三角形的证明单元测试题.doc

三角形
（本试卷满分：100分，时间：90分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列命题：
1等腰三角形的角平分线、中线和高重合；2等腰三角形两腰上的高相等；
3等腰三角形的最短边是底边；4等边三角形的高、中线、角平分线都相等；
5等腰三角形都是锐角三角形.
其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于点D，则BD的长为
（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，在△ABC中，，点D在AC边上，且，则∠A的度数为
（ ）
A. 30° B. 36° C. 45° D. 70°
4.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）
A.8或10 B.8 C.10 D.6或12
5.如图，已知，，，下列结论：
1；
2；
3；
4△≌△．
其中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边cm，则最长边AB的长是（ ）
A.5 cm B.6 cm C.cm D.8 cm
7.如图，已知，，下列条件能使△≌△的是
（　　）
A. B.
C. D.三个答案都是
8.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

9.已知一个直角三角形的周长是2，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（ ）
A.5 B.2 C. D.1
10.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果cm，那么△的周长是（ ）
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm

二、填空题（每小题3分，共24分）
11.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°, ∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点 C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是 .

12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是________三角形.
13.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°.
14.如图，在△ABC中，，AM平分∠， cm，则点M到AB的距离 是_________.

15.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点， FE⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则
_________，_________.

16.在△ABC中，AB＝4,AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是 .

17.如图，已知的垂直平分线交于点，则 .

18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点M,如果∠ADF=100°,那么∠BMD为 度.

三、解答题（共46分）
19.（6分）如图，在△ABC中，，是上任意一点（M与A不重合），MD⊥BC，且交∠的平分线于点D，求证：.

20.（6分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.
举例：如图（1），若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心.
应用：如图（2），CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数.
探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探PA
的长.

21.（6分）如图所示，在四边形中，平分∠.
求证：.

22.（6分）如图所示，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧，若，求BE的长.

23.（6分）如图所示，在Rt△ABC中，，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

24.（8分）（2015·陕西中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E.求证：AD＝CE.

第24题图

25.（8分）已知：如图，，是上一点，于点，的延长线交的延长线于点.求证：△是等腰三角形．

第一章三角形的证明检测题参考答案
1.B 解析：只有②④正确.
2.A 解析：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴
∴ BC边上的高=
∵ AD平分∠BAC，∴点D到AB，AC的距离相等，设为h，
则解得
解得故选A．
3.B 解析：因为，所以.
因为，所以.
又因为，
所以，
所以所以
4.C 解析：当等腰三角形的腰长是2，底边长是4时，等腰三角形的三边长是2，2，4，根据三角形的三边关系，不能构成三角形，所以不合题意，舍去；当等腰三角形的腰长是4，底边长是2时，等腰三角形的三边长是4，4，2，根据三角形的三边关系，能构成三角形，所以该三角形的周长为4＋4＋2=10.
5.C 解析：因为，
所以△≌△（），
所以，
所以 ，
即故3正确.
又因为 ，
所以△≌△（ASA），
所以 ，故1正确.
由△≌△，知，
又因为，
所以△≌△，故4正确.
由于条件不足，无法证得2
故正确的结论有：134.
6.D 解析：因为∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，
所以△ABC为直角三角形，且∠C为直角.
又因为最短边 cm，则最长边 cm.
7.D 解析：添加A选项中条件可用“AAS”判定两个三角形全等；
添加B选项中条件可用“SAS”判定两个三角形全等；
添加C选项中条件可用“HL”判定两个三角形全等.故选D．
8.D 解析：在△ABC中，∵ ∠A=36°，AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C=72°.
∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD=∠CBD=36°，
∴ ∠A=∠ABD，∠CDB=∠A+∠ABD＝36°+36°=72°，
∴ ∠C＝∠CDB，∴ △ABD，△CBD都是等腰三角形.
∴ BC=BD.∵ BE=BC，∴ BD=BE，
∴ △EBD是等腰三角形，
∴ ∠BED＝=＝72°.
在△AED中，∵ ∠A=36°，∠BED＝∠A+∠ADE，∴ ∠ADE＝∠BED-∠A＝72°-36°＝36°，∴ ∠ADE=∠A =36°，∴ △AED是等腰三角形.
∴ 图中共有5个等腰三角形.
9.B 解析：设此直角三角形为△ABC，其中
因为直角三角形斜边的长等于斜边上中线长的2倍，所以
又因为直角三角形的周长是，所以.
两边平方，得，即.
由勾股定理知，
所以 ，所以.
10.D 解析：因为垂直平分，所以.
所以△的周长（cm）.
11.100° 解析:如图所示，由AB=AC，AO平分∠BAC，得AO所在直线是线段BC的垂直平分线，连接OB，则OB=OA=OC，
所以∠OAB=∠OBA=×50°=25°，
得∠BOA=∠COA=
∠BOC=360°-∠BOA-∠COA=100°.
所以∠OBC=∠OCB= =40°.
由于EO=EC，故∠OEC=180°-2×40°=100°.
12.直角 解析:直角三角形的三条高线交点恰好是此三
角形的一个顶点；锐角三角形的三条高线交点在此三角形的内部；钝角三角形的三条高线交点在三角形的外部.
13.15 解析：在Rt△AED中，∠ADE＝40°，所以∠A＝50°.
因为AB＝AC，所以∠ABC＝（180°－50°）÷2＝65°.
因为DE垂直平分AB，所以DA＝DB，
所以∠DBE＝∠A＝50°.
所以∠DBC＝65°－50°＝15°.
14.20 cm 解析:根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案.
15. 1∶3 解析：因为，F是AB的中点，所以.
在Rt△中，因为，所以.
又，所.
16.4∶3 解析：如图所示，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，
垂足分别为点M和点N.
∵ AD平分∠BAC，∴ DM＝DN.
∵ AB×DM，
AC×DN，
∴ . 第16题答图
17. 解析:∵ ∠BAC=120，AB=AC，
∴ ∠B=∠C=
∵ AC的垂直平分线交BC于点D，∴ AD=CD.
∴
∴
18. 85 解析:∵ ∠BDM=180°-∠ADF -∠FDE =180°-100°-30°=50°，
∴ ∠BMD=180°-∠BDM -∠B =180°-50°-45°=85°.
19.证明：∵，
∴ ∥，∴ .
又∵ 为∠的平分线，
∴ ，∴ ，
∴ .
20. 解：应用：若PB＝PC，连接PB，则∠PCB＝∠PBC.
∵ CD为等边三角形的高，∴ AD＝BD，∠PCB＝30°，
∴ ∠PBD＝∠PBC＝30°，∴
∴
∴
与已知PD＝AB矛盾，∴ PB≠PC.
若PA＝PC，连接PA，同理，可得PA≠PC.
若PA＝PB，由PD＝AB，得PD＝BD，∴ ∠BPD＝45°，∴∠APB＝90°.
探究：若PB＝PC，设PA＝x，则x2+32=(4-x)2，∴ x ＝ ，即PA＝.
若PA＝PC，则PA＝2.
若PA＝PB，由图（2）知，在Rt△PAB中，这种情况不可能.故PA＝2或.

21.证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，
过点D作于点F.
因为BD平分∠ABC，所以.
在Rt△EAD和Rt△FCD中，
所以Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）.
所以∠=∠.
因为∠∠80°，
所以∠.
22.解：因为△ABD和△CDE都是等边三角形，
所以，∠∠60°.
所以∠∠∠∠，
即∠∠.
在△和△中，因为
所以△≌△，所以.
又，所以.
在等腰直角△中，，故.
23.解：，BE⊥EC.
证明：∵ ，点D是AC的中点，∴ .
∵ ∠∠45°，∴ ∠∠135°.
∵ ，∴ △EAB≌△EDC.
∴ ∠∠.
∴ ∠∠90°.∴ ⊥.
24.证明：∵ AE∥BD，∴ ∠EAC＝∠ACB.
∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠ACB.∴ ∠EAC＝∠B.
又∵ ∠BAD＝∠ACE＝90°，
∴ △ABD≌△CAE（ASA）.∴ AD＝CE.
25.证明：∵ ，∴ ∠∠．
∵于点，∴ ∠∠．
∴ ∠∠∠∠．∴ ∠∠．
∵ ∠∠，∴ ∠∠．∴ △是等腰三角形.

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