【省级联考】2018年广东省高考数学二模试卷(理科).doc

2018年广东省高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 已知x，y∈R，集合A={2，log3x}，集合B={x，y}，若A∩B={0}，则x+y=（　　）
A． B．0 C．1 D．3
2． 若复数z1=1+i，z2=1﹣i，则下列结论错误的是（　　）
A．z1•z2是实数 B．是纯虚数
C．|z|=2|z2|2 D．z=4i
3． 已知=（﹣1，3），=（m，m﹣4），=（2m，3），若，则（　　）
A．﹣7 B．﹣2 C．5 D．8
4． 如图，是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（　　）

A． B． C． D．
5． 已知等比数列{an}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3（a3+a2），则=（　　）
A．﹣9 B．9 C．﹣81 D．81
6． 已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（4，0），且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（　　）
A．=1 B．
C．=1 D．=1或=1
7． 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．8π+6 B．6π+6 C．8π+12 D．6π+12
8． 设x，y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2] B．[﹣4，4] C．[0，4] D．[0，2]
9． 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人﹣﹣宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
10． 已知数列{an}前n项和为Sn，a1=15，且满足（2n﹣5）an+1=（2n﹣3）an+4n2﹣16n+15，已知n，m∈N+，n＞m，则Sn﹣Sm的最小值为（　　）
A． B． C．﹣14 D．﹣28
11． 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A﹣BD﹣C的余弦值为，则该四面体ABCD外接球的体积为（　　）
A． B．8π C． D．36π
12． 已知函数f（x）=ex﹣ln（x+3），则下面对函数f（x）的描述正确的是（　　）
A．∀x∈（﹣3，+∞），f（x）≥ B．∀x∈（﹣3，+∞），f（x）
C．∃x0∈（﹣3，+∞），f（x0）=﹣1 D．f（x）min∈（0，1）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13． 将函数f（x）=2sin（2x+φ）（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，得到偶函数g（x）的图象，则φ的最大值是　 　．
14． 已知a＞0，b＞0，（ax+）6展开式的常数项为，则a+2b的最小值为　 　．
15． 已知函数f（x）=log2（4x+1）+mx，当m＞0时，关于x的不等式f（log3x）＜1的解集为　 　．
16． 设过抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点P（异于原点O）的直线与抛物线y2=8px（p＞0）交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px（p＞0）的另一个交点为Q，则=　 　

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60°，c=8．
（1）若点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=BC，=2，求AM的值；
（2）若b=12，求△ABC的面积．
18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE，∠ADE=90°，∠ADC=∠DCB=120°．
（1）证明：平面ABCD⊥平面EDCF；
（2）求直线AF与平面BDF所成角的最正弦值．

19．经销商第一年购买某工厂商品的单价为a（单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如表：
上一年度销售额/万元
[0，100）
[100，200）
[200，300）
[300，400）
[400，500）
[500，+∞）
商品单价/元
a
0.9a
0.85a
0.8a
0.75a
0.7a
为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图．
已知某经销商下一年购买该商品的单价为X（单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率．
（1）求X的平均估计值．
（2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为
获奖金额/元
5000
10000
概率

记Y（单位：元）表示某经销商参加这次活动获得的奖金，求Y的分布列及数学期望..
20．已知椭圆C1：（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点F2也为抛物线C2：y2=8x的焦点．
（1）若M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为（1，1），求直线MN的斜率；
（2）若过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明是定值．
21．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，f（x）=e2x+2f（0）ex﹣f′（0）x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x＞0时，af（x）＜ex﹣x恒成立，求a的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）若射线θ=与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．

[选修4-5：不等式选讲]
23．已知f（x）=|mx+3|﹣|2x+n|．
（1）当m=2，n=﹣1时，求不等式f（x）＜2的解集；
（2）当m=1，n＜0时，f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值范围．

2018年广东省高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 已知x，y∈R，集合A={2，log3x}，集合B={x，y}，若A∩B={0}，则x+y=（　　）
A． B．0 C．1 D．3
【分析】根据A∩B={0}即可得出0∈A，0∈B，这样即可求出x，y的值，从而求出x+y的值．
【解答】解：A∩B={0}；
∴0∈A，0∈B；
∴log3x=0；
∴x=1，y=0；
∴x+y=1．
故选：C．
【点评】考查列举法表示集合的概念，交集的概念及运算，以及元素与集合的关系．

2． 若复数z1=1+i，z2=1﹣i，则下列结论错误的是（　　）
A．z1•z2是实数 B．是纯虚数
C．|z|=2|z2|2 D．z=4i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算及复数模的求法逐一判断得答案．
【解答】解：∵z1=1+i，z2=1﹣i，
∴z1•z2=1﹣i2=2，故A正确；
，故B正确；
，，故C正确；
，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

3． 已知=（﹣1，3），=（m，m﹣4），=（2m，3），若，则（　　）
A．﹣7 B．﹣2 C．5 D．8
【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算法则，计算即可．
【解答】解：=（﹣1，3），=（m，m﹣4），=（2m，3），
若，则﹣1×（m﹣4）﹣3×m=0；
解得m=1；
∴=（1，﹣3）
=（2，3）；
=1×2+（﹣3）×3=﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算问题，是基础题．

4． 如图，是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据图象的关系，求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
【解答】解：连结AE，结合图象可知弓形①与弓形②面积相等，
将弓形①移动到②的位置，则阴影部分将构成一个直角三角形，
则阴影部分的面积为正方形面积的，则向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率P=，
故选：D．

【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，求出阴影部分的面积是解决本题的关键．

5． 已知等比数列{an}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3（a3+a2），则=（　　）
A．﹣9 B．9 C．﹣81 D．81
【分析】等比数列{an}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3（a3+a2），可得=3（a2q+a2），化为：q2=3．由等比数列的性质可得：a1a2……a9=q1+2+……+8=q4×9，代入=q4．即可得出．
【解答】解：等比数列{an}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3（a3+a2），
∴=3（a2q+a2），
化为：q2=3．
由等比数列的性质可得：a1a2……a9=q1+2+……+8==q4×9
则==q4=9．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6． 已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（4，0），且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（　　）
A．=1 B．
C．=1 D．=1或=1
【分析】由题意可得c=4，由双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a=b，解方程可得a，b的值，即可得到所求双曲线的方程．
【解答】解：双曲线C：（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（4，0），
可得c=4，即有a2+b2=c2=16，
双曲线的两条渐近线互相垂直，
即直线y=x和直线y=﹣x垂直，
可得a=b，
解方程可得a=b=2，
则双曲线的方程为﹣=1．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

7． 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．8π+6 B．6π+6 C．8π+12 D．6π+12
【分析】由题意判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积即可．
【解答】解：几何体是组合体，上部是半圆柱，下部是半球，圆柱的底面半径与球的半径相同为1，圆柱的高为3，
几何体的表面积为：2π×12+12×π+2×3+3π=6+6π．
故选：B．

【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．

8． 设x，y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2] B．[﹣4，4] C．[0，4] D．[0，2]
【分析】作出约束条件所对应的可行域，变形目标函数，平移直线y=2x可得结论．
【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影）
变形目标函数可得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x可知
当直线经过点A（﹣2，0）时，目标函数取最小值﹣4
当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最大值4，
故z=﹣2x+y的取值范围为[﹣4，4]．
故选：B．

【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．

9． 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人﹣﹣宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：由已知中程序的功能，可得循环变量的初值为1，终值为64，
由于四个答案均为直到条件不满足时退出循环，故循环条件应为n≤64，
而每次累加量构造一个以1为首项，以2为公式的等比数列，
由Sn=2n﹣1得：Sn+1=2n+1﹣1=2Sn+1，
故循环体内S=1+2S，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．

10． 已知数列{an}前n项和为Sn，a1=15，且满足（2n﹣5）an+1=（2n﹣3）an+4n2﹣16n+15，已知n，m∈N+，n＞m，则Sn﹣Sm的最小值为（　　）
A． B． C．﹣14 D．﹣28
【分析】由等式变形，可得{}为等差数列，公差为1，首项为﹣5，运用等差数列的通项公式可得an，再由自然数和的公式、平方和公式，可得Sn，讨论n的变化，Sn的变化，僵尸可得最小值．
【解答】解：∵（2n﹣5）an+1=（2n﹣3）an+4n2﹣16n+15，
∴﹣=1，=﹣5．
可得数列{}为等差数列，公差为1，首项为﹣5．
∴=﹣5+n﹣1=n﹣6，
∴an=（2n﹣5）（n﹣6）=2n2﹣17n+30．
∴Sn=2（12+22+……+n2）﹣17（1+2+……+n）+30n
=2×﹣17×+30n
=．
可得n=2，3，4，5，Sn递减；n＞5，Sn递增，
∵n，m∈N+，n＞m，
S1=15，S2=19，S5=S6=5，S7=14，S8=36，
Sn﹣Sm的最小值为5﹣19=﹣14，
故选：C．
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11． 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A﹣BD﹣C的余弦值为，则该四面体ABCD外接球的体积为（　　）
A． B．8π C． D．36π
【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的体积．
【解答】解：如图所示，取BD中点F，连结AF、CF，
则AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，
过A作AE⊥平面BCD，交CF延长线于E，
∴cos∠AFC=﹣，cos，AF=CF==3，
∴AE=2，EF=1，
设O为球，过O作OO′⊥CF，交F于O′，作OG⊥AE，交AE于G，
设OO′=x，∵O′B=CF=2，O′F==1，
∴由勾股定理得R2=O′B2+OO'2=4+x2=OG2+AG2=（1+1）2+（2﹣x）2，
解得x=，∴R2=6，即R=，
∴四面体的外接球的体积为V=πR3==8π．
故选：B．

【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，考查四面体、球等基础知识，考查运用求解能力、空间想象能力、探索能力、转化与化归思想、函数与方程思想，是中档题．

12． 已知函数f（x）=ex﹣ln（x+3），则下面对函数f（x）的描述正确的是（　　）
A．∀x∈（﹣3，+∞），f（x）≥ B．∀x∈（﹣3，+∞），f（x）
C．∃x0∈（﹣3，+∞），f（x0）=﹣1 D．f（x）min∈（0，1）
【分析】本题首先要对函数f（x）=ex﹣ln（x+3）进行求导，确定f′（x）在定义域上的单调性为单调递增函数，然后再利用当x∈（a，b）时，利用f′（a）f′（b）＜0确定导函数的极值点x0∈（﹣1，﹣）从而．得到x=x0时是函数f（x）的最小值点．
【解答】解：因为函数f（x）=ex﹣ln（x+3），定义域为（﹣3，+∞），所以f′（x）=ex﹣，
易知导函数f′（x）在定义域（﹣3，+∞）上是单调递增函数，
又f′（﹣1）＜0，f′（﹣）＞0，
所以f′（x）=0在（﹣3，+∞）上有唯一的实根，不妨将其设为x0，且x0∈（﹣1，﹣），
则x=x0为f（x）的最小值点，且f′（x0）=0，即e=，两边取以e为底的对数，得x0=﹣ln（x0+3）
故f（x）≥f（x0）=e﹣ln（x0+3）=﹣ln（x0+3）=+x0，因为x0∈（﹣1，﹣），所以2＜x0+3，
故f（x）≥f（x0）=＞2+=﹣，即对∀x∈（﹣3，+∞），都有f（x）＞﹣．
故选：B．
【点评】本题表面考查命题的真假判断，实际上是考查函数的求导，求最值问题，准确计算是基础，熟练运用知识点解决问题是关键．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13． 将函数f（x）=2sin（2x+φ）（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，得到偶函数g（x）的图象，则φ的最大值是　　．
【分析】根据三角函数图象平移法则，结合函数的奇偶性求出φ的最大值．
【解答】解：函数f（x）=2sin（2x+φ）（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，
得f（x+）=2sin[2（x+）+φ]=2sin（2x+φ+）的图象，
∴g（x）=2sin（2x++φ）；
又g（x）是偶函数，
∴+φ=+kπ，k∈Z；
∴φ=﹣+kπ，k∈Z；
又φ＜0，∴φ的最大值是﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．

14． 已知a＞0，b＞0，（ax+）6展开式的常数项为，则a+2b的最小值为　2　．
【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，可得ab=，再由基本不等式求a+2b的最小值．
【解答】解：（ax+）6展开式的通项为x6﹣2r，
由6﹣2r=0，得r=3．
∴，即．
∴a+2b，当且仅当a=2b，即a=1，b=时，取“=”．
∴a+2b的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．

15． 已知函数f（x）=log2（4x+1）+mx，当m＞0时，关于x的不等式f（log3x）＜1的解集为　（0，1）　．
【分析】利用单调性求解即可．
【解答】解：函数f（x）=log2（4x+1）+mx，
当m＞0时，可知f（x）时单调递增函数，
当x=0时，可得f（0）=1，
那么不等式f（log3x）＜f（0）的解集，
即，
解得：0＜x＜1．
故答案为（0，1）
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，符合函数的单调性判断，3难度不大，属于基础题．

16． 设过抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点P（异于原点O）的直线与抛物线y2=8px（p＞0）交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px（p＞0）的另一个交点为Q，则=　3　
【分析】联立方程组求出P，Q的坐标，计算OP，PQ的比值得出结论．
【解答】解：设直线OP方程为y=kx（k≠0），
联立方程组，解得P（，），
联立方程组，解得Q（，），
∴|OP|==，|PQ|==，
∴==3．
故答案为：3．

【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60°，c=8．
（1）若点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=BC，=2，求AM的值；
（2）若b=12，求△ABC的面积．
【分析】（1）设BM=x，则AM=2x，由余弦定理求出BM=4，由此利用余弦定理能求出b．
（2）由正弦定理得=，从而sinC=，由b=12＞c，得B＞C，cosC=，从而sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=，由此能求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，c=8
点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=BC，=2，
∴设BM=x，则AN=2x，
在△ABN中，由余弦定理得12x2=64+4x2﹣2×8×2xcos60°，
解得x=4（负值舍去），则BM=4，
∴AM==4．
（2）在△ABC中，由正弦定理得=，
∴sinC===，
又b=12＞c，∴B＞C，则C为锐角，∴cosC=，
则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×=，
∴△ABC的面积S=bcsinA=48×=24．
【点评】本题考查三角形的边长的求法，考查三角形面积的求法，考查三角函数性质、三角函数恒等式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE，∠ADE=90°，∠ADC=∠DCB=120°．
（1）证明：平面ABCD⊥平面EDCF；
（2）求直线AF与平面BDF所成角的最正弦值．

【分析】（1）推导出AD⊥DE，DC⊥DE，从而DE⊥平面ABCD．由此能证明平面ABCD⊥平面EDCF．
（2）以D为原点，以DA为x轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出直线AF与平面BDF所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）因为AD⊥DE，DC⊥DE，AD、CD⊂平面ABCD，且AD∩CD=D，
所以DE⊥平面ABCD．
又DE⊂平面EDCF，故平面ABCD⊥平面EDCF．
解：（2）由已知DC∥EF，所以DC∥平面ABFE．
又平面ABCD∩平面ABFE=AB，故AB∥CD．
所以四边形ABCD为等腰梯形．
又AD=DE，所以AD=CD，由题意得AD⊥BD，
令AD=1，
如图，以D为原点，以DA为x轴，
建立空间直角坐标系D﹣xyz，
则D（0，0，0），A（1，0，0），
F（﹣，，1），B（0，，0），
∴=（，﹣，﹣1），=（0，，0），=（﹣，，1）．
设平面BDF的法向量为=（x，y，z），
则，取x=2，得=（2，0，1），
cos＜，＞===．
设直线与平面BDF所成的角为θ，则sinθ=．
所以直线AF与平面BDF所成角的正弦值为．

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

19．经销商第一年购买某工厂商品的单价为a（单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如表：
上一年度销售额/万元
[0，100）
[100，200）
[200，300）
[300，400）
[400，500）
[500，+∞）
商品单价/元
a
0.9a
0.85a
0.8a
0.75a
0.7a
为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图．
已知某经销商下一年购买该商品的单价为X（单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率．
（1）求X的平均估计值．
（2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为
获奖金额/元
5000
10000
概率

记Y（单位：元）表示某经销商参加这次活动获得的奖金，求Y的分布列及数学期望..
【分析】（1）由统计表和柱状图能得到X的平均估计值．
（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.04=0.5=．Y的取值为5000，10000，15000，20000．分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列和E（Y）．
【解答】解：（1）由题可知：
商品单价/元
a
0.9a
0.85a
0.8a
0.75a
0.7a
频率
0.2
0.3
0.24
0.12
0.1
0.04
X的平均估计值为：
a×0.2+0.9a×0.36+0.85a×0.24+0.8a×0.12+0.75a×0.1+0.7a×0.04=0.873a．
（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.04=0.5=．
Y的取值为5000，10000，15000，20000．
P（Y=5000）=，
P（Y=10000）==，
P（Y=15000）==，
P（Y=20000）==．
∴Y的分布列为：
Y
5000
10000
15000
20000
P

E（Y）=+20000×=9375（元）．
【点评】本题考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．

20．已知椭圆C1：（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点F2也为抛物线C2：y2=8x的焦点．
（1）若M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为（1，1），求直线MN的斜率；
（2）若过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明是定值．
【分析】（1）根据抛物线的性质，求得c，即可求得b的值，利用“点差法”即可求得直线MN的斜率；
（2）分类讨论，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得m的值，同理即可求得n的值，即可求得是定值．
【解答】解：（1）抛物线C2：y2=8x的焦点（2，0），则c=2，b2=a2﹣c2=4，
∴椭圆的标准方程：，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，两式相减得：=﹣•，
由MN的中点为（1，1），则x1+x2=2，y1+y2=2，
∴直线MN的斜率k==﹣，
∴直线MN的斜率为﹣；
（2）由椭圆的右焦点F2（2，0），当直线AB的斜率不存在或为0时，+=+=，
当直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y=k（x﹣2），
设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y化简整理得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，
△=（﹣8k2）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣8）=32（k2+1）＞0，
∴x1+x2=，x1x2=，
则m==，同理可得：，
∴=（+）=，
综上可知：是定值．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查转化思想，属于中档题．

21．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，f（x）=e2x+2f（0）ex﹣f′（0）x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x＞0时，af（x）＜ex﹣x恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，计算f（0），求出f′（0）的值，求出函数的单调区间即可；
（2）令g（x）=af（x）﹣ex+x，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的最值，从而确定a的范围即可．
【解答】解：（1）由f（0）=1+2f（0），得f（0）=﹣1．
因为f′（x）=2e2x﹣2ex﹣f′（0），
所以f′（0）=2﹣2﹣f′（0），解得f′（0）=0．
所以f（x）=e2x﹣2ex，f′（x）=2ex（ex﹣1），
当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（2）令g（x）=af（x）﹣ex+x=ae2x﹣（2a+1）ex+x，
根据题意，当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0恒成立．
g′（x）=（2aex﹣1）（ex﹣1）．
①当0＜a＜，x∈（﹣ln2a，+∞）时，g′（x）＞0恒成立，
所以g（x）在（﹣ln2a，+∞）上是增函数，且g（x）∈（g（﹣ln2a），+∞），
所以不符合题意；
②当a≥，x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0恒成立，
所以g（x）在（0，+∞）上是增函数，且g（x）∈（g（0），+∞），所以不符合题意；
③当a≤0时，因为x∈（0，+∞），所有恒有g′（x）＜0，
故g（x）在（0，+∞）上是减函数，
于是“g（x）＜0对任意x∈（0，+∞）都成立”的充要条件是g（0）≤0，
即a﹣（2a+1）≤0，解得：a≥﹣1，故﹣1≤a≤0．
综上，a的取值范围是[﹣1，0]．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）若射线θ=与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．
【分析】（1）直线l的参数方程消去t可得直线l的普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，能求出直线l的极坐标方程．由圆的标准方程能求出圆C的极坐标方程．
（2）设M（），A（），B（ρ3，）．联立，得，从而ρ2+ρ3=3+3，进而M（，）．把M（，）代入，能求出a的值．
【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴在直线l的参数方程中消去t可得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0，
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入以上方程中，
得到直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣=0．
∵圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，
∴圆C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ﹣6ρsinθ+14=0．
（2）在极坐标系中，由已知可设M（），A（），B（ρ3，）．
联立，得，
∴ρ2+ρ3=3+3．
∵点M恰好为AB的中点，
∴，即M（，）．
把M（，）代入，
得×﹣=0，
解得a=．
【点评】本题考查直线和圆的极坐标方程的求法，考查实数值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

[选修4-5：不等式选讲]
23．已知f（x）=|mx+3|﹣|2x+n|．
（1）当m=2，n=﹣1时，求不等式f（x）＜2的解集；
（2）当m=1，n＜0时，f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值范围．
【分析】（1）代入m，n的值，得到关于x的不等式组，解出即可；
（2）求出A，B，C的坐标，表示出三角形的面积，得到关于n的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）当m=2，n=﹣1时，f（x）=|2x+3|﹣|2x﹣1|，
不等式f（x）＜2等价于或或，
解得：x＜﹣或﹣≤x＜0，即x＜0．
所以不等式f（x）＜2的解集是（﹣∞，0）．
（2）由题设可得，f（x）=|x+3|﹣|2x+n|=，
所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为：
A（﹣，0），B（3﹣n，0），C（﹣，3﹣），
所以三角形ABC的面积为（3﹣n+）（3﹣）=，
由＞24，解得：n＞18或n＜﹣6．
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．

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