2019届河南省部分省示范性高中高三上学期1月份联考数学(理科)试卷(word版).doc

河南省部分省示范性高中2018-2019学年高三数学试卷（理科）1月份联考第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（为虚数单位），则的共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】C2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B3.（ ）A. B. C. D. 【答案】C4.已知向量，若，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C5.设满足约束条件，则的最小值为（ ）A. 3 B. -3 C. -6 D. 6【答案】B6.某三棱锥的三视图如图所示，在三视图中所对应的点分别为，则二面角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D7.某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查.现将2400名学生随机地从12400编号，按编号顺序平均分成30组（180号，81160号，23212400号），若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是（ ）A. 416 B. 432 C. 448 D. 464【答案】A8.中国古代数学名著九章算术中记载：“圆周与其直径之比被定为3，圆中弓形面积为（为弦长，为半径长与圆心到弦的距离之差）.”据此计算，已知一个圆中弓形所对应的弦长，质点随机投入此圆中，则质点落在该弓形内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C9.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时10分钟.那么经过5分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（假定沙堆的底面是水平的）（ ）A. B. C. D. 【答案】D10.已知函数的图象经过点和，则函数的图象的对称轴方程可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】A11.已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于不同的，两点，且为钝角（其中为坐标原点），则直线斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B12.已知函数，的解集为，若在上的值域与函数在上的值域相同，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知双曲线 的其中一条渐近线的倾斜角是，则该双曲线的离心率_【答案】【解析】【分析】由题意可得,又，从而得到结果.【详解】由，得，所以.故答案为:【点睛】本题考查双曲线的渐近线，考查运算求解能力.14.已知，则_【答案】【解析】【分析】利用赋值法，分别令即可得到结果.【详解】令可得；令，可得，所以.故答案为：0【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力.15.已知函数是奇函数，则_【答案】【解析】【分析】由是奇函数可得，确定a值，进而根据分段函数可得结果.【详解】因为函数是奇函数，所以，解得.所以，.故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查运算求解能力.16.在锐角中，角，的对边分别是，若，且，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可得，再利用正弦定理可得，限制角C的范围，利用正弦函数的图像与性质即可得到结果.【详解】由题意得，故，由正弦定理，得，所以，所以.因为，所以，从而，所以，从而，即.故答案为：【点睛】本题考查正、余弦定理的应用，考查转化与化归的数学思想.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等差数列的公差，其中是方程的两根，数列的前项和为，且满足.（1）求数列，的通项公式；（2）设数列的前项和为，且，若不等式对任意都成立，求整数的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根据题意可得，得到，从而得到数列的通项公式，由可得，进而得到的通项公式；（2）由（1）得，利用错位相减法可得，根据的变化趋势得到结果.【详解】解：（1）易得方程的两根为-1和7，因为，所以，.所以，所以.当时，由，得；当时，可得，两式相减得，即.所以.（2）由（1）得，所以，两式相减得，所以.当时，；当时，；当时，因为，所以.所以的最大值为，从而，得，所以整数的最小值为-4.【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18.2018年是中国改革开放的第40周年，为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：，并绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）现从年龄在内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用表示年龄在内的人数，求的分布列和数学期望；（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为.当最大时，求的值.【答案】（1）分布列见解析；（2）7.【解析】【分析】（1）根据分层抽样的方法判断出年龄在内的人数，可得的可能取值为0，1，2，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望；（2）设年龄在内的人数为，则，设,可得若，则，；若，则，从而可得结果.【详解】（1）按分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数为人，年龄在内的人数为人，年龄在内的人数为人.所以的可能取值为0，1，2，所以，所以的分布列为012.（2）设在抽取的20名市民中，年龄在内的人数为，服从二项分布.由频率分布直方图可知，年龄在内的频率为，所以，所以 .设 ，若，则，；若，则，.所以当时，最大，即当最大时，.【点睛】本题主要考查分层抽样的定义、直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19.如图，在直三棱柱中，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，由矩形的性质，结合三角形中位线定理可得，由线面平行的判定定理可得结果；（2）先证明，分别以，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得直线的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程求得平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）连接交于点，连接，因为四边形是矩形，所以点是的中点，又点为的中点，所以是的中位线，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）由，可得，分别以，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则有，所以，设直线与平面所成角为，平面的法向量为，则，即，令，得，所以 .【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面角的向量法，属于中档题. 利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，且.（1）求抛物线的方程；（2）圆与抛物线顺次交于四点，所在的直线过焦点，线段是圆的直径，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】(1) 将代入抛物线的方程，得，结合抛物线定义可得值；（2）由题设知与坐标轴不垂直，可设，代入，得.利用韦达定理可得的中点为及，的方程为，代入，并整理得.利用韦达定理可得的中点为及，结合勾股定理即可得到结果.【详解】解：（1）将代入抛物线的方程，得，所以，因为，所以，整理得，解得或，当时，满足；当时，所以抛物线的方程为.（2）由题设知与坐标轴不垂直，可设，代入，得.设，则，故的中点为，.又因为，所以的斜率为，过的中点，所以的方程为，即.将上式代入，并整理得.设，则，故的中点为，.因为是直径，所以垂直平分，所以四点在同一个圆上等价于，所以，即，化简得，解得或，所以或.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查中点，垂直及弦长的利用，属于中档题.21.已知，函数. （1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】(1)的定义域为，.对a分类讨论，解不等式即可得到的单调性；（2）利用（1）中的单调性转化为研究函数的最值问题.【详解】解：（1）的定义域为，.当时，令，得；令，得，所以在上单调递增，上单调递减.当时，当，即时，因为，所以在上单调递增；当，即时，因为，所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增；当，即时，因为，所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知当时，在上单调递增，在上单调递减，要使有两个零点，只要，所以.（因为当时，当时，） 下面我们讨论当时的情形：当，即时，在上单调递增，不可能有两个零点；当，即时，因为，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；因为，所以，没有两个零点；当时，即时，因为，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，没有两个零点.综上所述：当时，有两个零点.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线，的直角坐标方程；（2）判断曲线，是否相交，若相交，请求出交点间的距离；若不想交，请说明理由.【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）由题意，消去参数，即可得到曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可得到曲线的直角坐标方程；（2）由（1），将代入曲线，求得，在由曲线，两交点间的距离公式，即可求解。【详解】（1）将，消去参数，得曲线的直角坐标方程为，将展开整理，得，因为，所以曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）知曲线是过定点的直线，因为点在曲线的内部，所以曲线与曲线相交.将代入并整理，得，设曲线，的两交点为，则，故曲线，两交点间的距离 .【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标与直角坐标的互化，以及弦长公式的应用，其中解答中熟记互化公式，合理消去参数是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设，且的最小值为.若，求的最小值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）当时，原不等式可化为，分类讨论即可求得不等式的解集；（2）由题意得，的最小值为，所以，由，得，利用基本不等式即可求解其最小值。【详解】（1）当时，原不等式可化为，当时，不等式可化为，解得，此时；当时，不等式可化为，解得，此时；当时，不等式可化为，解得，此时，综上，原不等式的解集为.（2）由题意得， ，因为的最小值为，所以，由，得，所以 ，当且仅当，即，时，的最小值为.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向 - 15 -