圆内接四边形对角互补的证明.docx

圆内接四边形对角互补的证明要证明一个圆内接四边形的对角线互补，需要用到以下几个性质：1. 在任意圆内接四边形中，对角线互相平分。2. 在任意正交四边形中，对角线互相垂直互相平分。3. 在任意圆内接正多边形中，所有对角线都相等。现在，我们来证明圆内接四边形的对角线互补。设ABC的对角线交于D，E，如下图所示：!image.png(连接AC，BD，BE以及AD。由于ABCD是内接四边形，所以角BAD+角BCD=180度，即角BAD=180度-角BCD。因为角ACB和角ADB都是圆周角，所以它们的度数是180度，即角ACB=180度-角ADB。又因为E是圆心，所以CE和BE是半径，所以角CEB和角BEC都是直角，即它们的度数分别是90度。因为角ADC和角EAB都是圆周角，所以它们的度数是180度，即角ADC=180度-角EAB。接下来，我们有：角BDE=角BCD+角CBE （同位角相等）=角BCD+1/2角ACB (角CBE是直角三角形BEC的角)=角BCD+1/2(180-角ADB) （根据前面的推导）=1/2角ABC （合角余角）同样的，我们有：角AED=1/2角ADC （合角余角）=1/2(180-角EAB) （根据前面的推导）=1/2角ABC因为角BDE=角AED，所以AED=BDE，即AE和BD是直线，所以DE是直线，且AE和BD相交于O点。因为AO=BO（这是半径性质）,且AOE和BOE都是直角三角形，所以OE=OE，以及AE=BE。因此，ADO是BOSE的反映，所以ADB=AEB=90度，即对角线互相垂直，证毕。综上所述，圆内接四边形的对角线互相平分且互相垂直，均等于直径，因此对角线互补。