴向刚度：由于滚珠丝杠传动的轴向刚度可以在制造商的数据表中找出，所以将它认识是已知的值。因此，公式（15）来具体解特定滚珠刚度的未知量：径向刚度由于对称的原因，径向刚度都是相等的，Crad=Cyy=Czz。在系统I中，由公式（7）来实现滚珠的径向刚度条件Icyy或Iczz的转换:根据公式（13）整合这些刚度条件提供给滚珠丝杠传动的径向刚度。由于对称性，在丝杠合适的范围进行积分是足够的。根据公式（16），径向刚度可以作为轴向刚度的函数。扭转刚度从滚珠的方位角刚度条件的有效半径de/2得到滚珠丝杠传动的扭转系数Ctor=C.在坐标系统B中，通过公式(8)和(16)导出在Z轴方向的刚度条件。扭转刚度IC= BC.在I或者B系统通过滚珠丝杠轴上的节点进行测量，在系统B中滚珠中心的相互作用的方向刚度Bczz定义如下：在系统B中，无穷小扭矩Bdm.和旋转Bd.方位角的力Bdfz和转换Bdz运动之间的关系分别在丝杠的周长（球的中心）的定义：应用公式（21）和（22）将滚珠的方位角刚度转化为节点上的扭转刚度部分：滚珠丝杠传动通过公式（25）和（20）得到的扭转刚度与（13）一致：丝杠刚度丝杠的刚度CxCx连接轴，和分别是丝杠和螺母的旋转自由度。他们沿丝杠自由度的法线方向相互作用，从而构成了丝杠传动的主刚度。根据公式（11），丝杠刚度Cscr=Cx=Cx是相同的。由于对称性，它们在系统B和I之间的转换是不变的。在系统B中，丝杠的刚度被定义为轴向力Bdfx与节点方位角Bd的商。因此，公式（24）是滚珠丝杠的刚度部分：B系统中滚珠的刚度轴向/方位角组件Bcxz是从公式（8）和（16）转换得到的。计算丝杠的刚度，必须根据公式（13）再次进行计算：抗弯刚度由于对称性，抗弯刚度也相等Cbend=C x x =C如径向刚度。见公式19）。无论是滚珠的径向刚度还是轴向刚度都有利于抗弯刚度。如果考虑系统I中滚珠丝杠绕Y轴的倾斜，滚珠丝杠的弹性弯曲可能被忽略，所有丝杠的横截面在螺母接触区内的倾斜都在一个角度。滚珠中心点在截面圆周上的轴向位移Idx，与其方位角有关：由于轴向反力Idfx的转换，滚珠的抗弯力矩Idm在参考节点有相同的运动关系，抗弯刚度部分Ic，ax从滚珠的轴向刚度Icxx中得到的：以此类推，当丝杠绕Z轴倾斜，其抗弯刚度Ic可以得到：由公式（14）和（16），给出系统I中滚珠的特定的轴向刚度Icxx:抗弯刚度部分Cbend，ax可由滚珠轴向刚度条件通过公式（13）计算得来。由于对称性的原因，推荐计算四分之一圆，因为每个截面的四象限的抗弯刚度相同。通过滚珠丝杠的倾斜Id,丝杠的横截面也产生沿Z方向的位移Idz。如果忽略丝杠弹性曲率是非常方便的，参考点横截面上的径向位移与轴向距离是成正比的：径向位移Idz与丝杠横截面所有滚珠中心点是相同的。从球轴承的径向刚度Ic，rad得到抗弯刚度部分Iczz:弯曲刚度部分Cbend,rad，是从滚珠的径向刚度条件得到的，也符合利用公式（16）由公式（13）到（18）为特定的径向刚度条件Icyy和Iczz。对称性允许在圆周和长度上划分成两个部分的双重积分。由于被积函数在X坐标系中，在设定双螺母的上下限是，必须考虑间隔环。在螺母四点接触中，间隔环的长度lS为零。抗弯刚度部分Cbend，ax可由滚珠轴向刚度条件通过公式（13）计算得来。由于对称性的原因，推荐计算四分之一圆，因为每个截面的四象限的抗弯刚度相同。通过滚珠丝杠的倾斜Id,丝杠的横截面也产生沿Z方向的位移Idz。如果忽略丝杠弹性曲率是非常方便的，参考点横截面上的径向位移与轴向距离是成正比的：径向位移Idz与丝杠横截面所有滚珠中心点是相同的。从球轴承的径向刚度Ic，rad得到抗弯刚度部分Iczz:弯曲刚度部分Cbend,rad，是从滚珠的径向刚度条件得到的，也符合利用公式（16）由公式（13）到（18）为特定的径向刚度条件Icyy和Iczz。对称性允许在圆周和长度上划分成两个部分的双重积分。由于被积函数在X坐标系中，在设定双螺母的上下限是，必须考虑间隔环。在螺母四点接触中，间隔环的长度lS为零。滚珠丝杠传动的总抗弯刚度是由滚珠的轴向和径向刚度部分Cbend,ax，和Cbend,rad的总和：其他的刚度条件在双螺母上，由于预应力， 两个相反的螺母的负载角有旋转的趋势。由于角度一直在二次项出现以前考虑，所以没必要为这种有所区别。可以证明，刚度条件矩阵CBSD由于符号的改变，仍被认为等于零。例如，在系统B中，公式（8）转换可产导出滚珠的轴向和径向刚度条件Bcxy:从丝杠的径向位移Bdy或斜度Bd考虑丝杠截面的径向位移变化情况Bdy。在公式（40）中，由于两个滚珠的对称性导致负载角符号的变化，从而抵消螺母上的反作用力。因此，所有滚珠的总的轴向反作用力也为零。根据麦克斯韦的互等定理，丝杠的轴向位移的整个径向和弯曲的反应也为零。对于滚珠在系统中由公式（）转换得到的刚度条件Icyz：丝杠的圆周积分（根据公式13），可以看出丝杠的各截面的刚度消失了：因此，作为双径向刚度条件的结果，所有的滚珠没有进一步的径向和弯曲的反应。刚度矩阵根据上述的刚度条件，滚珠丝杠传动的刚度矩阵CBSD具有如下形式：滚珠丝杠传动轴向刚度Cax可以从制造商的制造表中得到，其他刚度特性可以由公式（19）（26）（29）（39）从丝杠传动的轴向刚度和几何特性中得到。需要注意的是，关于负载角，由于局部结构弹性在球线接触（赫兹应力），这个输入参数不只是一个纯粹的几何参数，也取决与预应力的载荷和工作负载。对于线性系统的分析，由于模型组成的原因，必须使用一个恒定值。如果没有任何信息在负载角上存在，可以根据12来测定这个参数。滚珠丝杠传动的有限元模型在刚度矩阵上进行有限元编码，它将成为一个特殊的有限元。对于这个并不对实际用户开放的程序，通过标量弹性元素对滚珠丝杠传动模型进行开发。这些元素都存在于标准的有限元程序。刚度矩阵CBSD（公式43）中矩阵块（i，k=1，2）的对角元素，定义了丝杠的节点和螺母之间三个平移和三个旋转元素。对称的非对角元素Csrc通过轴向和扭转自由度（和）的交叉耦合而生成，如图5所示。为了保证力的平衡，这些耦合被两个参考节点影响，每个节点使用相反的符号。图5所示的四个弹簧元件包括给定的四个节点的单元刚度矩阵（1，1，2，2）：就装配这些元素矩阵而言，对刚度矩阵CBSD只提供了非对角的螺杆刚度条件Cscr，如公式（43）：滚珠丝杠进给系统的模拟对于上述滚珠丝杠进给驱动系统的仿真验证的公式如下。建立机械传动系统的有限元模型，首先要计算其特征频率和振型。然后，有限元的低阶表示被用于模仿控制相应的轴向进给，测量进给传动系统。机械传动系统的有限元分析图6给出了两轴的进给传动试验台，模拟X轴的基本数据。在该进给传动系统中，滚珠丝杠通过联轴器由伺服电机直接驱动。X轴的有限元结构如图7所示。作为机械传动系统唯一的运动，要考虑对特定传动的建模方法的进行评价，机床和滑架可以看作是理想刚体。机床被定义为惯性基座。在图中可以看出机构部件和接合元件的布置。图表1总结了模拟传动系统的几个组成部分所使用的有限元素类型。图二给出了前八的计算出的真实的本证频率和模式形状。在115和275Hz的两个转振模式在转移中主导优势，对于实现带宽的速度控制回路最总要的模式是第一扭转模式，这是由于滚珠丝杠的刚度特性的影响，因此才有准确的滚珠丝杠传动模型的重要性。该模式的特征在于滑架的反向振动（轴向运动）和滚珠丝杠（旋转运动）正常的螺旋度。电机轴的旋转是有轻微扭转的丝杠的耦合。在第二种扭转模式中，在电机轴的旋转和丝杠的扭转耦合间出现反向振动。滚珠丝杠通过丝杠上螺母的自由度与滑架几乎是静止的，在轴向轴承和丝杠螺母之间接受轻微的轴向应变。 表1：在模型中使用的有限元类型零件有限元模型电机轴圆截面梁单元滚珠丝杠圆截面梁单元联轴器标量弹簧（扭转刚度）轴承标量弹簧（轴向抗弯刚度）滚珠丝杠传动标量弹簧模型的刚度条件按上述设定滑架重力中心的刚体质量张量直线导轨垂直和侧向刚度 表2：计算本征频率和振型模式本征频率振型10 Hz刚体模式：滚珠丝杠传动的螺旋机构234.8 Hz电机轴的轴向振动；耦合无约束的轴向位移3115 Hz滑块与正常自由度的丝杠之间的的反向振动，电机轴和丝杠的相位旋转4，5225 Hz滚珠丝杠的弯曲模式6275 Hz电机轴和丝杠之间的反向旋转。丝杠通过螺母在其自由度方向运动7，8276 Hz电机轴的径向振动当处理完这些模式之后，按照模态合成法，从电机轴和其上面传感器的安装点的传递函数来看，扭转模式的主导地位变得明显了。图8是对电机转矩和转速做出的波德图。它清楚的显示了振动的扭转模式中，锁定转子和谐振频率。模态阻尼法是对所有模式采用5%的临界阻尼来进行传递函数的计算。轴控制系统的模拟轴控制闭环系统的有限元模型用于机械控制路径（参见文献7,8）。利用有限元二阶运动微分方程求解，转化为更合适的表示时域仿真的状态空间。在该例子中考虑模态降阶，以减少计算成本，状态空间系统来自情态系统的解耦矩阵。图9给出了在机床上常用的串级位置控制单元，也可以在本测试台使用。进给轴的机电模型考虑了同步伺服电机模型的简化形式，用电源电路的延迟元件时间响应，在串级控制设置了一个位置，速度和电流控制器。机械传动系统描述了利用有限元模型来减少空间系统的模型块。作为仿真的例子，图10示出了由限带白噪声对速度控制器的输入进行计算的速度控制回路的频率响应，以及阶跃响应的位置控制回路和与实际进给传动试验台的相应的实验结果。可以看出，锁定的转子频率（如图8和图10）的速度控制回路的响应是衰减。特别是最低的（第一个）锁定转子的频率，这种情况一般是由于滚珠丝杠传动的刚度特性限制了速度控制回路的可利用的动态范围。锁定转子频率的模拟和测量的响应函数的一致性表明，用合适的有限元方法能准确的实现滚珠丝杠传动的刚度公式的推导。总结进给驱动系统的整体造型和采用有限元发的灵活的框架结构，对机电一体化中动态机床系统分析和优化是至关重要的。滚珠丝杠传动的单元刚度矩阵，是替代在螺母和丝杆啮合区刚度条件的一个方法。所提出的滚珠丝杠传动的标量弹簧模型，通过刚度特性和丝杠传动的自由度，促进丝杠和螺母之间的耦合。通过进给传动测试台的轴向进给的模拟仿真，表明，通过使用通用有限元程序可以对滚珠丝杠进给系统精确的建模。该过程是独立的有限元程序的使用，因此很被用户扩展到现有的建模和分析上应用。结合有限元建模对传动系统和振动特性分析和优化，是一个很好的前景。使用降阶表示的有限元模型可以模拟控制系统。这可以确定控制器的增益因数和时间常数和主要性能以及保真度参数，例如控制偏差，稳定时间，或控制器的带宽，来评估机器设计阶段的草案。