资源描述
虹口区2018学年度第一学期教学质量监控测试
1.计算
2. 不等式的解集为_________.
3．设全集则_______．
4. 设常数若函数的反函数的图像经过点，则_______.
5. 若一个球的表面积为 则它的体积为________.
6. 函数的值域为________.
7．二项式的展开式的常数项为________．
8. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为_________.
9. 若复数=（为虚数单位），则的模的最大值为_________.
10.已知7个实数依次构成等比数列，若从这7个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为__________.
11.如图，已知半圆的直径 是
等边三角形，若点是边（包含端点）上的
动点，点在弧上，且满足 则
的最小值为__________.
12.若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为________.
二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.
13.已知则“”是“”的 （ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
14．关于三个不同平面与直线，下列命题中的假命题是 ( )
（A）若则内一定存在直线平行于
（B）若不垂直，则内一定不存在直线垂直于
（C）若 则
（D）若则内所有直线垂直于
15．已知函数 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
16．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的
焦点，点在抛物线上.在中，若，则的最大值为（ ）（A） （B） （C） （D）
三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.
17．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.
在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，
点是底面直径所对弧的中点，点是母线
的中点.
（1）求该圆锥的侧面积与体积；
（2）求异面直线与所成角的大小.
18．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分．
已知函数是定义在R上的奇函数.
(1)求实数的值及函数的值域；
(2)若不等式 上恒成立，求实数的取值范围.
19．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分.
某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界
(1) 求的长及原棚户区建筑用地的面积；
（2）因地理条件限制，边界不能变更，而
边界可以调整，为了增加棚户区建筑用地的面
积，请在弧 上设计一点使得棚户区改造后的
新建筑用地（四边形）的面积最大，并求出这
个面积最大值.
20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.
设椭圆点为其右焦点， 过点的直线与椭圆相交于点
(1) 当点在椭圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程；
(2) 如图1，点R的坐标为（2，0），若点S是点关于轴的对称点，求证：点
共线；
(3) 如图2，点T是直线上的任意一点，设直线的斜率分别为
求证：成等差数列；
21.(本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.
对于个实数构成的集合,记.
已知由个正整数构成的集合满足:对于任意不大于的正整数均存在集合的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于
（1）试求的值；
（2）求证：“成等差数列”的充要条件是“”；
（3）若 求证：的最小值为11；并求取最小值时，的最大值.
虹口区2018学年度第一学期期终教学质量监控测试
高三数学 参考答案和评分标准 2018年12月
一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.
1．5 2． 3. 4．8 5． 6.
7. 60 8． 9. 10． 11．2 12.
二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）
13. A 14. D 15. B 16. C
三、解答题（本大题共5题，满分76分）
17．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分.
解：（1）由已知，得圆锥的底面半径为，高为， …… 2分
故该圆锥的侧面积为. …… 4分
该圆锥的体积. …… 6分
（2）以直线分别为轴,建立空间直
角坐标系，则相关点的坐标为，
于是
……10分
故
因此异面直线与所成角的大小为…… 14分
18．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分．
解：（1）由是R上的奇函数，知
此时故对于任意的
即是R上的奇函数；因此实数的值为3. …… 4分
令则解得即函数的值域为… 6分
（2）解法1：由（1）知于是不等式 可化为
…… 8分
令则不等式在上恒成立.
设 则在上恒成立， …… 10分
等价于即
因此，实数的取值范围为 …… 14分
（2）解法2：由（1）知当时，于是不等式
可化为 …… 10分令则由函数上递增知，
故由恒成立知，实数的取值范围为 …… 14分
19．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分.
解：（1）设则由余弦定理，得
由四边形是圆内接四边形，得
故从而
……3分
从而 ……5分
故
答：的长为(km）,原棚户区建筑用地的面积为. ……7分
（2）解法1：由条件及“同弧所对的圆周角相等”得.
要使棚户区改造后的新建筑用地的面积更大，必须使的面积最大，即点到的距离最大，从而点在弦的垂直平分线上，即 ……10分
于是为等边三角形，其面积为 ……12分
因此，棚户区改造后的新建筑用地面积的最大值为
即当为等边三角形时，新建筑用地的面积最大，最大值为 ……14分
（2）解法2：由条件及“同弧所对的圆周角相等”得.
设 ……9分
在中，由余弦定理，有
故当且仅当时，等号成立. ……12分
因此，棚户区改造后的新建筑用地面积的最大值为
即当为等边三角形时，新建筑用地的面积最大，最大值为 ……14分
20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.
解：（1）易知设则由为线段的中点，得
……2分
于是，由点在椭圆上，得 ，
即点的轨迹方程为 . ……5分
证：（2）当过点的直线与x轴重合时，点P与S重合，点分别为椭圆在x轴的两个
顶点，显然点共线.
当过点的直线与x轴不重合时，设其方程为
则由得，显然
所以
于是
故 ……8分
所以即，
因此点共线. ……10分
证：（3）由是直线上的点，可设其坐标为
当过点的直线与x轴重合时，有从而
故 ……12分
当过点的直线与x轴不重合时，其方程为有
由(2)知 于是
即
综合上述，得成等差数列. ……16分
21. (本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.
解：（1）由条件，知又均为正整数，故……2分
由条件，知故由的定义及均为正整数，于是
……4分
证：（2）必要性 由“成等差数列”及得
此时，满足题设条件；从而
……7分
充分性 由条件知，且它们均为正整数，可得
故 当且仅当时，上式等号成立.
于是当时,从而成等差数列.
因此 “成等差数列”的充要条件是“”. ……10分
证：(3)由于元集合的非空子集的个数为故当此时的非空子集的元素之和最多表示出1023个不同的正整数不符合要求. ……12分
而用11个元素的集合的非空子集的元素之和可以表示2047个正整数：
因此当时，的最小值为11. ……14分
当，取最小值11时，设由题设得
并且
事实上，若则由故
此时从而时，其无法用的非空子集的元素之和表示，与题意矛盾！
于是由与可得
故由得 ……16分
当时，用的非空子集的元素之和可以表示出1,2,3，…，2017,2018中的每一个数.
因此，当时，的最小值为11，的最大值为1009. ……18分
虹口区 高三数学 本卷共4页 第10页
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