高中数学应用题专题复习答案.doc

高中应用题专题复习
例1．建筑一个容积为48米3，深为3米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a元，池底每平方米的造价为2a元。把总造价y表示为底的一边长x米的函数，并指出函数的定义域。
解：容积=底面积×高= 48 Þ 底面积×3 = 48 Þ 底面另一边长：m =
池壁造价=池壁面积×a = 2(3x + 3m )×a = 6( x +)a = 6(x +)a
池底造价=底面积×2a =16×2a = 32a
∴ y = 6(x +)a + 32a ( x > 0 )
x
2x
例2. 有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计.
解：如图设x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 -7x
∴ 窗框的高为3x，宽为
即窗框的面积 y = 3x ·= -7x2 + 6x ( 0 < x <)
配方：y = ( 0 < x < 2 )
∴ 当x =米时，即上框架高为米、下框架为米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大.
3．利润问题：（1）利润=收入-成本 （2）利润=单位利润×销售量
例3. 将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个。若该商品的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个。如何确定该商品的销售单价，使利润最大？
分析：（1）每出售一个商品的利润=销售单价-进货单价= 10- 8 = 2
（2）以单价10元为基础：单价每次涨1元，当涨了x元（即可看成涨了x次）时，则每出售一个商品的利润= 2+ x元, 销售量为100 -10x个
∴ 每个商品的利润y = (2 + x )( 100 -10x ) = -10x2 + 80x + 200 = -10( x - 4)2 + 360
即当x = 4时，y有最大值360
∴ 当每个商品的单价为14元时，利润最大.
4．与增长率相关的问题：
〖要点〗增长率为正：原产量×(1 + 增长的百分率)经过x年
增长率为负：原产量×(1 - 增长的百分率)经过x年
例5. 一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量每年比上一年增加p%. 写出年产量随经过年数变化的函数关系式.
解：设经过x年后，年产量为y, 则y = a( 1 + p%)x

例9. 画一个边长2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，求：
（1） 第10个正方形的面积
（2） 这10个正方形的面积的和
解：（1）设{an}表示各正方形的面积
∵ a1 = 22 = 4, a2 = ()2, a3 = 42 = 8
∴ {an}是公比为2的等比数列
第10个正方形的面积a10 = a1q9 = 4×29 = 2048 (厘米2)
（2）这10个正方形的面积和 （厘米2）
例10．一个球从100米高处自由落下，每次着地后又回到原高度的一半再落下. 当它第10次着地时，共经过了多少米？
解：设球落下的高度依次为a1, a2, …, a10 .
∵ a1 = 100, a2 = 50, a3 = 25 ∴ {an}是公比为的等比数列
则球第10次落下时落下的路程为
∴本球共经过的路程为S = 2S10 - 100 ≈300 （米）

一． 解析几何中的应用题
例16．抛物线拱桥顶部距水面2米时，水面宽4米. 当水面下降1米时，水面的宽是多少？
2
4
x
y
0
解：如图建立直角坐标系，则抛物线方程为x2 = -2py
依题意知：x = 2时，y = -2代入方程得p = 1
即抛物线方程为 x2 = -y, 当水面下降1米时，y = -3 Þ x =
∴ 水面宽为2x =≈3.5 (米)
B
A
O
y
x
F1
F2
·
·
例17．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地
球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439千米，
远地点距地面2384千米，地球半径大约为6371千米，求卫
星的轨道方程.
解：如图建立坐标系
∵ a -c = |OA| - | OF2| = |F2A| = 6371 + 439 = 6810
a + c = |OB| + |OF2| = |F2B| = 6371 + 2384 = 8755
∴ a = 7782.5, c = 972.5 Þ b2 = 7721.52
即卫星的轨道方程是：步
例18．在相距1400米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，炮弹爆炸点在怎样的曲线上？并求出轨迹方程.
B
A
O
y
x
M
解：设爆炸t秒后A哨所先听到爆炸声，则B哨所t + 3秒后听到爆炸声，爆炸点设为M
则 |MA| = 340t, |MB| = 340( t + 3 ) = 340t + 1020
两式相减：|MA| - |MB| = 1020 (|AB| = 1400> 1020)
∴ 炮弹爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线
以AB为x轴、AB中点为原点建立直角坐标系（如图）
∴ A(-700, 0 ), B( 700, 0 ) Þ c = 700
且 2a = 1020 Þ a = 510 Þ b2 =229900
炮弹爆炸的轨迹方程是： ( x > 0 )
例19．如图，某灾区的灾民分布在一个矩形地区，现要将救灾物资从P处紧急运往灾区. P往灾区有两条道路PA、PB，且PA=110公里，PB=150公里，AB= 50公里. 为了使救灾物资尽快送到灾民手里，需要在灾区划分一条界线，使从PA和PB两条路线到灾民所在地都比较近. 求出该界线的方程.
M
P
A
B
解：要使沿PA、PB两条线路到救灾地点都比较近，有三种情况：
（1）沿PA线路 （2）沿PB线路 （3）沿PA、PB线路都相同
故分界线以第（3）种情况划分：即
|PA| + |MA| = |PB| + |MB| Þ 110 + |MA| = 150 + |MB|
∴ |MA|-|MB| = 40, 即知分界线是以A、B为焦点的双曲线
AB = 50 Þ 2c = 50 Þ c = 25, 2a = 40 Þ a = 20 Þ b2 = 225
若以AB为x轴、AB的中点为原点建立直角坐标系
则分界线方程是： （在矩形内的一段）
注意：确定分界线的原则是：从P沿PA、PB到分界线上点的距离.
练习：

1某森林出现火灾，火势正以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．
（1）设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立与的函数关系式；
（2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？
2有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定。大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：（k为正的常数），假定车身长为4m，当车速为60（km/h)时，车距为2.66个车身长。
（1） 写出车距d关于车速v的函数关系式;
（2） 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？
3 电信局根据市场客户的不同需求，对某地区的手机套餐通话费提出两种优惠方案，则两种方案付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）（MN平行CD）
（1） 若通话时间为两小时，按方案A，B各付话费多少元？
（2） 方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
（3） 通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠？
5某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场。如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成。跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮。
已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元
(1) 设半圆的半径OA= (米),试建立塑胶跑道
面积S与的函数关系S()
(2) 由于条件限制,问当取何值时,运动场
造价最低?（精确到元）
10某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件。已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用）．
（1）将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
13某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)．

甲 乙
(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资(万元)的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?

16某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2009年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
（1）将2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家2009年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
17某商场在促销期间规定：商场内所在商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：
消费金额（元）的
范围

……
获得奖券的金
额（元）
30
60
100
130
……
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110（元）。设购买商品得到的优惠率=，试问
（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2）对于标价在[500，800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？
18如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求B在上，D在上，且对角线过C点，已知AB=3米，AD=2米，
（1）要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围内?
(2)当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积；
(3)若的长度不少于6米，则当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积。

19已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为元/千克，每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下: 7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付.高考资源网
（1）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？高考资源网
（2）设该厂天购买一次配料，求该厂在这天中用于配料的总费用（元）关于的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?高考资源网

20假设A型进口车关税税率在2003年是100%，在2008年是25%，在2003年A型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）
（1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2003年每辆价格为46万元，若A型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2008年B型车的价格不高于A型车价格的90%，B型车价格要逐年等额降低，问每年至少下降多少万元？
（2）某人在2003年将33万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为1.8%（5年内不变），且每年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么5年到期时这笔钱连本带利息是否一定够买按（1）中所述降价后的B型车一辆？（参考数据：1.0185≈1.093）
参考答案
1解：（1），…………………………………………5分
（2）总损失为y，则y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费
y＝125tx＋100x＋60（500＋100t）………………………………………………9分
＝
＝
＝……………………………………………………11分
………………………………………………13分
当且仅当，即x＝27时，y有最小值36450．……………14分
2．⑴因为当时，，所以， ……4分
∴ ………………………………………………………6分
⑵设每小时通过的车辆为，则．即 ……12分
∵
x
O
y
∴，当且仅当，即时，取最大值．
答：当时，大桥每小时通过的车辆最多．………16分

3设通话x分钟时，方案A，B的通话费分别为
（1）当x=120时   =116元 =168元
若通话时间为两小时，方案A付话费116元，方案B付话费168元
（2）
当-=0.3   
方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3 元
(3) 当

由得
综合：通话时间在内方案B较优惠。
5解: (1)塑胶 跑道面积

（2） 设运动场造价为

6（1）依题意，；
又售价不能低于成本价，所以．
所以，定义域为．
（2），化简得：
解得． 所以x的取值范围是．
10解（1）由题意可知当时，（万件）即……………2分
每件产品的销售价格为 ……………………5分
∴2008年的利润
…………………………………8分
（2）
（万元）……12分
答：该厂家2008年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元……14分
11(Ⅰ)因为,所以的面积为()………………………(2分)
设正方形的边长为,则由,得,
解得,则…………………………………………………………………(6分)
所以,则 ………………(9分)
(Ⅱ)因为,所以……………(13分)
当且仅当时取等号,此时.所以当长为时,有最小值1…………………(15分)

13(1) 设投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元
由题设
由图知f(1)=,故k1= 又
从而———————————————7分
(2) 设A产品投入x万元,则B产品投入10-x万元,设企业利润为y万元

令则
当
答: 当A产品投入3.75万元,则B产品投入6.25万元,企业最大利润为万元 —15分
16（1）由题意可知，当时，，∴即，
∴，每件产品的销售价格为元.
∴2009年的利润
……8分
（2）∵时，.
∴，当且仅当，即时，.………………15分
答：该厂家2009年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.
17（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客的消费金额为：
（元）
获得奖券的金额为130元，得到的优惠率是

（2）设商品的标价为x元，则顾客消费金额（元）
满足当时，获得奖券的金额为60元；
当时，获得奖券的金额为100元，由已知得
（1）或（2）
不等式（1）无解；不等式（2）的解为，因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的商品，可得到不小于的优惠率。
18（1）设米，，则
∵
∴
∴ ……2分
∴
∴ ……4分
∴
∴或 ……5分
（2） ……7分

此时 ……10分

（3）∵
令， ……11分
∵
当时，
∴在上递增 ……13分
∴
此时 ……14分
答：（1）或
（2）当的长度是4米时，矩形的面积最小，最小面积为24平方米；
（3）当的长度是6米时，矩形的面积最小，
最小面积为27平方米。 ……15分

19（Ⅰ）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用
P=70+=88(元) ……………4分
（Ⅱ）（1）当x≤7时
y=360x+10x+236=370x+236 ………5分
（2）当 x>7时
y=360x+236+70+6[()+()+……+2+1]
= ………7分
∴ ………8分
∴设该厂x天购买一次配料平均每天支付的费用为f(x)元
…………11分
当x≤7时
当且仅当x=7时
f(x)有最小值（元）
当x＞7时
=≥393
当且仅当x=12时取等号
∵393<404
∴当x=12时 f(x)有最小值393元 ………16分

20（1）2008年A型车价格为32+32×25%=40（万元）
设B型车每年下降d万元，2003，2003，…，2008年B型车价格分别为…，为公差是－d的等差数列）

即

故每年至少下降2万元。
（2）2008年到期时共有钱33
（万元）
故5年到期后这笔钱够买一辆降价后的B型车。

：

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