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高等数学（一） 试卷A
一、填空题：
1. 当时，函数与是等价无穷小，则。
2. 设函数在可导,且，则。
3. 设，则。
4. 函数在上满足罗尔定理的点。
5. 已知的一个原函数为，则。
6. 函数的单调减少区间为。
7. 通过点且与直线垂直的平面方程为。
8. 设，则。
9. 改变积分次序。
10. 微分方程满足的特解是。
二、选择题：
11. 设函数有二阶连续导数，且， 则（ ）
（A） 是的极小值； （B）是的极大值； （C）是曲线的拐点；
（D）不是的极小值，也不是曲线的拐点。
12. 下列积分中，哪一个广义积分是发散的 （ ）
（A）； （B）； （C）； （D）
13. 平面与空间直线的位置关系是 （ ）
（A）互相垂直； （B）互相平行但直线不在平面上； （C）既不平行也不垂直； （D）直线在平面上
14. 级数在处收敛，则该级数在时 ( )
（A）发散； （B）绝对收敛； （C）条件收敛； （D）敛散性无法确定。
15. 设在点处的增量为，且当时，是的高阶无穷小，，则的值为 （ ）。 （A）； （B） 0 ； 　 （C）1 ； （D）
三、计算题：16. 17. 18. 设，求
19. 设是由方程所确定的的函数，求。
20. 计算，其中是上半圆周：，方向从。
21. 计算，其中：三个坐标平面与平面所围成的闭区域。
22. 求微分方程的通解。
四、 解答题：23. 判定级数的敛散性。 24. 求幂级数的收敛域及和函数。
25. 已知，讨论的连续性，并写出连续区间；考察在处是否可导？若可导，求。
五、应用题
26. 设函数在上连续，在内大于零，并满足微分方程为常数）。又曲线与所围图形的面积为2，求函数，并问为何值时，图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。
六、证明题：27. 设是连续函数，证明：。

高等数学（一）试卷参考答案（A卷）
一、填空题
1. 。 2. 。 3. 。
4. . 5. 。 6. 单调减少区间为。
7. 8. 。
9. 。
10. 特解是。

二、选择题
11. A； 12. C； 13. D ； 14. B； 15. D

三、计算题
16. =。

17. 。

18. (1分)

19. ；
； ；
于是；
；
。

20. 解:补充直线,使构成封闭曲线.
;
而,
所以.

21．
.

22. 解：特征方程;
所以，齐次方程的通解为。
又是特征方程的单根，故可设非齐次方程的特解；
代入方程，得。所以特解。
所以微分方程的通解：。

四、 解答题（每题8分，共24分）
23. 解：；
当时，，所以级数收敛且绝对收敛。
当时，，所以级数发散。

7. 解：1）收敛半径，且在时，级数发散，
所以收敛域为。
2）设收敛域内和函数为，于是
。

25． 解：，

，在点连续。
又在和内连续，故其连续区间为。
；
；
于是，
所以在处可导，且。

五、 应用题
解：1）当时，，
即为一阶线性微分方程。此时。于是，
；
又因为在上连续，所以，，即，曲线过原点。
所以，。
2） 又由已知条件得：，
即。因此。
3）
。
，令，又，
所以当时旋转体的体积最小。

六、 证明题
27. 证：令， ，
于是 。

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