第一章-§1.3(一)学习专用.docx

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§1.3　三角函数的诱导公式(一)
学习目标　1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．
设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α)．
知识点一　诱导公式二
思考　角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系？
答案　角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：
诱导公式二
sin(π＋α)＝－sin α，
cos(π＋α)＝－cos α，
tan(π＋α)＝tan α.
知识点二　诱导公式三
思考　角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？
答案　角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：
诱导公式三
sin(－α)＝－sin α，
cos(－α)＝cos α，
tan(－α)＝－tan α.
知识点三　诱导公式四
思考　角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？
答案　角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：
诱导公式四
sin(π－α)＝sin α，
cos(π－α)＝－cos α，
tan(π－α)＝－tan α.
梳理　公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：
2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．
1．诱导公式中角α是任意角．(　×　)
提示　正弦、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．
2．sin(α－π)＝sin α.(　×　)
提示　sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α.
3．cos π＝－.(　√　)
提示　cos ＝cos＝－cos ＝－.
4．诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用．(　×　)
提示　在角度制和弧度制下，公式都成立．
类型一　利用诱导公式求值
命题角度1　给角求值问题
例1　求下列各三角函数式的值：
(1)cos 210°；(2)sin ；(3)sin；(4)cos(－1 920°)．
考点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解　(1)cos 210°＝cos(180°＋30°)
＝－cos 30°＝－.
(2)sin＝sin
＝sin＝sin
＝sin＝.
(3)sin＝－sin
＝－sin＝－sin＝sin＝.
(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°
＝cos(5×360°＋120°)
＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－.
反思与感悟　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化．
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
跟踪训练1　求下列各三角函数式的值：
(1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．
考点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解　(1)方法一　sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
方法二　sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)方法一　cos＝cos＝cos
＝cos＝－cos ＝－.
方法二　cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
命题角度2　给值求值或给值求角问题
例2　(1)已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
考点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
答案　D
解析　由sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，
可得－sin θ＝－cos θ，|θ|<，
即tan θ＝，|θ|<，∴θ＝.
(2)已知cos＝，求cos－sin2的值．
考点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解　因为cos＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2＝1－cos2
＝1－2＝，
所以cos－sin2＝－－＝－.
反思与感悟　(1)解决条件求值问题的策略
①解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
②可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
(2)对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．
跟踪训练2　(2019·大同检测)已知sin β＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为(　　)
A．1 B．－1 C. D．－
考点　诱导公式二、三、四
题点　诱导公式二
答案　D
解析　由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，
则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2kπ＋π＋β(k∈Z)，
sin(α＋2β)＝sin(2kπ＋π＋β)＝sin(π＋β)
＝－sin β＝－.
类型二　利用诱导公式化简
例3　化简下列各式：
(1)；
(2).
考点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解　(1)原式＝
＝＝－＝－tan α.
(2)原式＝
＝＝
＝＝－1.
引申探究
若本例(1)改为：(n∈Z)，请化简．
解　当n＝2k时，
原式＝＝－tan α；
当n＝2k＋1时，
原式＝＝－tan α.
反思与感悟　三角函数式的化简方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．
(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan .
跟踪训练3　化简下列各式：
(1)；
(2).
考点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解　(1)原式＝
＝＝1.
(2)原式＝
＝
＝＝.
1．已知tan α＝4，则tan(π－α)等于(　　)
A．π－4 B．4 C．－4 D．4－π
考点　公式二、三、四
题点　公式四
答案　C
解析　tan(π－α)＝－tan α＝－4.
2．sin 585°的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
考点　公式二、三、四
题点　公式二
答案　A
解析　sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)
＝－sin 45°＝－.
3．(2019·牌头中学月考)利用诱导公式化简：
sin(π－x)＝________，sin(π＋x)＝________.
考点　公式二、三、四
题点　公式四
答案　sin x　－sin x
4．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为______．
考点　公式二、三、四
题点　公式二
答案　－
解析　tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°)
＝tan 60°＝－＝，即a＝－.
5．化简：·sin(α－2π)·cos(2π－α)．
考点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解　原式＝·[－sin(2π－α)]·cos(2π－α)
＝·sin α·cos α＝cos2α.
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π之间的角求值
公式二
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将角转化为0～之间的角求值
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
3．已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解．必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”．
一、选择题
1．(2019·绍兴期末)cos(π＋x)等于(　　)
A．cos x B．－cos x
C．sin x D．－sin x
考点　公式二、三、四
题点　公式二
答案　B
解析　由诱导公式得cos(π＋x)＝－cos x.
2．(2019·绵阳检测)已知sin＝，则sin的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
考点　公式二、三、四
题点　公式四
答案　C
解析　sin＝sin
＝sin＝.
3．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是(　　)
A．－ B. C．－ D.
考点　公式二、三、四
题点　公式二
答案　B
解析　因为sin(π＋α)＝，且sin(π＋α)＝－sin α，
所以sin α＝－，
又因为α是第四象限角，
所以cos(α－2π)＝cos α＝
＝＝.
4．(2019·天津一中期末)化简sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为(　　)
A．1 B．2sin2α C．0 D．2
考点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
答案　D
解析　原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.
5．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于(　　)
A. B．－
C. D．－
考点　公式二、三、四
题点　公式三
答案　B
解析　∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，
∴sin 80°＝，则tan 80°＝.
∴tan 100°＝－tan 80°＝－.
6．已知n为整数，化简所得的结果是(　　)
A．tan nα B．－tan nα
C．tan α D．－tan α
考点　公式二、三、四
题点　公式二
答案　C
解析　当n＝2k，k∈Z时，＝
＝＝tan α；
当n＝2k＋1，k∈Z时，＝
＝＝＝tan α.故选C.
7．若sin(π－α)＝log8，且α∈，则cos(π＋α)的值为(　　)
A. B．－
C．± D．以上都不对
考点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
答案　B
解析　∵sin(π－α)＝sin α＝2－2＝－，
α∈，
∴cos(π＋α)＝－cos α＝－
＝－ ＝－.
二、填空题
8．化简＝________.
考点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
答案　1
解析　＝
＝＝＝1.
9.的值是________．
考点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
答案 　－2
解析　原式＝
＝
＝
＝＝＝－2.
10．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β为非零常数，若f(2 017)＝－1，则f(2 018)＝________.
考点　公式二、三、四
题点　公式二
答案　1
解析　∵f(2 018)＝asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β)
＝asin(π＋2 017π＋α)＋bcos(π＋2 017π＋β)
＝－asin(2 017π＋α)－bcos(2 017π＋β)
＝－f(2 017)，
又f(2 017)＝－1，∴f(2 018)＝1.
11．已知a＝tan，b＝cos ，c＝sin，则a，b，c的大小关系是________．
考点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
答案　b＞a＞c

新叶阅读答案解析　∵a＝－tan＝－tan ＝－，
b＝cos＝cos ＝，
c＝－sin＝－sin＝－，
∴b＞a＞c.
三、解答题
12．已知角α的终边经过单位圆上的点P.
(1)求sin α的值；

数学函数怎么学(2)求·的值．

有机化学试题及答案考点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解　(1)∵点P在单位圆上，

有机化学试题及答案∴由正弦的定义得sin α＝－.
(2)原式＝·＝＝，
由余弦的定义得cos α＝，故原式＝.

有理数的加减混合运算四、探究与拓展

新教师听公开课13．已知f(x)＝则f＋f的值为________．

教科版五年级下册科学连线题考点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
答案　－2

校本课程教材解析　因为f＝sin
＝sin＝sin＝；

数学函数怎么学f＝f－1＝f－2

数学试卷讲评教案＝sin－2＝－－2＝－，
所以f＋f＝－2.
14．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
考点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
题点　同名诱导公式(二、三、四)的综合应用
解　(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝，
∴sin α＝－.又α是第三象限角，
∴cos α＝－.∴f(α)＝.
(3)∵－＝－6×2π＋，
∴f＝－cos
＝－cos ＝－cos ＝－.
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