椭圆定值定点、范围问题总结.doc

椭 圆
一、直线与椭圆问题的常规解题方法:
1.设直线与方程；(提醒:①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n的区别）
2。设交点坐标；（提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”）
3。联立方程组；
4.消元韦达定理；(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）
5。根据条件重转化；常有以下类型：
①“以弦AB为直径的圆过点0"（提醒：需讨论K是否存在）
②“点在圆内、圆上、圆外问题”
“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于0问题"等;
③“等角、角平分、角互补问题"斜率关系(或）;
④“共线问题"
（如：数的角度:坐标表示法；形的角度：距离转化法)；
（如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等)；
⑤“点、线对称问题”坐标与斜率关系；
⑥“弦长、面积问题"转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；
6.化简与计算；
7。细节问题不忽略;①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0。
二、基本解题思想：
1、“常规求值”问题:需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；
2、“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解；
3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零,求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，
5、 求最值问题时:将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；
6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施.这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验;
椭圆中的定值、定点问题
一、常见基本题型：
在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值"是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式是恒定的。
（1)直线恒过定点问题
1、已知点是椭圆上任意一点，直线的方程为,直线过P点与直线垂直，点M（-1，0)关于直线的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标。
2、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一象限弧上一点,且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；
3、已知动直线与椭圆相交于、两点，已知点 , 求证：为定值.
4、 在平面直角坐标系中，已知椭圆。如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于,两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点。(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ）若∙，求证:直线过定点；
椭圆中的取值范围问题
一、常见基本题型:
对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解。
（1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围.
5、已知直线与轴交于点，与椭圆交于相异两点A、B，且，求的取值范围．
（2） 利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式，确定参数的取值范围。
6、已知点,，若动点满足．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ)设过点的直线交轨迹于，两点，若，求直线的斜率的取值范围.
(3)利用基本不等式求参数的取值范围
7、已知点为椭圆:上的一动点，点的坐标为,求的取值范围．
8。已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上。若右焦点到直线的距离为3。(1)求椭圆的方程。
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点。当时，求的取值范围。
9。如图所示,已知圆为圆上一动点,点在上，点在上，且满足的轨迹为曲线.
(I）求曲线的方程；
（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线于不同的两
点（点在点之间），且满足，
求的取值范围.
10、.已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为、,一个顶点为。
（1)求椭圆的标准方程；
(2)对于轴上的点,椭圆上存在点,使得，求的取值范围。
11。已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程;
(Ⅱ)若过点（2，0)的直线与椭圆相交于两点,设为椭圆上一点,且满足(O为坐标原点）,当＜ 时，求实数取值范围．
椭圆中的最值问题
一、常见基本题型：
（1）利用基本不等式求最值,
12、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交 椭圆于A、B两点，求△PAB面积的最大值.
（2）利用函数求最值，
13.如图，轴，点M在DP的延长线上，且．当点P在圆上运动时。 (I)求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ)过点的切线交曲线 C于A，B两点,求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标。
14、已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆G于A,B两点。
将｜AB|表示为m的函数,并求｜AB｜的最大值。
选做
1、已知A、B、C是椭圆上的三点,其中点A的坐标为
，BC过椭圆m的中心,且．
（1)求椭圆的方程；
（2）过点的直线l（斜率存在时)与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点,且。求实数t的取值范围．
2.已知圆：及定点，点是圆上的动点,点在上，点在上,且满足＝2，·＝．
（1）若，求点的轨迹的方程;
（2)若动圆和(1）中所求轨迹相交于不同两点，是否存在一组正实数, 使得直线垂直平分线段，若存在，求出这组正实数;若不存在，说明理由．
3、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
(Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ)若直线与椭圆相交于,两点（不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
4。如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点。
(1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
(3)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。
参考答案
1、解：直线的方程为，即
设关于直线的对称点的坐标为
则,解得
直线的斜率为
从而直线的方程为:
即从而直线恒过定点
2、解：（1)设椭圆方程为，由题意可得
，所以椭圆的方程为
则,设
则
点在曲线上，则
从而，得，则点的坐标为。
（2）由(1)知轴，直线PA、PB斜率互为相反数，
设PB斜率为，则PB的直线方程为:
由得
设则
同理可得，则
所以直线AB的斜率为定值。
3、 解: 将代入中得
,
，
所以
。
4、 解:（Ⅰ）由题意：设直线,
由消y得:，
设A、B，AB的中点E,则由韦达定理得:
=，即，，
所以中点E的坐标为，
因为O、E、D三点在同一直线上，
所以，即， 解得,
所以=，当且仅当时取等号, 即的最小值为2。
（Ⅱ）证明:由题意知：n>0，因为直线OD的方程为，
所以由得交点G的纵坐标为，
又因为，,且∙，所以，
又由(Ⅰ）知：，所以解得，所以直线的方程为，
即有, 令得，y=0，与实数k无关，
5、解：（1）当直线斜率不存在时:
（2)当直线斜率存在时：设与椭圆C交点为
得
（＊）
∵，∴，
∴。 消去，得,
整理得
时，上式不成立； 时，,
∴,∴或
把代入(＊)得或
∴或
综上m的取值范围为或.
6、解：（Ⅰ）设动点,则,，。
由已知得，
化简得，得。
所以点的轨迹是椭圆，的方程为.
（Ⅱ）由题意知，直线的斜率必存在，
不妨设过的直线的方程为,
设，两点的坐标分别为,。
由消去得。
因为在椭圆内,所以。
所以
因为
，
所以。 解得。
7、 解:，设Q(x，y)，,
．
∵，即，
而，∴－18≤6xy≤18．
则的取值范围是[0，36]．
的取值范围是［－6，6]．
∴的取值范围是[－12，0]．
8、解：(1）依题意可设椭圆方程为,则右焦点
由题设，解得，
故所求椭圆的方程为
（2）设、、，
为弦的中点，由
得
直线与椭圆相交,
①
,从而，
，又
则:，即，②
把②代入①得，解,
由②得，解得.
综上求得的取值范围是.
9、解:（Ⅰ）
∴NP为AM的垂直平分线,∴｜NA｜=|NM｜
又
∴动点N的轨迹是以点C(－1，0），A（1,0)为焦点的椭圆。
且椭圆长轴长为焦距2c=2。
∴曲线E的方程为
（Ⅱ）当直线GH斜率存在时，
设直线GH方程为
得
设
,
又当直线GH斜率不存在，方程为
10、解：（1)由题意可得，，，∴．
∴所求的椭圆的标准方程为：．
（2）设,则 ．①
且，，
由可得，即
∴．②
由①、②消去整理得
．∵
∴．
∵， ∴．
∴的取值范围为。
11、 解：（Ⅰ）由题意知， 所以．
即．又因为，所以，．
故椭圆的方程为．
（Ⅱ)由题意知直线的斜率存在.
设：,，，,
由得。
，.
，。
∵，∴，，
.
∵点在椭圆上，∴，
∴。
∵＜,∴，∴
∴，
∴,∴。
∴，∵,∴,
∴或，
∴实数取值范围为。
12、解、设椭圆方程为，由题意可得
，
故椭圆方程为
设AB的直线方程:.
由,得，
由，得
P到AB的距离为，
则
。
当且仅当取等号， ∴三角形PAB面积的最大值为。
13、 解:设点的坐标为，点的坐标为，
则，,所以,， ①
因为在圆上，所以②
将①代入②,得点的轨迹方程C的方程为．
(Ⅱ）由题意知，．
当时，切线的方程为，点A、B的坐标分别为
此时，当时，同理可得；
当时，设切线的方程为
由得③
设A、B两点的坐标分别为，则由③得：
．
又由l与圆相切,得即
所以
因为且当时，
|AB|=2，所以|AB｜的最大值为2
依题意,圆心到直线AB的距离为圆的半径，
所以面积,
当且仅当时，面积S的最大值为1，
相应的的坐标为或者．
14、 解：由题意知,。
当时,切线的方程为，点A,B的坐标分别为，
此时；
当时，同理可得；
当时,设切线的方程为。
由得。
设A,B两点的坐标分别为。
又由与圆相切，得,即.
所以
。
由于当时，，
,
当且当时，。所以｜AB｜的最大值为2。
选做
1、解(1)椭圆m:
（2)由条件D（0,－2)∵M（0，t）
1°当k=0时,显然－2〈t<2
2°当k≠0时，设
消y得
由△>0 可得①
设
则
∴
由
∴②
∴t>1 将①代入②得 1〈t<4
∴t的范围是（1，4）
综上t∈（－2，4）
2、解:（1)∴点为的中点,
又,或点与点重合．∴
又
∴点的轨迹是以为焦点的椭圆,
且,∴的轨迹方程是
(2）解：不存在这样一组正实数，
下面证明:
由题意，若存在这样的一组正实数,
当直线的斜率存在时，设之为，
故直线的方程为：，设，中点,
则,两式相减得：
．
注意到，且 ，则 ， ②
又点在直线上，,代入②式得：．
因为弦的中点在⑴所给椭圆内，
故，这与矛盾，所以所求这组正实数不存在．
当直线的斜率不存在时，
直线的方程为，
则此时,代入①式得,
这与是不同两点矛盾．综上,所求的这组正实数不存在．
3、解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设,,
联立， 得，
又,
因为以为直径的圆过椭圆的右焦点,
,即,
，
，
．
解得：
，，且均满足，
当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点．
所以,直线过定点，定点坐标为．
4、解：（1）设椭圆方程为
则
∴椭圆方程为
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距m， 又KOM=
由
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点,
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2，只需证明k1+k2=0即可
设
则
由
而
（3)设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可
设
则
由
而
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。