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数学证明方法

摘要：数学证明是数学学习中非常重要的一部分，数学证明有核实作用，理解作用，发现作用和思维训练作用，数学证明常用的方法有综合法、分析法、反证法、数学归纳法等等。
关键词：数学证明；意义；方法
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，它的应用非常广泛，是学习现代科学技术必不可少的基础学科。学习数学，就离不开数学证明，这是由数学证明在数学发展中所起的作用决定的。什么是数学证明呢？许多人认为数学证明是根据相应的公理，法则等来说明结论是正确的一种活动。数学证明是数学学习中非常重要的一部分，在不同的情境中，数学证明有不同方法。
数学证明的方法
（一）综合法和分析法
综合法是从命题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到要证的结论的方法。分析法则是从要证的结论出发，一步一步的搜索下去，最后达到命题的已知条件的方法。
例1 求证=
方法1： 左边 ===右边
所以得证。
方法2：右边===
= ==左边
所以得证。
方法3：==tan==
所以得证。
方法4：要证=只需要证
即要证，显然，这个命题成立，故得证。
上述例题的四种解法中，前三种是用综合法解的，而第四种解法是用分析法解的。在证明的过程中，我们用到了同角三角函数的关系，半角公式等等。所以，通过数学证明我们不仅理解了这道命题的正确性，还知道了为什么正确，同时还增进了对同角三角函数的关系，半角公式等等的理解。
从例1我们可以看出，综合法的特点是从“已知”逐步推向“未知”，其逐步推理，实际是要寻找它的必要条件。分析法的特点是从“需知”逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件。
综合法和分析法各有其优缺点。从寻求解题思路来看，综合法是由已知的寻找未知的，即直接由条件证明结论。但是由条件容易导出许多其它的结论，因而不容易有效。分析法由未知的推向已知的，即由结论慢慢推出所需要的条件，这样比较容易解决问题。就表述证明的过程而论，综合法的形式比较简洁，条理清晰，分析法由于倒过来叙述，因而比较繁琐，文辞冗长。这也就是说，分析法有利于思考解决问题，综合法宜于表达问题。因此在解题时，可以把分析法和综合法结合起来使用，先以分析法为主，寻找解题思路，再用综合法有条理的表述证明过程。
(二)反证法
通过证明论题的否定命题不真实，从而肯定论题真实性的方法叫做反证法。
反证法的一般步骤如下：
假设命题的结论不成立，即结论的否定命题成立。
从否定的结论出发，逐层进行推理，得出与公理或前述的定理，定义或题设条件等自相矛盾的结论，即说证明结论否定不成立。
据排中律，最后肯定原命题成立。
反证法有归谬法与穷举法两种。在应用反证法时如果与原命题结论相矛盾的方面只有一种可能情况，只要把这种情况推翻，就能肯定结论成立，这种反证法叫做归谬法。如果与原命题相矛盾的方面不止一种情况，就必须把矛盾方面的所有可能的情况一一驳倒，才能肯定结论成立，这种反正法叫做穷举法。
例 2求证是无理数。
证明：假设是有理数，且为既约分数，（p>0,q>0），则=2，，由此可见p是偶数，记为2r。同理又可得q也是偶数，这与是既约分数相矛盾。从而是无理数。
在这道题目中，只有两种可能，是无理数或者不是无理数。所以，命题的否定方面只有一种可能情况。因而，我们可以假即设其为有理数，然后推出矛盾证得该题。
例 3在四边形中，对角线AC和BD相交于点O，已知OB=OD，。
求证：四边形是平行四边形。
证明：如图，假设四边形不是平行四边形，则由于OB=OD，所以必有OAOC，即OA<OC或OA>OC。
若OA<OC，在OC上取一点，使得O=OA，则必在OC上，连B，D。则有四边形ABD为平行四边形。则又,，，与矛盾。
如果，同理可证，这也是不可能的。
所以，四边形是平行四边形。
在该题中，命题的否定方面有两种可能OA<OC或OA>OC。所以，在利用反证法证明时要把这两种否定情况都驳倒才可以。
通过这道题的证明，可以增进人们对平行四边形特征的理解，使自己的思维更加严谨，缜密。
反证法是一种重要的证明方法，不但在初等数学中有很多的应用，就是在高等数学中也有着很重要的应用，数学中的一些重要的结论，从最基本的性质，定理到某些难度较大的世界难题，往往是用反证法得到的。
在证明该题的过程中，用到了勾股定理，全等三角形的知识。所以，通过该题，也可以使人们加强对勾股定理以及三角形全等方面的知识的理解。
需要指出的是，同一法和反正法的适用范围是不同的，同一法的局限性较大，通常只适用于符合同一原理的命题，反证法则普遍适用，对于能够用同一法证明的命题一般都能用反证法证明。
（三）数学归纳法
我们采用记号表示一个与自然数n有关的命题，把它们都写出来 ，……
事实上，如果满足下面两个条件：
（1）成立（即当时命题成立）
（2）只要假设成立（归纳假设），由此就可得也成立（是自然数）就能保证这一大串（无数多个）命题，……都成立。
我们把此叫做数学归纳法原理。
根据数学归纳法原理，我们在证明时可以相应的按照以下两步进行：
（1） 验证是成立的。
（2） 假设成立，证明出也成立。
由（1），（2）可得对于任意的自然数，命题都成立。
这是数学归纳法最基本的形式，通常称作第一数学归纳法。
例5 证明1+3+5+……+=
证明：（1）当=1时，左边=1，右边==1 等式成立。
（2） 假设当=（1）时等式成立，即1+3+5+……+= 则=+1时1+3+5+……+=1+3+5+……++[2-1]
=1+3+5+……++
=+=
所以，当=+1时，等式也成立。
由（1），（2）可知，对于任意自然数，等式都成立。所以得证。
总之，一个数学命题往往可以有不同的思路来思考证明，思路不同，所产生的影响不同，证明方法也不同，对于不同的数学命题的证明也可以有许多不同的思路，不同的方法。

参考文献
[1] 李士锜 PME：数学教育心理学 华东师范大学出版社
[2] 蒋文蔚 杨延龄 数学归纳法 北京师范大学出版社
[3] 侯敏义 数学思维与数学方法论 东北师范大学出版社