初二数学因式分解超级经典专题讲解.doc

因式分解的方法
　　因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，余数定理法，求根公式法，换元法等。
　　注意三原则
　　1 分解要彻底
　　2 最后结果只有小括号
3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=-x(3x-1)）
1 基本方法
1.1提公因式法☆☆☆
　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
　　具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
　　口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
　　例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
　　a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
　　注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式

1.2 公式法☆☆☆
　　如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
　　平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；
　　完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2；
　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

补充公式:
立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
　　立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；
　　完全立方公式：a3±3a2b＋3ab2±b3=(a±b) 3．
　　公式：a3+b3+c3+3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
　　例如：a2 +4ab+4b2 =(a+2b) 2。
　　(注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。)
　　3.提公因式法基本步骤：
　　（1）找出公因式；
　　（2）提公因式并确定另一个因式：
　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；
　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
1、把分解因式的结果是 .
2、在实数范围内分解因式：= ．
3、把多项式分解因式，结果是
4、分解因式：=___________．
5、因式分解：= ．
6、已知，求代数式的值；
7、分解因式 x(x－1)－3x+4= ．
8、求证：两个奇数的平方差一定能被8整除。
9、已知：| x + y + 1| +| xy - 3 | = 0 求代数式xy3 + x3y 的值。
10、下列因式分解：①；②；③；④.
其中正确的是_______.(只填序号)

2 竞赛用到的方法
2.2分组分解法☆☆
　　分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。

我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．
如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．
原式=(am +an)+(bm+ bn)
＝a(m+ n)+b(m +n)
做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以
原式=(am +an)+(bm+ bn)
＝a(m+ n)+b(m+ n)
＝(m +n)•(a +b)．
这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．
又如：
　　ax+ay+bx+by
　　=a(x+y)+b(x+y)
　　=(a+b)(x+y)
　　我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。
　　同样，这道题也可以这样做。
　　ax+ay+bx+by
　　=x(a+b)+y(a+b)
　　=(a+b)(x+y)
　　几道例题：
　　1. 5ax+5bx+3ay+3by
　　解法：=5x(a+b)+3y(a+b)
　　=(5x+3y)(a+b)
　　说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
　　2. x3-x2+x-1
　　解法：=(x3-x2)+(x-1)
　　=x2(x-1)+(x-1)
　　=(x-1)(x2+1)
　　利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。
　　3. x2-x-y2-y
　　解法：=(x2-y2)-(x+y)
　　=(x+y)(x-y)-(x+y)
　　=(x+y)(x-y-1)
　　利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。
题目
1、4xy-3xz+8y-6z 2、x3+3x2+3x+9
3、3xy-2x-12y+18 4、ab-5bc-2a2+10ac
5、x4+64 6 、x4-7x2+1

2.2 十字相乘法☆☆

　　①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．

十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中

2.3 待定系数法☆☆
　　首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
　　例如在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
　　于是设x4-x4-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
　　=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd
　　由此可得a+c=-1，
　　ac+b+d=-5，
　　ad+bc=-6，
　　bd=-4．
　　解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．
则x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)．
题目
1、 已知多项式分解因式后，有一因式是，请把多项式分解因式。
2、 已知x2+3x+6是多项式x4-6x3+mx2+nx+36的一个因式，试确定m,n的值，并求出它的其它因式。

　2.4 配方法☆☆
　　对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：
1、x4+x2y2+y4
配方和拆项、添项法有些相同之处，下面重点看看拆项、添项法

2.5 拆项、添项法☆☆
问题：因式分解x2+4
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
　因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．现举一例：
　　例 分解因式：x3-9x+8．
　　分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
　　解法1 将常数项8拆成-1+9．
　　原式=x3-9x-1+9
　　　　=(x3-1)-9x+9
　　　　=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
　=(x-1)(x2+x-8)．
　　解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
　　原式=x3-x-8x+8
　　　　=(x3-x)+(-8x+8)
　　　　=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
　　　　=(x-1)(x2+x-8)．
　　解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．
　　原式=9x3-8x3-9x+8
　　　　=(9x3-9x)+(-8x3+8)
　　　　=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
　　　　=(x-1)(x2+x-8)．
　　解法4 添加两项-x2+x2．
　　原式=x3-9x+8
　　　　=x3-x2+x2-9x+8
　　　　=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
　　　　=(x-1)(x2+x-8)．
　　注： 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．

例如：
1、因式分解x2+4
2、把 a2 - 4ab +3 b2 + 2bc - c2 因式分解。
3、因式分解x4+x2+1
2.6 其他小方法扩展（作为了解学有余力再看）
应用因式定理
　　对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．
　　例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。(事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)．)

换元法☆
　　有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

题目
1、(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10
2、 (x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)
求根法
　　令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．

图象法
　　令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=k(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．
　　与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。
　　例如在分解x3 +2x2-5x-6时，可以令y=x3 +2x2 -5x-6.
　　作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2
　　则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．

3 多项式因式分解的一般步骤：
　　①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
　　②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
　　③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
　　④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”(简称<提十公分>)
　　几道例题

　　3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。
　　分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
　　证明：∵-c2+a2+2ab-2bc=0，
　　∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．
　　∴(a-c)(a+2b+c)=0．
　　∵a、b、c是△ABC的三条边，
　　∴a＋2b＋c＞0．
　　∴a－c＝0，
　　即a＝c，△ABC为等腰三角形。
简单了解因式分解的应用
　　1、 应用于多项式除法。
　　2、 应用于高次方程的求根。
3、 应用于分式的运算。

4 因式分解练习题
(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

(9) (10)

(11) (12)

(13) (14)

(15) (16)

(17) (18)

(19) (20)

(21) (22)

(23) (24)

25、已知：| x + y + 1| +| xy - 3 | = 0 求代数式xy3 + x3y 的值。

26、把 a2 - 4ab +3 b2 + 2bc - c2 因式分解。

27、己知：f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5
　　　且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式
求：当x=1时，f(x)的值

八年级数学
之
因式分解专题

郝志超

2012年6月
因式分解专题 12