球的体积和表面积公式具体推导过程.doc

1.。3。2球的体积和表面积(1)设球的半径为R，将半径OAn等分，过这些分点作平面把半球切割成n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”,这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积.由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度，底面就是“小圆片”的下底面。由勾股定理可得第i层(由下向上数）“小圆片的下底面半径：,（i1，2，3，n)第i层“小圆片”的体积为：V，（i1，2，3,，n)半球的体积：V半径V1V2Vn1（1）（1）1n（注：)n）当所分的层数不断增加,也就是说，当n不断变大时，式越来越接近于半球的体积，如果n无限变大，就能由式推出半径的体积。事实上，n增大，就越来越小，当n无限大时，趋向于0,这时,有V半径，所以，半径为R的球的体积为:V1.。3。2球的体积和表面积（2)球的表面积推导方法（设球的半径为R，利用球的体积公式推导类似方法）（1）分割。把球O的表面分成n个“小球面片”，设它们的表面积分别是S1，S2，Sn，那么球的表面积为：SS1S2Sn把球心O和每一个“小球面片”的顶点连接起来,整个球体被分成n个以“小球面片”为底,球心为顶点的“小锥体.例如，球心与第i个“小球面片”顶点相连后就得到一个以点O为顶点，以第i个“小球面片”为底面的“小锥体。这样“小锥体”的底面是球面的一部分,底面是“曲”的。如果每一个“小球面片都非常小，那么“小锥体”的底面几乎是“平”的，(好象地球一样），这时，每一个“小锥体就近似于棱锥，它们的高近似于球的半径R.（2）求近似和。设n个“小锥体”的体积分别为V1，V2，Vn那么球的体积为:VV1V2Vn由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的近似值.第i个“小锥体”对应的棱锥以点O为顶点,以点O与第i个“小球面片”顶点的连线为棱.设它的高为hi,底面面积为Si，于是,它的体积为:Vihi Si,（i1,2,，n）这样就有:Vihi Si，(i1,2,，n）V（h1 S1h2 S2 hn Sn）（3）转化为球的表面积.分割得越细密，也就是每一个“小球面片”越小,“小锥体”就越接近于棱锥，如果分割无限加细，每一个“小球面片都无限变小，那么hi （i1，2，n）就趋向于R，Si就趋向于 Si,于是，由可得：VRS又V，所以，有RS 即:S4R2