空间向量--新高中数学教学教学教案.doc

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空间向量
考纲导读

1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘．
2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．
空间向量
定义、加法、减法、数乘运算
数量积
坐标表示：夹角和距离公式
求距离
求空间角
证明平行与垂直
3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．
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理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
第1课时 空间向量及其运算
基础过关

空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．
本节知识点是：
1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；
2．线性运算律
(1) 加法交换律：a＋b＝ ．
(2) 加法结合律：(a＋b)＋c＝ ．
(3) 数乘分配律：(a＋b)＝ ．
(1) 向量：具有 和 的量．
(2) 向量相等：方向 且长度 ．
(3) 向量加法法则： ．
(4) 向量减法法则： ．
(5) 数乘向量法则： ．
3．共线向量
(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．
(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，a∥b等价于存在实数，使 ．
(3) 直线的向量参数方程：设直线l过定点A且平行于非零向量a，则对于空间中任意一点O，点P在l上等价于存在，使 ．
4．共面向量
(1) 共面向量：平行于 的向量．
(2) 共面向量定理：两个向量a、b不共线，则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对()，使P ．
共面向量定理的推论： ．
5．空间向量基本定理
(1) 空间向量的基底： 的三个向量．
(2) 空间向量基本定理：如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组，使 ．
空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C是不共面的的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组，使 ．
6．空间向量的数量积
(1) 空间向量的夹角： ．
(2) 空间向量的长度或模： ．
(3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、b，则a·b＝ ．
(4) 空间向量的数量积的运算律：
(a) 交换律a·b＝ ；
(b) 分配律a·(b＋c)＝ ．
空间向量的数量积的常用结论：
(a) cos〈a、b〉＝ ；
(b) ?a?2＝ ；
(c) ab ．
典型例题
例1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若，求x－y的值.
解：易求得
变式训练1. 在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是 ( )
A
B
C
D
A1
C1
B1
A．?a＋b＋c B．a＋b＋c
C．a?b＋c D．?a?b＋c
解：A
例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，
求证：AB1∥平面C1BD.
证明：记则∴,∴共面.
∵B1平面C1BD, AB1//平面C1BD.
变式训练2：正方体ABCD－EFGH中，M、N分别是对角线AC和BE上的点，且AM＝EN．
(1) 求证：MN∥平面FC；
(2) 求证：MN⊥AB；
(3) 当MA为何值时，MN取最小值，最小值是多少？
解：(1) 设
(2)
(3) 设正方体的边长为a,
也即，
例3. 已知四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD， G、H分别是△ABC和△ACD的重心．
求证：(1) AD⊥BC； (2) GH∥BD．
证明：(1) AD⊥BC．因为ABCD，，而．
所以AD⊥BC．
(2) 设E、F各为BC和CD的中点．欲证GH∥BD，只需证GH∥EF，＝()＝．
变式训练3：已知平行六面体，E、F、G、H分别为棱的中点．求证：E、F、G、H四点共面．
解：＝
＝＝＝，
所以共面，即点E、F、G、H共面．
例4. 如图，平行六面体AC1中，AE＝3EA1，AF＝FD，AG＝，过E、F、G的平面与对角线AC1交于点P，求AP:PC1的值．
解：设D
F
A
G
B
B1
C1
D1
A1
C
E
P

∴
又∵E、F、G、P四点共面，∴
∴ ∴AP︰PC1＝3︰16
变式训练4：已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证．
证明：法一：
法二：·＝(＋)·(＋)
＝·
＝＝0

故
小结归纳

1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a⊥ba·b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．
2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果．
3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ＝．
4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，C、D分别为l1、l2上的任意一点，为与共线的向量，则｜｜＝.
5．设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d＝.
第2课时 空间向量的坐标运算
基础过关

设a＝，b＝
(1) a±b＝
(2) a＝ ．
(3) a·b＝ ．
(4) a∥b ；ab ．
(5) 设
则＝ ， ．
AB的中点M的坐标为 ．
典型例题

例1. 若＝(1,5,－1)，＝(－2,3,5)
（1）若(k+)∥(－3)，求实数k的值；
（2）若(k+)⊥(－3)，求实数k的值；
（3）若取得最小值，求实数k的值．
解：(1)；
(2)； (3)
变式训练1. 已知为原点，向量∥，求．
解：设，
∵∥，∴，，
∴，即
解此方程组，得。
∴，。
x
y
z
B1
C1
A1
C
B
A
M
N
例2. 如图，直三棱柱，底面中，CA＝CB＝1，，棱，M、N分别A1B1、A1A是的中点．
(1) 求BM的长；
(2) 求的值；
(3) 求证：．
解：以C为原点建立空间直角坐标系.
(1) 依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）．.
(2) 依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）.
.
(3) 证明：依题意得C1（0，0，2），N.
A
B
C
P
E
D
·
变式训练2. 在四棱锥P－ABCD中， 底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1) 在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离；
(2) 求(1) 中的点N到平面PAC的距离．
解：(1) 建立空间直角坐标系A－BDP，则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(, 0, 0)、C(, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, , 1)，依题设N(x, 0, z)，则＝(－x, , 1－z)，由于NE⊥平面PAC，
∴
即
，即点N的坐标为(, 0, 1)，
从而N到AB、AP的距离分别为1，.
(2) 设N到平面PAC的距离为d，则d＝
＝.
C
D
B
A
P
E
例3. 如图，在底面是棱形的四棱锥中，，点E在上，且:＝2:1．
(1) 证明 平面；
(2) 求以AC为棱，与为面的二面角的大小；
(3) 在棱PC上是否存在一点F，使∥平面？证明你的结论．
解：（1）证明略；
（2）易解得；
（3）解 以A为坐标原点，直线分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为
所以，，
，设点F是棱上的点，，其中，则．令得
解得，即时，．亦即，F是PC的中点时，共面，又平面，所以当F是PC的中点时，∥平面．
例4. 如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4.
Z
A
D
G
E
F
C
B
x
y
(1) 求和点G的坐标；
(2) 求GE与平面ABCD所成的角；
(3) 求点C到截面AEFG的距离．
解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)，
E(1，4，3)，F(0，4，4) ∴
又∵，设G(0，0，z)，则(－1，0，z)
＝(－1，0，1) ∴z＝1 ∴G(0，0，1)
(2)平面ABCD的法向量
，设GE与平面ABCD成角为，则
∴
P
A
G
B
C
D
F
E
(3)设⊥面AEFG，＝(x0，y0，z0)
∵⊥，⊥，而＝(－1，0，1)，＝(0，4，3)
∴
取z0＝4，则＝(4，－3，4)
∵
即点C到截面AEFG的距离为．
变式训练4. 如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．
(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值； (2)求点D到平面PBG的距离；
(3)若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．
解：(1)以G点为原点，为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，
P(0，0，4)，故E(1，1，0)，＝(1，1，0)， ＝(0，2，4)。，
∴GE与PC所成的余弦值为．
(2)平面PBG的单位法向量n＝(0，±1，0) .
∵，∴点D到平面PBG的距离为n |＝.
(3)设F(0，y，z)，则。
∵，∴，即，
∴ , 又，即(0，，z－4)＝λ(0，2，－4)， ∴z=1，
小结归纳
故F(0，，1) ，，∴。
对于以下几类立体几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；(5) 探索性问题．
运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决．在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程．