第一章-§3-3.3学习专用.docx

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3．3　全称命题与特称命题的否定
学习目标　1.理解全称命题和特称命题的否定的意义.2.会对全称命题和特称命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
知识点一　全称命题的否定
思考　尝试写出下面全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法．
(1)所有矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)任意x∈R，x2－2x＋1≥0.
答案　(1)将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：
(2)存在一个素数不是奇数；
(3)存在x∈R，x2－2x＋1<0.
梳理　写全称命题的否定的方法
(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定．
全称命题的否定是特称命题．
知识点二　特称命题的否定
思考　尝试写出下面特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)存在x∈R，x2＋1<0.
答案　(1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定：
(2)所有平行四边形都不是菱形；
(3)任意x∈R，x2＋1≥0.
梳理　写特称命题的否定的方法
(1)将存在量词改写为全称量词，(2)将结论否定．
特称命题的否定是全称命题．
1．命题綈p的否定为p.(√)
2．存在x∈M，p(x)与任意x∈M，綈p(x)的真假性相反．(√)
3．从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(×)
类型一　全称命题的否定
例1　写出下列全称命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；
(3)任意a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的否定
解　(1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．
(3)其否定：存在a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
反思与感悟　全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．
跟踪训练1　写出下列全称命题的否定：
(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)p：所有自然数的平方都是正数；
(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的否定
解　(1)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(2)有些自然数的平方不是正数．
(3)存在实数x不是方程5x－12＝0的根．
(4)存在实数x，使得x2＋1<0.
类型二　特称命题的否定
例2　写出下列特称命题的否定，并判断其真假．
(1)p：存在x∈R,2x＋1≥0；
(2)q：存在x∈R，x2－x＋＜0；
(3)r：有些分数不是有理数．
考点　存在量词的否定
题点　含存在量词的命题的否定
解　(1)任意x∈R,2x＋1＜0，为假命题．
(2)任意x∈R，x2－x＋≥0.
∵x2－x＋＝2≥0，是真命题．
(3)一切分数都是有理数，是真命题．
反思与感悟　特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．
跟踪训练2　写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)存在x，y∈Z，使得x＋y＝3.
考点　存在量词的否定
题点　含存在量词的命题的否定
解　(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(3)命题的否定是“任意x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
类型三　含量词的命题的应用
例3　已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．
考点　含有一个量词的命题
题点　由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
解　因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x∈R，x2＋ax＋1＜0”．
由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．
由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，
借助二次函数的图像易知，Δ＝a2－4＞0，
解得a＜－2或a＞2.
所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
引申探究
把本例中“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．
解　由题意知Δ＝a2－4≤0，解得a∈[－2,2]．
故a的取值范围为[－2,2]．
反思与感悟　含有一个量词的命题与参数范围的求解策略
(1)对于全称命题“任意x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a＞f(x)max(a＜f(x)min)．
(2)对于特称命题“存在x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a＞f(x)min(或a＜f(x)max)．
(3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．
考点　含有一个量词的命题
题点　由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
解　(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)，若存在一个实数x，使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
1．命题“任意x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)
A．任意x∈R，|x|＋x2＜0
B．任意x∈R，|x|＋x2≤0
C．存在x∈R，|x|＋x2＜0
D．存在x∈R，|x|＋x2≥0
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的否定
答案　C
2．存在m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 017的否定是(　　)
A．任意m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 017
B．存在m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 017
C．任意m，n∈Z，有m2≠n2＋2 017
D．以上都不对
考点　存在量词的否定
题点　含存在量词的命题的否定
答案　C
3．命题“任意x∈R，x＞sin x”的否定是________________．
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的否定
答案　存在x∈R，x≤sin x
4．由命题“存在x∈R，使e|x－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是________．
考点　含有一个量词的命题
题点　含一个量词的命题的否定
答案　1
解析　其否定为：∀x∈R，使e|x－1|－m＞0，
且为真命题．m＜e|x－1|.
只需m＜(e|x－1|)min＝1.故a＝1.
5．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：任意x∈R，x2＋2x＋2＝0；
(2)p：所有的正方形都是菱形；
(3)p：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
考点　全称(存在)量词的否定
题点　含全称(存在)量词的命题的否定
解　(1)存在x∈R，x2＋2x＋2≠0，真命题．
因为任意x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0恒成立．
(2)至少存在一个正方形不是菱形，假命题．
因为所有的正方形都是菱形．
(3)任意x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为当x＝－1时，x3＋1＝0.
1．对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如：将“≥”否定为“<”．
2．对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断．
一、选择题
1．下列命题中，真命题的个数是(　　)
①存在实数x，使得x2＋2＝0；②有些角的正弦值大于1；③有些函数既是奇函数又是偶函数．
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　含有一个量词的命题
题点　含一个量词的命题真假判断
答案　B
解析　x2＋2≥2，故①是假命题；∀x∈R，sin x≤1，故②是假命题；f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，所以③是真命题．故选B.
2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)
A．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0
C．存在x∈R，x3－x2＋1＞0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的否定
答案　C
解析　由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0”．故选C.
3．已知命题p：存在a∈(－∞，0)，a2－2a－3＞0，那么命题p的否定是(　　)
A．存在a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0
B．存在a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0
C．对任意a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0
D．对任意a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0
考点　存在量词的否定
题点　含存在量词的命题的否定
答案　D
解析　易知命题p的否定为：对任意a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0，故选D.
4．已知p：任意x∈R，ax2＋2x＋3＞0，如果p为假命题，那么a的取值范围是(　　)
A．a＜ B．0＜a≤ C．a≤ D．a≥
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的真假求参数的取值范围
答案　C
解析　显然当a＝0时，满足题意；
当a＞0时，由Δ≥0，得0＜a≤；
当a＜0时，满足题意．
所以a的取值范围是.
5．下列命题中，假命题是(　　)
A．任意x∈R,2x－1>0 B．任意x∈N＋，(x－1)2>0
C．存在x∈R，lg x<1 D．存在x∈R，tan x＝2
考点　含有一个量词的命题
题点　含一个量词的命题真假判断
答案　B
解析　对于任意x∈R，y＝2x>0恒成立，而y＝2x－1的图像是将y＝2x的图像沿x轴向右平移1个单位长度，函数的值域不变，故2x－1>0恒成立，A为真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题；当0<x<10时，lg x<1，故存在x∈R，lg x<1，C为真命题；y＝tan x的值域为R，故存在x使得tan x＝2，D为真命题．故选B.
6．命题“任意n∈N＋，f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定形式是(　　)
A．任意n∈N＋，f(n)∉N＋且f(n)>n
B．任意n∈N＋，f(n)∉N＋或f(n)>n
C．存在n∈N＋，f(n)∉N＋且f(n)>n
D．存在n∈N＋，f(n)∉N＋或f(n)>n
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的否定
答案　D
解析　“f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N＋或f(n)>n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.
7．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是(　　)
A．存在x1∈R，f(x1)≤f(x0)
B．存在x1∈R，f(x1)≥f(x0)
C．任意x∈R，f(x)≤f(x0)
D．任意x∈R，f(x)≥f(x0)
考点　含有一个量词的命题
题点　含一个量词的命题真假判断
答案　C
解析　当a>0时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像为开口向上的抛物线，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则x0＝－为抛物线顶点的横坐标，f(x)min＝f(x0)，故对于任意x∈R，f(x)≥f(x0)成立，从而A，B，D为真命题，C为假命题．
二、填空题
8．若命题：“存在x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
考点　含有一个量词的命题
题点　由含量词的复合命题的真假求参数的范围
答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析　由题意得Δ＝(1－a)2－4＞0，解得a＜－1或a＞3.
9．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是_________．
考点　存在量词的否定
题点　含存在量词的命题的否定
答案　任意x∈(0，＋∞)，x2＋2(a－1)x＋2a＋6≠0
10．设命题p：任意x∈R，x2＋ax＋2＜0，若p为假命题，则实数a的取值范围是________．
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的真假求参数的取值范围
答案　(－∞，＋∞)
解析　命题p的否定：存在x∈R，x2＋ax＋2≥0为真命题，显然a∈R.
11．命题“对任意x∈R，都有|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是____________________________.
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的否定
答案　存在x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3
三、解答题
12．若命题“任意x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
考点　简单逻辑联结词的综合应用
题点　由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围
解　x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0，
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为“任意x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒成立”，
所以Δ≤0或
即－2≤a≤1或－3≤a＜－2，所以－3≤a≤1.
故所求实数a的取值范围为[－3,1]．
13．已知p：任意a∈(0，b](b∈R且b＞0)，函数f(x)＝
sin的周期不大于4π.
(1)写出命题p的否定；
(2)当命题p的否定是假命题时，求实数b的最大值．
考点　全称量词的否定
题点　全称量词的命题的否定
解　(1)命题p的否定：存在a∈(0，b](b∈R且b＞0)，
函数f(x)＝sin的周期大于4π.
(2)由于命题p的否定是假命题，所以p是真命题，
所以任意a∈(0，b]，≤4π恒成立，
解得a≤2，所以0＜b≤2，所以实数b的最大值是2.
四、探究与拓展
14．关于x的函数y＝x2－(a＋1)x＋2a对于任意a∈[－1,1]的值都有y＞0，则实数x的取值范围为________________________________________________________________________．
考点　简单逻辑联结词的综合应用
题点　由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围
答案　(－∞，－)∪(，＋∞)
解析　设f(a)＝x2－(a＋1)x＋2a，则有f(a)＝(2－x)a＋x2－x，a∈[－1,1]，
∵当a∈[－1,1]时，y＝f(a)＞0恒成立，
∴对a的系数讨论如下：
①当x＝2时，f(a)＝2＞0显然成立；
②当x≠2时，由f(a)＞0，a∈[－1,1]恒成立，得
即

数学文化答案解得x＞或x＜－.

有机化学试题及答案综上，x＞或x＜－.
15．给出两个命题，命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数，分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．
(1)甲、乙中至少有一个是真命题；

李笑来 学习这里(2)甲、乙中有且只有一个真命题；
考点　简单逻辑联结词的综合应用

新教师听公开课题点　由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围

植物细胞教学设计第二课时解　当甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，

景山学校通州校区施工情况解得a＞或a＜－1.
当乙命题为真时，2a2－a＞1，解得 a＞1或a＜－.

数学函数怎么学(1)甲、乙中至少有一个是真命题时，
a的取值范围是∪.

教案的教学反思怎么写(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：

昆虫记阅读题及答案当甲真乙假时，a的取值范围是；

文成公主进藏教学实录当甲假乙真时，a的取值范围是.
所以，实数a的取值范围为∪.
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