平差试卷及答案.doc

中南大学考试试卷一
—— 学年学期期末考试试题 时间110分钟
误差理论与测量平差基础 课程学时学分 考试形式:卷
专业年级：
总分100分，占总评成绩70%
注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上
一、设有一五边形导线环，等精度观测了各内角,共观测了八组结果,而计算出该导线
环的八组闭合差（即真误差）为—16″、+18″、+22″、—13″、—14″、+16″、
-10″、—12″，试求该导线环之中误差及各角观测中误差.（本题10分）
二、（1）有了误差椭圆为何还要讨论误差曲线？两者有什么关系？
（2）已知某平面控制网中有一待定点P，以其坐标为参数,经间接平差得法方程为:
单位权中误差，以为单位,试求：
1) 该点误差椭圆参数;
2) 该点坐标中误差以及点位中误差;
3) 的位差值。（本题共20分）
三、试证明间接平差中平差值与改正数V的相关性.（本题10分）
四、下图水准网中,P1、P2为待定点，A、B、C、为已知水准点，已测得水准网
中各段高差见下表：
编号
1
2
3
4

+2。500
+2。000
+1。352
+1。851

1
1
2
1
且。
试任选一种平差方法，求:（1）P1、P2点高程平差值;
（2)平差后P1、P2点间高差协因数.（本题共25分）
五、下图一平面控制网，试按四种平差方法分别说明：
（1）参数的个数？函数模型的个数？
（2）函数模型的类型？各种类型的个数？并对不同类型的形式举例说明.
（3）各种平差方法精度评定时有何异同？（本题共25分）
六、产生秩亏的原因是什么？水准网、测角网、边角网以及GPS网的秩亏数各是多少？
简述秩亏自由网平差的过程。（本题10分）
试卷一参考答案
一、解:导线环中误差为：的；
测角中误差为:
二、解：由法方程可以得到参数的协因数阵为：
从而得：
由得:
得: 或
则：
将代入 中得：
三、证明：
基本关系式为:
由协因数传播律得：
所以
即：平差值与各改正数是不相关的。
四、解：
设p1点p2点的高程为，则其近似值为
,
误差方程为：
法方程为：
解法方程得
所以p1,P2点的平差值为：
而：
两点间高差的平差值函数为
按协因数传播率得：
五、解：
（1）条件平差：参数个数为0，函数模型的个数为7;函数模型类型有图形条件5个、圆周条件1个、极条件1个.
间接平差：参数个数为8，函数模型的个数为15；函数模型为观测方程.
（3)精度评定时都是先求单位权方差估值;条件平差求平差值协因数阵、间接平差求参数协因数阵；附有限制条件的条件平差需求参数协因数阵、平差值协因数阵以及两两户协因数阵；建立平差值函数（或参数函数式）,利用协因数传播律求函数协因数；最后利用求函数的方差。
六、答：
（1）产生秩亏的原因:就是平差网形中缺少的必要起算数据个数。秩亏数d就是秩亏自由网中的基准亏损数， d=R'（B）-R（B）( R‘（B）是B的列满秩数，R（B）是实际秩数.）
（2）水准网d=1；测角网d=4；边角网d=3；GPS网d=3
(3）秩亏自由网平差的函数模型为:
相应的误差方程为：
随机模型为:
附加条件：
组法方程：
解法方程，得解：
或者,整理得:
中南大学考试试卷二
-- 学年学期期末考试试题 时间110分钟
误差理论与测量平差基础 课程学时学分 考试形式：卷
专业年级：
总分100分，占总评成绩70%
注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上
一、 测量平差的基本任务是什么？何谓精度？何谓准确度？简述各种经典平差方法的共性与特性。 (15分）
二、 经典自由网平差和秩亏自由网平差有何不同?产生秩亏的原因？水准网、测角网、边角网、GPS网的秩亏数各是多少？秩亏自由网平差的中心思想是什么？ （15分)
三、 有导线网如图所示,A、B、C、D为已知点，P1～P6为待定点，观测了14个角和9条边长。已知测角中误差，测边中误差，以米为单位。设待定点的坐标为参数，试按间接平差法求：
(1）共有几个误差方程?应组成多少个法方程?
（2)列出观测值线性化后的误差方程式。
(3）写出平差的随机模型.（共20分）

四、 如下图所示的水准网,已知点A、B的高程为P1, P2为待定点,高差观测值（Q=I）为：
任选一种已学过的平差方法求：
（1） P1、P2点高程平差值；
（2） P1、P2点高程平差值的中误差。(共20分)
五、 某三角网中含有一个待定点P，经间接平差得法方程为:
单位权中误差为σ0=±1。0″，X、Y以dm为单位，试求：
（1） P点误差椭圆参数；
（2） 计算φ=30°时的位差及相应的ψ值;
（3） 设φ=30°的方向为PC方向，且已知边长Spc=3。120km。
试求PC边的边长相对中误差以及方位角中误差。(共20分）
六、 证明在条件平差中平差值与改正数V的相关性.（10分)
试卷二参考答案
一、 答：
（1)测量平差的基本任务是处理一系列带有偶然误差的观测值，求出未知量的最佳估值,并评定测量成果的精度。
（2）精度是指误差分布的密集或离散的程度.
准确度是指被观测量的真值与观测值数学期望之间的差值。
（3）各种平差方法的共性与特性：
共性：第一,建立四种经典平差函数模型均与参数选取有关；第二，平差准侧均是采用最小二乘原理；第三,四种经典平差函数模型都可以看成是附有限制条件的条件平差法函数模型的一个特例;第四，四种函数平差模型最后平差结果(平差值及其精度）相同，即四种经典平差模型可以等价转换。第五,经典平差函数模型均满足:。
特性:第一，条件平差、间接平差和附有参数的条件平差中的条件方程称为一般条件方程，特别的间接平差的一般条件方程称为观测方程,而附有条件的间接平差称中的条件方程为限制条件方程；
第二，四种经典平差函数模型参数选取各不相同。如条件平差不加入任何参数，间接平差在r个多余观测基础上,再加了u=t个独立参数等等;
第三,各经典平差方法用途不用，适用性不同.如间接平差和附有限制条件的间接平差采用较多,因为间接平差规律性较强,形式统一，便于程序计算,而且参数往往是所求目标.
二、 答：
(1）经典自由网和秩亏自由网差别在于是否有起算数据参与计算，前者是必须有足够的起算数据，后者是没有任何起算数据参与。
（2）产生秩亏的原因是控制网中没有起算数据，水准网、测角网、测边网、GPS网秩亏数分别是1，3，3,4。
（3）秩亏自由网平差的中心思想就是在满足最小二乘和最小范数的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法。
三、解答:
（1）共有23个误差方程,应组成12个法方程；
（2）依题意设P1~P6坐标
为参数。
则得和、、线性化后的误差方程为：
(3) 平差的随机模型为：
其中:Q为观测值的协因数阵,P为观测值权阵，P与Q互逆;
为单位权方差。
由测角的单位权方差为,由于等精度观测，则14个角度的权其中i=1,2，3….14; 测边权为其中i=1，2…。。9（令）
则随机模型为
三、 解:
采用间接平差，设P1、P2高程为参数。
则误差方程为
带入已知数据并整理得矩阵形式：
组成法方程得：=
解之得： =
（1）P1、P2高程平差值分别为:
（2）计算：= 0.245m
P1、p2高程平差值的中误差为：
五、解：法方程整理成矩阵形式得:
可得：==
(1) =1。108
=1。281
=0.173
=1。132
=0.416
= -2.25
故： 或
=3。403
故： 或
（2） <
故时=277
时 =97
位差是： =0.436dm
（3)边长相对中误差为=
方位角中误差为=
六、证明:条件平差基本向量关系式如下:
又：，
故:
又:
故 ：
由此可知，在条件平差中平差值与改正数不相关。
中南大学考试试卷三
—— 学年学期期末考试试题 时间110分钟
误差理论与测量平差基础 课程学时学分 考试形式：卷
专业年级：
总分100分,占总评成绩70％
注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上
一、问答题(共20分）
1、衡量精度指标有哪些？相对中误差在何种情况下使用?（3分）
2、何谓观测条件？观测条件与观测质量有何关系？（3分）
3、何谓多余观测？何谓必要观测？二者和总观测数有何关系？（3分）
4、已知观测向量的权阵，单位权方差，则观测值的方差等于多少？（6分）
5、已知观测值向量的权阵为，则观测值的权和为多少?(5分)
二、在下图的导线网中,A，B，C，D为已知点，2,3为待定点,观测了3条边长和4个角度，已知测角中误差为3秒，测距精度为3mm+1×10—6Skm.
试：（1)按条件平差法平差时，共有多少个条件式？分别是哪种类型？各有几个？（10分）
（2）按间接平差法平差时,共有多少个误差方程？误差方程类型怎样？（10分)
三、如下图所示三角网,等精度独立观测了三个角L1,L2,L3,观测值为：
，试按条件平差法求角度的平差值及其协因数.（20分）
四、如下图水准网中,P为待定点，A、B、C、为已知水准点，已测得水准网
中各段高差以及公里数见下表：
编号
1
2
3

+3.552
+2.605
—1。425

1
1
1
且。
试按间接平差方法,求：
（1）P点高程平差值；
（2）平差后P点高程的权（当c=1时）。（本题共25分）
五、何谓误差椭圆?并说明误差椭圆的三要素计算方法以及用途。（15分）
试卷三参考答案
一、 问答题（共20分)
答:
（1）衡量精度的指标有：
中误差，方差,平均误差,或然误差，极限误差 相对误差.
对于某些长度元素的观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果好坏。例如，分别丈量了1000m及500m的两段距离，它们的中误差均为±2cm虽然两者的中误差相同，但就单位长度而言,两者精度并不相同。显然前者的相对精度比后者要高.此时,须采用另一种办法来衡量精度，通常采用相对中误差,它是中误差与观测值之比。
(2）观测误差产生的原因大体上有以下三个来源：仪器工具、观测者、观测时的外界条件,这三方面总称为观测条件。观测条件相同的观测称为等精度观测;观测条件不同的观测称为不等精度观测.观测条件越好，观测质量越高。
（3）在测量工程中，为了求得一个几何模型中各个量的大小，必须进行观测，能够唯一确定这个几何模型所必要的元素简称为必要元素,在测量工程中这些元素是要必须进行观测的,其个数称为必要观测数，用t表示。当观测的总个数（用n表示）,多于必要观测个数时就产生了多余观测（用r表示）.。
(4）因为,所以，所以,
=×.
(5)因为，所以，=2,=1。
二、 解：(1)因为n=7，t=4，所以r=n-t=3
共有3个条件式
条件式有两种类型:方位角条件，坐标条件.其中方位角条件
1个，坐标条件2个.
(2)因为n=7,所以有7个误差方程
误差方程类型:以角度为观测值、以边长为观测值的误差方程。
三、 解：n=3,t=2,所以r=n—t=1
条件方程为：
令:
观测值权阵为：,
, ,
代入,计算出
故角度平差值为：,
平差值协因数为:
四、解：设P点高程
观测方程为:
误差方程:
则误差方程的矩阵式为：
， ,
组解法方程,得：=26.467m
P点平差高程的协因数：=1/3 ，则 =3。
五、 答：(1）点位误差曲线虽然有许多用途，但它不是一种典型曲线，作图不太方便，因此降低了它的实用价值。但其总体形状与以、为长短半轴的椭 圆很相似，而且可以证明，通过一定的变通方法,用此椭圆可以代替点位误差曲线进行各类误差的量取,故将此椭圆称点位误差椭圆（习惯上称误差椭圆），、、称为点位误差椭圆的参数。故实用上常以点位误差椭圆代替点位误差曲线.
（2）误差椭圆三要素计算公式为：
；；
(3）用途：在测量工程中，点位误差曲线图的应用很广泛，在它上面可以图解出控制点在各个方向上的位差，从而进行精度评定.这些中误差包括:1．坐标轴方向上的中误差2．极大值和极小值 3．平差后的边长中误差4．平差后的方位角的中误差。5、任意方向上的位差。
中南大学考试试卷四
—— 学年学期期末考试试题 时间110分钟
误差理论与测量平差基础 课程学时学分 考试形式:卷
专业年级:
总分100分，占总评成绩70％
注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上
一、问答题(共20分)
1、已知两段距离的长度及中误差分别为300.465m±4.5cm及660。894m±4.5cm，试说明这两段距离的真误差是否相等?他们的精度是否相等？为何?(3分）
2、何谓多余观测？测量中为什么要进行多余观测?（3分）
3、设有观测向量，其协方差阵为：
，现有两函数为:(1）；(2)
则函数的方差分别为多少？(5分）
4、在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1mm，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于5cm，问可以设多少站？（3分）
5、已知观测值向量的权阵为，则观测值的权和为多少？(3分）
6、某平差问题有15个同精度观测值，必要观测数等于8，现取8个参数，且参数之间有两个限制条件。若按附有限制条件的的条件平差法进行平差,应列出多少个条件方程和限制条件方程？其法方程有几个？(3分)
二、在下图的三角网中,A，B，C为已知点,P1，P2，P3为待定点,观测值为。
试说明按条件平差时条件式的个数以及类型；并建立全部条件式（非线性需线性化）。(15分）
三、试证明间接平差中平差值与参数的相关性。（本题15分)
四、如下图三水准网中，P为待定点，A、B、C、为已知水准点，已测得水准网
中各段高差以及公里数见下表：
编号
1
2
3

+3。552
+2。605
—1.425

2
6
3
且。
试任选一种平差方法，求：(1)P点高程平差值;
(2）平差后P点高程的权（当c=1时）。（本题共20分）
五、由A、B、C三点确定P点坐标，角度为同精度观测值，平差后得到的协因数为，且单位权中误差。已知AP边边长约为300m，方位角，平差后角度,试求：
(1)P点误差椭圆参数;
（2）AP边的边长相对中误差以及方位角中误差。（共20分）
六、自由网平差方法有哪几种？控制网的秩亏数是有什么决定的?秩亏自由网平差的过程如何。（本题10分)
试卷四参考答案
一、解答:
1、真误差不一定相等。精度也不相等，因为二者的相对中误差不幸等.后者精度要高于前者精度。
2、超过必要的观测个数叫多余观测,目的是为了提高观测成果的质量、发现和剔除粗差。多余观测又是必需的。
3、利用 (1)(2)要先进行线性化
4、利用 得N=255、先求协因数，再求权
6、n=15，t=8,u=8，s=2，13个条件方程，2个限制条件方程,组成的法方程有15个。
二、解答:由题意知：n=13，t=14，r=7，
4个图形条件：
1个极条件：(以P1为极）
1个固定角条件：
1个固定边条件：
极条件线性化为：
其中：
固定边条件线性化为：
其中：
三、证明:基本关系式为:
易得:
所以：
四、解答:
设p点的高程为，则其近似值为
组成的误差方程为:
令C=1,则权为，
则法方程系数阵以及常数项为：，
法方程为：
解得：
所以:
因为,所以=1，
所以p点的最或是高程是25。4652m，平差后的高程权为1.
五、解答：由误差椭圆三要素计算公式得：
因为，
所以
将代入得：
所以
六、答:
1、按平差基准不同可将自由网平差分为三类:
1)以全部网点重心为基准（简称重心基准) 的秩亏自由网平差；(PX=I）
2)以网中部份相对稳定点重心为基准（简称拟稳基准) 的拟稳自由网平差(简称拟稳平差) ；
3）即网中存在d 个起始数据, 这就是固定基准下的经典自由网平差。
2、秩亏的原因是网中没有必要的起算数据，秩亏数d就是秩亏自由网中的基准亏损数，
d=R'(B)—R（B）（ R‘（B)是B的列满秩数,R（B）是实际秩数。)
3、秩亏自由网平差的函数模型为：
相应的误差方程为：
随机模型为：
附加条件:
按最小二乘原则，作函数：
得法方程：
解法方程，得X解：
或者,整理得：
《误差理论与测量平差基础》课程试卷
《误差理论与测量平差基础》课程试卷答案