【省级联考】2018年广东省高考数学一模试卷(文科).doc

2018年广东省高考数学一模试卷（文科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 若复数z满足（1+i）z=1，则复数z的虚部为（　　）
A． B． C． D．
2． 已知集合A={x|x＞0}，B={x|x2＜1}，则A∪B=（　　）
A．（0，+∞） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（﹣1，0）
3． “常数m是2与8的等比中项”是“m=4”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4． 如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（　　）

A． B． C． D．
5． 已知F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．2
6． 等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x+2），…的第四项等于（　　）
A．3 B．4 C．log318 D．log324
7． 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）

A．48+8π B．96+8π C．96+16π D．48+16π
8． 已知曲线，则下列结论正确的是（　　）
A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称
B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称
C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称
D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称
9． 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（　　）

A．n是偶数，n≥100 B．n是奇数，n≥100
C．n是偶数，n＞100 D．n是奇数，n＞100
10． 已知函数在其定义域上单调递减，则函数f（x）的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
11． 已知抛物线C：y2=x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
12． 设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）=f（b）=f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（　　）
A．（16，32） B．（18，34） C．（17，35） D．（6，7）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13． 已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|=　 　．
14． 设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为　 　．
15． 已知数列{an}的前n项和为Sn，且，则a5=　 　．
16． 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为　 　．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）证明：；
（2）若，求△ABC的面积．
18．（12.00分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
步数/步
0～3000
3001～6000
6001～8000
8001～10000
10000以上
男生人数/人
1
2
7
15
5
女性人数/人
0
3
7
9
1
规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．
（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；

积极性
懈怠性
总计
男

女

总计

附：
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在3001～6000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率．
19．（12.00分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形．
（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；
（2）若BD⊥EC，求点F到平面ABCD的距离．

20．（12.00分）已知椭圆的离心率为，且C过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值．
21．（12.00分）已知函数f（x）=ex﹣x2﹣ax．
（1）证明：当a≤2﹣2ln2时，函数f（x）在R上是单调函数；
（2）当x＞0时，f（x）≥1﹣x恒成立，求实数a的取值范围．

（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2=20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ=．
（1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；
（2）若直线C3的极坐标方程为θ=，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积．

[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．
（1）求不等式g（x）＜6的解集；
（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．

2018年广东省高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 若复数z满足（1+i）z=1，则复数z的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由（1+i）z=1，
得，
则复数z的虚部为．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

2． 已知集合A={x|x＞0}，B={x|x2＜1}，则A∪B=（　　）
A．（0，+∞） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（﹣1，0）
【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∪B．
【解答】解：∵集合A={x|x＞0}，
B={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，
∴A∪B={x|x＞﹣1}=（﹣1，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

3． “常数m是2与8的等比中项”是“m=4”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用等比中项公式求解．
【解答】解：∵m是两个正数2和8的等比中项，
∴m=±=±4．
故m=±4是m=4的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查两个正数的等比中项的求法，是基础题，解题时要注意两个正数的等比中项有两个．

4． 如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据几何概型的定义分别求出满足条件的面积，作商即可．
【解答】解：由题意此点取自黑色部分的概率是：
P==，
故选：A．
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．

5． 已知F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．2
【分析】根据题意，由双曲线的几何性质，分析可得b=2a，进而可得c==a，由双曲线的离心率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，
若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b=2a，
则c==a，
则双曲线C的离心率e==，
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离为b．

6． 等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x+2），…的第四项等于（　　）
A．3 B．4 C．log318 D．log324
【分析】由等差数列的性质得log3（2x）+log3（4x+2）=2log3（3x），求出x=4，等差数列的前三项分别是log38，log312，log318，由此能求出第四项．
【解答】解：∵等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x+2），…，
∴log3（2x）+log3（4x+2）=2log3（3x），
∴x（x﹣4）=0，
又2x＞0，∴x=4，
∴等差数列的前三项分别是log38，log312，log318，
d=log312﹣log38=，
∴第四项为=log327=3．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的第4项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

7． 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）

A．48+8π B．96+8π C．96+16π D．48+16π
【分析】由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆柱，即可求解表面积．
【解答】解：由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，
∴表面积为：4×6×2+2（4×6﹣4π）+2×2π×4=96+8π，
故选：B．
【点评】本题考查了圆柱和长方体的三视图，结构特征，面积计算，属于基础题．

8． 已知曲线，则下列结论正确的是（　　）
A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称
B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称
C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称
D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称
【分析】直接利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：把C向左平移个单位长度，
可得函数解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）=cos2x，
得到的曲线关于y轴对称，故A错误；
把C向右平移个单位长度，
可得函数解析式为y=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣）=﹣cos2x，
得到的曲线关于y轴对称，故B正确；
把C向左平移个单位长度，
可得函数解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），
取x=0，得y=，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故C错误；
把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣），
取x=0，得y=﹣，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故D错误．
∴正确的结论是B．
故选：B．
【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换，考查y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，是基础题．

9． 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（　　）

A．n是偶数，n≥100 B．n是奇数，n≥100
C．n是偶数，n＞100 D．n是奇数，n＞100
【分析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可．
【解答】解：n=1，s=0，
n=2，s=2，
n=3，s=4，
…，
n=99，s=，
n=100，s=，
n=101＞100，
结束循环，
故选：D．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

10． 已知函数在其定义域上单调递减，则函数f（x）的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意可得[]′=≤0，但不恒等于0，结合选项即可得到所求图象．
【解答】解：函数在其定义域R上单调递减，
可得[]′=≤0，
但不恒等于0，
即f（x）≥f′（x）恒成立，
对于A，f（x）＞0恒成立，且f′（x）≤0，
则f（x）≥f′（x）恒成立；
对于B，由f（x）与x轴的交点设为（m，0），（m＞0），
可得f（m）=0，f′（m）＞0，f（x）≥f′（x）不成立；
对于C，可令f（x）=t（t＜0），f′（x）=0，
f（x）≥f′（x）不成立；
对于D，f（x）在x＞0时的极小值点设为n，
则f（n）＜0，f′（n）=0，f（x）≥f′（x）不成立．
则A可能成立，
故选：A．
【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查数形结合思想方法，以及分析判断能力，属于中档题．

11． 已知抛物线C：y2=x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设切线MA的方程为x=ty+m，代入抛物线方程得y2﹣ty﹣m=0，由直线与抛物线相切可得△=t2+4m=0，分别求出A，B，M的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出
【解答】解：设切线MA的方程为x=ty+m，代入抛物线方程得y2﹣ty﹣m=0，
由直线与抛物线相切可得△=t2+4m=0，
则A（，），B（，﹣），
将点A的坐标代入x=ty+m，得m=﹣，
∴M（﹣，0），
∴=（，）•（，﹣）=﹣=（t2﹣）2﹣，
则当t2=，即t=±时，的最小值为﹣
故选：C．
【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及向量的数量积和二次函数的性质，属于中档题

12． 设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）=f（b）=f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（　　）
A．（16，32） B．（18，34） C．（17，35） D．（6，7）
【分析】不妨设a＜b＜c，利用f（a）=f（b）=f（c），结合图象可得c的范围，即可2a+2b=2
【解答】解：不妨设a＜b＜c，则1﹣2a=2b﹣1，则2a+2b=2，
结合图象可知c∈（4，5），
则2a+2b+2c∈（18，34），
故选：B．

【点评】本题考查代数式取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13． 已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|=　1　．
【分析】根据单位向量的夹角为30°即可求出的值，从而可求出的值，进而得出的值．
【解答】解：单位向量的夹角为30°；
∴，；
∴=；
∴．
故答案为：1．
【点评】考查向量数量积的运算，以及单位向量的概念．

14． 设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为　2　．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．
【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图，
则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，
由解得A（4，﹣2），
所以z=x+y 的最大值为：2．
故答案为：2．

【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数的最优解是解题的关键．

15． 已知数列{an}的前n项和为Sn，且，则a5=　14　．
【分析】利用a5=S5﹣S4即可得出．
【解答】解：a5=S5﹣S4=﹣=14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了数列递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16． 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为　　．

【分析】根据题意，设正方形ABCD的边长为x，E，F，G，H重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，即可求解x，从而求解四棱锥的外接球的体积．
【解答】解：连接OE交AB与I，E，F，G，H重合为P，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD的边长为x．
则OI=，IE=6﹣．
由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，
可得，
解得：x=4．
设
外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=，OP=，．
∴．
该四棱锥的外接球的体积V=．
故答案为：．

【点评】本题考查的知识点是球的体积，其中根据已知求出半径是解答的关键．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）证明：；
（2）若，求△ABC的面积．
【分析】（1）直接利用已知条件和余弦定理求出结论．
（2）利用（1）的结论，进一步利用正弦定理求出结果．
【解答】证明：（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，
则：，
整理得：，
由于：b2+c2﹣a2=2bccosA，
则：2bccosA=，
即：a=2cosA．
解：（2）由于：A=，
所以：．
由正弦定理得：，
解得：b=1．
C=，
所以：．
【点评】本题考查的知识要点：余弦定理和正弦定理的应用．

18．（12.00分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
步数/步
0～3000
3001～6000
6001～8000
8001～10000
10000以上
男生人数/人
1
2
7
15
5
女性人数/人
0
3
7
9
1
规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．
（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；

积极性
懈怠性
总计
男

女

总计

附：
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在3001～6000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率．
【分析】（1）根据题意，由频率分布表分析可得 2×2 列联表，由独立性检验计算公式计算K2的值，结合独立性检验的意义可得答案；
（2）根据题意，设步行数在3001～6000的男性为1、2，女性为a、b、c，由列举法分析可得从中任选3人和男性人数超过女性人数的情况数目，由古典概型计算公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，由频率分布表分析可得：

积极性
懈怠性
总计
男
20
10
30
女
10
10
20
总计
30
20
50
则K2=≈1.389＜2.706，
则没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；
（2）根据题意，设步行数在3001～6000的男性为1、2，女性为a、b、c，
从中任选3人的选法有（1，2，a），（1，2，b），（1，2，c），（1，a，b），（1，a，c），（1，b，c），（2，a，b），（2，a，c），（2，b，c），（a，b，c）；共10种情况，
其中男性人数超过女性人数的情况有：（1，2，a），（1，2，b），（1，2，c），共3种，
则选中的人中男性人数超过女性人数的概率P=．
【点评】本题考查独立性检验的计算以及古典概型的计算，注意从频率分布表中读出数据．

19．（12.00分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形．
（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；
（2）若BD⊥EC，求点F到平面ABCD的距离．

【分析】（1）推导出EF∥AD，AE⊥EF，AE⊥CF，从而AE⊥平面EBCF，由此能证明平面AEFD⊥平面EBCF．
（2）过点D作DG∥AE，交EF于点G，连结BG，则DG⊥平面EBCF，DG⊥EC，设点F到平面ABCD的距离为h，由VF﹣ABC=VA﹣BCF，能求出点F到平面ABCD的距离．
【解答】证明：（1）∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，
E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，
∴EF∥AD，∴AE⊥EF，
又AE⊥CF，且EF∩CF=F，∴AE⊥平面EBCF，
∵AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面EBCF．
解：（2）如图，过点D作DG∥AE，交EF于点G，
连结BG，则DG⊥平面EBCF，DG⊥EC，
又BD⊥EC，BD∩DG=D，∴EC⊥平面BDG，EC⊥BG，
由题意△EGB∽△BEC，∴，∴EB===2，
设点F到平面ABCD的距离为h，
∵VF﹣ABC=VA﹣BCF，∴S△ABC•h=S△BCF•AE，
AB=4，=8，
又BC⊥AE，BC⊥EB，AE∩EB=E，∴BC⊥平面AEB，故AB⊥BC，
∵=4，AE=EB=2，
∴h==2，
∴点F到平面ABCD的距离为2．

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，数形结合思想，是中档题．

20．（12.00分）已知椭圆的离心率为，且C过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值．
【分析】（1）由题意可得，解得即可；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx+t（t≠0）．与椭圆的方程联立可得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0．由△＞0，可得1+4k2＞t2．得到根与系数的关系．可得•=k2，直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，化为4k2=1，即可证明
【解答】解：（1）由题意可得，
解得a=2，b=1，c=，
故椭圆C的方程为+y2=1，
证明：（2）：设P（x1，y1），Q（x2，y2）．
由题意可设直线l的方程为：y=kx+t（t≠0）．
联立，
化为（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0．
△=64k2t2﹣4（4t2﹣4）（1+4k2）＞0，化为1+4k2＞t2．
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
∴y1y2=（kx1+t）（kx2+t）=k2x1x2+kt（x1+x2）+t2，
∵直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，
∴•=k2，
即k2x1x2+kt（x1+x2）+t2=kx1x2，
∴+t2=0，
∵t≠0，
∴4k2=1，
结合图形可知k=﹣，
∴直线l的斜率为定值为﹣．
【点评】本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

21．（12.00分）已知函数f（x）=ex﹣x2﹣ax．
（1）证明：当a≤2﹣2ln2时，函数f（x）在R上是单调函数；
（2）当x＞0时，f（x）≥1﹣x恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，从而证明结论；
（2）问题转化为a≤﹣x﹣+1，令h（x）=﹣x﹣+1（x＞0），根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出a的范围．
【解答】解：（1）证明：f′（x）=ex﹣2x﹣a，
令g（x）=ex﹣2x﹣a，则g′（x）=ex﹣2，
则x∈（﹣∞，ln2]时，g′（x）＜0，x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0，
故函数g（x）在x=ln2时取最小值g（ln2）=2﹣2ln2﹣a≥0，
故f′（x）≥0，即函数f（x）在R递增；
（2）当x＞0时，ex﹣x2﹣ax≥1﹣x，即a≤﹣x﹣+1，
令h（x）=﹣x﹣+1（x＞0），则h′（x）=，
令φ（x）=ex﹣x﹣1，（x＞0），则φ′（x）=ex﹣1＞0，
x∈（0，+∞）时，φ（x）递增，φ（x）＞φ（0）=0，
x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）递减，
x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，
故h（x）min=h（1）=e﹣1，
故a∈（﹣∞，e﹣1]．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．

（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2=20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ=．
（1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；
（2）若直线C3的极坐标方程为θ=，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积．
【分析】（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，整理即可；
（2）别将θ=，θ=代入ρ=4cosθ+8sinθ，求出得ρ1，ρ2的值，从而求出三角形的面积．
【解答】解：（1）∵圆C1的普通方程为x2+y2﹣4x﹣8y=0，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入方程得ρ2﹣4ρcosθ﹣8ρsinθ=0，
故C1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ，
C2的平面直角坐标系方程是y=x；
（2）分别将θ=，θ=代入ρ=4cosθ+8sinθ，
得ρ1=2+4，ρ2=4+2，
则△OMN的面积为×（2+4）×（4+2）×sin（﹣）=8+5．
【点评】本题考查了极坐标和直角坐标的转化，考查代入求值问题，是一道中档题．

[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．
（1）求不等式g（x）＜6的解集；
（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．
【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（2）问题转化为{y|y=f（x），x∈R}∩{y|y=﹣g（x），x∈R}≠∅，求出f（x）的最小值和g（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．g（x）=，
不等式g（x）＜6，
x≤﹣2时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：x＞﹣1，不等式无解；
﹣2＜x＜时，1﹣4x﹣x﹣2＜6，解得：﹣＜x＜，
x≥时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：3＞x，
综上，不等式的解集是（﹣，3）；
（2）因为存在x1∈R，存在x2∈R，使得f（x1）=﹣g（x2）成立，
所以{y|y=f（x），x∈R}∩{y|y=﹣g（x），x∈R}≠∅，
又f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|≥|（3x﹣3a）﹣（3x+1）|=|3a+1|，
故g（x）的最小值是﹣，
可知﹣g（x）max=，所以|3a+1|≤，解得﹣≤a≤，
所以实数a的取值范围为[﹣，]．
【点评】本题考查函数与方程的综合应用，绝对值不等式的解法问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．

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