2015高考理科数学《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》练习题.doc

2015高考理科数学《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》练习题
[A组　基础演练·能力提升]
一、选择题
1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析：原式＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝.
答案：A
2．(2014年太原模拟)已知sin＝，则cos(π－2θ)＝(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析：依题意得sin＝cos θ＝，cos(π－2θ)＝－cos 2θ＝1－2cos2θ＝1－2×2＝，选D.
答案：D
3．若cos α＝－且α在第二象限内，则cos为(　　)
A．－ B. C．－ D.
解析：cos α＝－，∴sin α＝，
∴sin 2α＝－，cos 2α＝.
∴cos＝cos 2αcos－sin 2αsin
＝×＝.
答案：B
4．(2013年高考浙江卷)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：解法一　(直接法)两边平方，再同时除以cos2α，得3tan2α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－，代入tan 2α＝，得到tan 2α＝－.
解法二　(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性，记sin α＝，cos α＝，这时sin α＋2cos α＝符合要求，此时tan α＝3，代入二倍角公式得到答案C.
答案：C
5．已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则sin 2α＝(　　)
A．－1 B．－
C. D．1
解析：∵sin α－cos α＝，∴1－2sinαcosα＝2，
即sin 2α＝－1.
答案：A
6．(2014年云南模拟)已知sin＝，则sin 2x的值为(　　)
A．－ B. C. D.
解析：依题意得(sin x－cos x)＝，(sin x－cos x)2＝，1－sin 2x＝，sin 2x＝，选B.
答案：B
二、填空题
7．(2013年高考四川卷)设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．
解析：因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α，cos α＝－.又α∈，所以α＝，tan 2α＝tan＝.
答案：w
8．(2014年成都模拟)已知sin α＋cos α＝，则sin 2α的值为________．
解析：∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝－.
答案：－
9．化简＝________.
解析：＝
＝＝－1.
答案：－1
三、解答题
10．已知sin α＝＋cos α，且α∈，求的值．
解析：由sin α＝＋cos α得sin α－cos α＝，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝.
∴＝＝－(sin α＋cos α)，
而(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
又∵0<α<，∴sin α＋cos α＝，
∴原式＝－.
11．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin ＝，β∈.
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
解析：(1)∵由题意得(sin α＋cos α)2＝，
即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝.
又2α∈，∴cos 2α＝＝，
∴tan 2α＝＝.
(2)∵β∈，∴β－∈，
sin ＝，∴cos ＝，
于是sin 2＝2sin cos ＝.
又sin 2＝－cos 2β，∴cos 2β＝－.
又2β∈，∴sin 2β＝.
又cos2α＝＝，
∴cos α＝，sin α＝.
∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β
＝×－×＝－.
12．(能力提升)已知函数f(x)＝cos＋2sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)设α，β∈，f＝，f＝，求f的值．
解析：(1)f(x)＝cos＋2sin2x＝cos 2x－sin 2x＋(1－cos 2x)＝1－sin 2x.
∴函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)∵f(x)＝1－sin 2x，
∴f＝1－sin
＝1－sin＝1－cos α，
f＝1－sin＝1－sin.
∵f＝，∴1－cos α＝，∴cos α＝，
∵α∈，∴α＝.
∵f＝，
∴1－sin＝，∴sin＝－，
∵β∈，∴－≤β－≤，∴β－＝－.
∴β＝.
∴f＝1－sin(α＋β)＝1－sin
＝1－sin＝0.
[B组　因材施教·备选练习]
1．已知sin α＝，sin β＝，且α，β都是锐角，则α＋β＝(　　)
A．30° B．45°
C．45°或135° D．135°
解析：∵α，β都是锐角，∴cos α＝，cos β＝，0°<α＋β<180°，由cos(α＋β)＝，得α＋β＝45°，选B.
答案：B
2．已知tan＝，且－<α<0，则＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D.
解析：由tan＝＝，得tan α＝－.
又－<α<0，所以sin α＝－.
故＝＝2sin α＝－.
答案：A
3．(2014年合肥模拟)已知cos＋sin α＝，则sin 的值是(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：由条件知cos＋sin α
＝＋sin α
＝
＝sin＝，
即sin＝.
故sin＝－sin＝－.
答案：D

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