等比数列常考题型归纳总结很全面.doc

等比数列及其前项和
教学目标：
1、熟练掌握等比数列定义；通项公式;中项;前项和；性质。
2、能熟练的使用公式求等比数列的基本量，证明数列是等比数列，解决与等比数列有关的简单问题。
知识回顾：
1．定义:
一般地，如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示.用递推公式表示为或。注意：等比数列的公比和首项都不为零。（证明数列是等比数列的关键）
2．通项公式:
等比数列的通项为:.推广：
3．中项：
如果,，成等比数列,那么叫做与的等比中项；其中.
4．等比数列的前n 项和公式
5．等比数列项的性质
（1)在等比数列中，若，,，且,则；特别的，若,,且,则。
（2)除特殊情况外，也成等比数列..
（其中特殊情况是当q=-1且n为偶数时候此时=0，但是当n为奇数是是成立的）.
4、证明等比数列的方法
(1)证:（常数）;(2）证：（）。
考点分析
考点一：等比数列基本量计算
例1、 已知为等比数列，Sn是它的前n项和.若， 且与2的等差中项为,求。
例2、成等差数列的三项正数的和等于15，且这三个数加上2、5、13后成等比数列中的。
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前和为。
练习：1、设是有正数组成的等比数列,为其前n项和。已知,，则
A． B ． C． D．
2、在等比数列｛an｝中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________。
3、已知正项数列｛an｝为等比数列,且5a2是a4与3a3的等差中项,若a2＝2，则该数列的前5项的和为(　　)
A. B．31 C。 D．以上都不正确
4、设{an｝是首项为a1,公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．
5、（4）、已知是首项为1的等比数列,是的前n项和，且,则数列的前5项和为( ）。
A．或5 B．或5 C． D．
考点二：等比数列性质应用
例2、设为等比数列的前项和,已知,，则公比
A．3 B．4 C．5 D．6
练习：1、在等比数列中,,则公比q的值为
A．2 B．3 C．4 D．8
例3、等比数列满足：，,且公比
（1）数列的通项公式;
(2）若该数列的前n项和，求n的值.
练习:1、已知正项等比数列满足，，则 。
2、已知等比数列满足，,则 .
3、已知等比数列满足，则___________。
4、在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________。
例4、等比数列满足,nN＊，且，则当时， .
例5、等比数列｛an｝的首项a1＝－1,前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________.
练习：1、已知正项等比数列满足，,则_______.
2、在等比数列｛an}中，若a1a2a3a4＝1,a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.
例6、设等比数列｛an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3＝________.
练习：1、设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若，则＝________.
考点三：等比数列的证明
例7、 （2017成都市高三一诊）已知数列满足。
（1） 证明数列是等比数列。
（2） 求数列的前n项和。
练习:1、已知数列满足，数列满足.证明数列为等比数列。
2、已知数列满足，数列满足。证明数列为等比数列。
3、在数列中，。求证：数列为等比数列。
例8、已知，数列满足：且.证明：数列是等比数列。
练习1、已知函数，数列满足，
（1)若数列是常数列，求；
（2)当时，记，证明:数列是等比数列，并求出数列的通项公式。
例9、已知数列{an｝的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.
(1）设cn＝an－1,求证：｛cn}是等比数列；
(2)求数列｛an｝的通项公式．
练习:1、设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1,Sn＋1＝4an＋2。
（1）设bn＝an＋1－2an，证明:数列｛bn}是等比数列;
（2）求数列{an｝的通项公式．
例10、已知数列的首项，,证明：数列是等比数列。
小结与拓展：
（1）定义法：(，是常数）是等比数列；
（2)中项法： （)是等差数列。
考点四:等差、等比数列的综合应用
例11、在等差数列中，
(1)求数列的通项公式；
（2）令，证明:数列为等比数列;
练习：一个等比数列有三项，如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列。
例12、某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元．
（1)求该企业2014年年底分红后的资金;
(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元．
习题15.3
1、在等比数列中,
(1）;
（2）;
(3）已知。
2、已知为等比数列,，求的通项式。
3、已知等比数列满足，数列是等差数列满足则
4、设等比数列的公比，前n项和为，则( ）
A． B． C． D．
5、设为等比数列的前项和,已知，,则公比
A．3 B．4 C．5 D．6
6、设为等比数列的前n项和，则
A．-11 B．8 C．5 D．11
7、设正项等比数列的前n项和为，已知，
（1）数列的通项公式；
（2）若该数列的前n项和,求n的值。
8、设为数列的前项和，,，其中是常数。
（1）求及;
（2）若对于任意的，,，成等比数列，求的值
9、在数列｛an｝中,a1＝2,an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＊.
(1）证明数列｛an－n}是等比数列；
（2)求数列{an｝的前n项和Sn。
10、（选做题）已知数列，满足:,,其中为实数，为正正数。
（1）对任意的实数，证明数列不是等比数列；
（2)试判断数列是否是等比数列，并证明你的结论。
快乐每一天，收获多一点。