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六年级上册第一单元单元整理与复习
第一部分：重点知识理解背诵
1、 长方体和正方体的特征
形体
面
顶点
棱
关系
长方体
6个
至少4个面
是长方形
相对面
完全相同
8个
12
条
相对的棱
长度相等
正方体
是特殊
的长方
体
正方体
6个
正方形
6个面
完全相同
8个
12
条
12条长度
都相等
2、 表面积概念及计算 【长方体或正方体6个面的总面积，叫做它们的表面积】
算法：长方体 （长×宽+长×高+宽×高）×2
（ab+ah+bh）×2
正方体 棱长×棱长×6
a×a×6=6
注：不足6个面的实际问题根据具体情况计算，例如鱼缸、无盖纸盒等。
3、 体积概念及计算
体积（容积）
定义
形体
体积（容积）
计算方法
体积单位
进率
物体所占空间的
大小叫做它们的
体积；容器所能
容纳其它物体的
体积叫做它的容
积。
长方
体
V=abh
V=Sh
立方米
立方分米
立方厘米
1=1000
1=1000
=1L=1000mL
正方
体
V=
手指头的体积大约是1 cm³，粉笔盒的体积大约是1 dm³.
表面积的变化规律：（立方体的个数－1）×2＝少几个面
4、 正方体的11种平面展开图
正方体的平面展开图共有11种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算），具体来讲分以下4类。
口诀：需背诵
正方体：中间四个面，上下各一面（6种摆法-141）
中间三个面，一二隔河见（3种摆法-132/231）
中间二个面，楼梯天天见（1种摆法-222)
中间没有面，三三连一线（1种摆法-33）
“田”“凹”应弃之
第一类：“1—4—1”型，其特点是有4个连成一排的正方形，两侧又各有1个正方形，共有6种。
口诀：中间四个面，上下各一面（上下面随便放）
第二类：“1—3—2”型，其特点是有3个连成一排的正方形，这一排正方形的一侧有1个正方形，另一侧有2个正方形（其中只有1个与中间那一排相连），共有3种。
口诀：中间三个面，一二隔河见（二三位置是固定的）
第三类：“2—2—2”型，其特点是有2个连成一排的正方形，其两侧又各有2个连成一排的正方形，只有1种。
口诀：中间二个面，楼梯天天见
第四类：“3—3”型，其特点是有3个连成一排的正方形，其一侧还有3个连成一排的正方形，只有1种。
中间没有面，三三连一线（1种摆法-33）
第五：巧排除“7”、“凹”、“田”
1
2
3
4
5
5、阿基米德原理：
只要牢记水面上升是由于被放入的体积所引起的问题，就容易解决了。
(现高－原高)×底面积＝阿基米德的体积
6、物体浸液问题分三种情况：
阿基米德的体积＝(现高－原高)×底面积
V物＝(h现－h原)×S表
现高＝水体积÷改变后的底面积
现高＝ h现＝
h现＝h容
7、表面涂色的正方体的个数
（1） 3面涂色的小正方体都在大正方体顶点的位置，因此都是8个。
(2) 2面涂色的小正方体的都在大正方体的棱上，一条棱上至少2个，所以个数是12的倍数。 如果用n表示把大正方体的棱平均分的份数，
用a表示2面涂色的小正方体的个数，公式为 a=(n-2)×12
(3) 1面涂色的小正方体的个数都是6的倍数。用表示b 1 面涂色的正方体的个数， 公式为 b=(n-2)(n-2)×6
（4）没有涂色的小正方体的个数，用表示c 没有涂色的正方体的个数
公式为 b=(n-2)(n-2)×(n-2)
第二部分：专题巩固
1、长方体正方体展开图
例1．（2004海口市实验区）下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（ ）
例2（2004扬州）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如右图所示的拼接图形(实线部分)，经折叠后发现还少一个面，请你在右图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子.
(注：①只需添加一个符合要求的正方形；②添加的正方形用阴影表示.)
例3如图是3个完全相同的正方体的三种不同放置方式，下底面依次是＿＿＿＿＿＿。
例4小丽制作了一个如下左图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的平面展开图可能是 （ ）
B
A
C
D
例5 下面各图都是正方体的表面展开图，若将它们折成正方体，则其中两个正方体各面图案完全一样，它们是_______。
2、长方体和正方体的转换问题
例1 一个长方体底面是一个边长为20cm的正方形，高为40cm。如果把它的高增加5m，它的表面积会增加多少？
例2一个底面是正方形的长方体纸盒，将它的侧面展开正好是一个边长为6分米的正方形。做这个纸盒至少需要多少纸板？
例3 一块长方体木块，沿着高锯掉2cm后，成为一个正方体，表面积减少40平方厘米。求原来长方体木块的体积。
例4 有一个长方体，从上面截下一个高是2cm的长方体后正好得到一个正方体。正方体的表面积比原来长方体的表面积减少了48平方厘米。求原来长方体的体积。
例5 一个长方体的高减少了2厘米后，它就变成了一个正方体，表面积比原来减少了32平方厘米。长方体的体积是多少？
例6 一个正方体的高增加2厘米，得到的新长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了56平方厘米。求原来正方体的体积。
例7 一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米。
3、图形拼切问题
例1 把5个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是198平方厘米。求一个正方体的表面积。
例2 把一个长是10cm、宽是8cm、高是6cm的长方体沿水平方向切一刀，再沿着竖直方向切一刀。表面积一共增加了多少平方厘米？
例3 一个长方体的表面积是40平方厘米，正好可以把它平均分成两个相同的正方体，每个正方体的表面积是多少平方厘米？
例4 将两个长6cm、宽5cm、高4cm的长方体拼成一个大长方体。这个大长方体的表面积最多比原来减少多少平方厘米？最少呢？
例5 用8个体积是1立方厘米的小正方体可以拼成不同的长方体。
(1) 怎样拼成的长方体的表面积最大？ 试着画一画，拼成的长方体表面积最大是多少？
(2) 怎样拼成的长方体的表面积最小？试着画一画，拼成的长方体表面积最小是多少？
例5 用4个棱长5厘米的正方体粘成一个长方体，这个长方体的表面积比这四个长方体的表面积总和至少少多少平方厘米？ 粘成的长方体的体积多少立方厘米？
例6 一个棱长8厘米的正方体木块，沿着它的高切成连个完全一样的长方体，每个长方体的表面积是多少？体积是多少？
例7 用三个棱长为9厘米的正方体木块拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？棱长之和是多少？
4、阿基米德问题
例1 一只装有水的长方体玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为14厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米?
例2 一只装有水的长方体玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深13厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米?
例3 有甲、乙两只长方体玻璃杯，其底面积分别为20平方厘米和10平方厘米，杯中盛有适量的水。甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢。这时乙杯中的水位上升了多少厘米？
例4 一个正方体容器的棱长是25厘米，里面水深23厘米。将一根高20厘米，横截面是500平方厘米的长方体铁块垂直插入水中，水会一出来多少立方厘米？
例5 一个长方体玻璃容器，从内测量长宽均为2分米，向容器内倒入5.8升水，再把一个苹果放入水中，这时量得容器内的水深是15厘米。你知道这个苹果的体积是多少？
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