二维不可压缩Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的全局强解.pdf

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2024,37(1):148-158二维不可压缩Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的全局强解刘楠,任永华,张建文(太原理工大学数学学院,山西 晋中 030600)摘要：本文在二维光滑有界区域中研究不可压缩的Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的初边值问题.在初始密度包含真空的情况下,证明在具有任意大的初始速度以及初始时刻宏观分子取向力梯度变化适当小的条件下,该问题全局强解的存在唯一性.关键词：不可压缩Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组;全局强解;存在唯一性中图分类号：O175.4AMS(2010)主题分类：35A01;35A02;35D35文献标识码：A文章编号：1001-9847(2024)01-0148-111.引言本文考虑如下不可压缩Navier-Stokes-Landau-Lifshitz耦合模型:t+u =0,ut+u u u+P=(d d),dt+(u )d=d+|d|2d+d d,u=0,|d|=1,(1.1)其中 R2为光滑有界区域,其边界为,=(x,t),u=(u1,u2)(x,t)以及P=P(x,t)分别代表密度函数,速度函数,压强函数,d=(d1,d2)(x,t)表示宏观分子取向力,(1.1)中的项d d表示一个2 2的矩阵,其第i行j列元素可表示为id jd(1 i,j 2).(1.1)的初边值条件如下所示:(,u,d)(x,0)=(0,u0,d0),|d0|=1,u0=0,x ,(1.2)u(x,t)=0,dv(x,t)=0,(x,t)(0,T),(1.3)其中v是上的单位外法向量.(1.1)是不可压缩的Navier-Stokes和Landau-Lifshitz方程耦合而成的.若u=0,则(1.1)3为Landau-Lifshitz方程;当d为一个常值向量时,(1.1)1、(1.1)2以及(1.1)4是不可压缩的Navier-Stokes方程;若(1.1)中省略d d,则(1.1)是向列相液晶方程.Navier-Stokes方程反映了粘性流体流动的基本力学规律,在流体力学中有十分重要的意义,Landau-Lifshitz方程是描述磁性物质动态磁化现象的方程,对非平衡态磁学的研究起着十分重要的作用,而这两个方程进行耦合之后的系统可以用来描述磁体磁化的收稿日期：2022-12-12基金项目：山西省国际合作基地与平台项目(202104041101019)作者简介：刘楠,女,汉族,山西人,研究方向:偏微分方程.通讯作者：任永华.第 1 期刘楠等：二维不可压缩Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的全局强解149色散理论.Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程目前已经被许多作者在不同角度研究过,其中DUAN和ZHAO1在u0H12+d0H12+(0)足够小的条件下,证明了三维不可压缩的Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程柯西问题解的全局适定性;FAN等人2利用精细的估计,得到了Besov空间以及乘子空间中Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程光滑解的正则性准则;WANG和GUO3通过Faedo-Galerkin近似以及弱紧性理论证明了二维空间中不可压缩的Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程弱解的存在唯一性.对于Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程强解的存在性以及唯一性而言,首先黄等人4基于初始密度0 0以及基本能量0u02L2+d02L2适当小的假设下,通过能量法证明了二维非均匀不可压缩的Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程整体强解的存在性和唯一性.其次LIU和GAO5证明了在三维空间中具有初始真空的广义非均匀Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程强解的存在唯一性.而当=1以及=R2时,XU和ZHANG6基于假设u0 L2、d0 L2、d0=1以及d02L2exp216(u02L2+116)2 0,用Lp=Lp()以及Wk,p=Wk,p()分别代表Lebesgue空间以及Sobolev空间.当p=2时,Hk=Wk,2.空间H10,代表H1中C0,的闭包,其中C0,:=C0()|=0.本文主要结论如下:定理1.1对常数q (2,),假设初始数据(0,u0,d0)满足0 W1,q(),u0 H10,()H2(),d0 H2(),|d0|=1.(1.4)此外,假设以下初值条件成立:d02L2exp2C20(0u02L2+d02L2)18C0.(1.5)那么对任何0 T 以及2 r q,(1.1)-(1.3)有唯一强解(,u,d)使以下成立:C(0,T;W1,q),t L(0,T;Lr),u L(0,T;H2)L2(0,T;W2.q),ut L(0,T;L2),ut L2(0,T;H1),d L(0,T;H2)L2(0,T;H3),dt L(0,T;H1)L2(0,T;H2),dtt L2(0,T;L2).2.预备知识引理2.14假设初值(0,u0,d0)满足条件(1.4),则存在一个正时间T,使得问题(1.1)(1.3)在 (0,T)中有唯一强解.引理2.27(Gagliardo-Nirenberg不等式)对于任意q 2,),r (2,)以及s (1,),假设f H1(R2)以及g Ls(R2)D1,r(R2),则存在依赖于q、r以及s的正常数C,满足如下fqLq(R2)Cf2L2(R2)fq2L2(R2),150应用数学2024gC(R2)Cgs(r2)/(2r+s(r2)Ls(R2)g2r/(2r+s(r2)Lr(R2).接下来给出Stokes方程的正则性性质:u+P=F,x ,u=0,x ,u=0,x .(2.1)引理2.38假设F Lr(),1 r .设(u,P)H10 L2是问题(2.1)的唯一弱解,则(u,P)W2,r W1,r,并且存在依赖于以及r的正常数C使以下成立:uW2,r+PW1,r/R CFL2.引理2.49设(,u,d)为问题(1.1)-(1.3)在(0,T)上的强解,假设0 ,则u2L4 C(,)(1+uL2)uL2log(2+u2L2).(2.2)3.先验估计引理3.1设(,u,d)为系统强解,(0,u0,d0)满足初值条件(1.4)以及(1.5),则存在正常数C使以下成立:sup0tT(u2L2+d2L2)+T0(u2L2+d2L2)dt C.(3.1)证由最大值原理、方程(1.1)1、以及方程(1.1)4可得0 m M ,本文假设m 1,则1 M 0,使得对任何t 0,T1都有以下成立:d(t)2L214C20.(3.12)设T1表示(3.12)在0,T1成立的最大时间,因此,由式(3.11)以及(3.12)可得ddt|d|2dx+14d2L2 4C20u2L2d2L2,(3.13)且由式(3.8)可得2T0u2L2dt 0u02L2+d02L2,则(3.13)对t积分并由Gronwall不等式可得d2L2+14T0d2L2dt d02L2exp4C20T10u2L2dt d02L2exp2C20(0u02L2+d02L2)18C20.(3.14)(3.14)意味着如果条件(1.5)成立,则T1=T,那么就有下式成立:T0d2L2dt C.则(3.1)成立.推论3.1对任意t 0,T,有以下成立:u2L2+T0dt2L2dt C.(3.15)证首先由式(3.1)以及(3.2)可直接得到u2L2 C.(3.16)再对方程(1.1)3应用L2估计,并借助H older不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式、式(3.1)以及式(3.16)可得dt2L2 C(d+|d|2d+d d (u )d2L2)C(d2L2+u2L2).(3.17)152应用数学2024再次借用式(3.1)可得T0dt2L2dt C.则式(3.15)可直接得到.引理3.2设(,u,d)为系统(1.1)强解,且初始数据(0,u0,d0)满足条件(1.4)以及(1.5),则存在正常数C使以下成立:sup0tT(u2L2+d2L2+dt2L2)+T0(ut2L2+3d2L2)dt C.(3.18)证1)用ut与方程(1.1)2做向量积并在R2上积分可得12ddt|u|2dx+|ut|2dx=(u )u utdx (d d)utdx.(3.19)由式(3.2)、Holder不等式以及Gagliardo-Nirenberg不等式,可得12ddt|u|2dx+|ut|2dx utL2uL4uL4+dL4dL4utL212ut2L2+Cu2L4uL2uH2+Cd2L4d2L4+12ut2L2.设f(t)=u2L4uL2uH2+d2L4d2L4,则当12ut2L2(eC C)f(t)时,有12ut2L2+Cf(t)eCf(t)成立.则下式成立:12ddt|u|2dx+|ut|2dx 12ut2L2+eCu2L4uL2uH2+eCd2L4d2L4,(3.20)本文仍将eC写作C,则由(3.20)可得12ddt|u|2dx+|ut|2dx 12ut2L2+Cu2L4uL2uH2+Cd2L2dL2+Cd2L2+Cd4L2.(3.21)根据引理2.3可得uH2 C(utL2+u uL2+|d|2d|L2)CutL2+CuL4uL4+CdL42d|L4 CuL2+CuL4u12L2u12H2+CdL2d12L2+CdL2 CutL2+Cu2L4uL2+12uH2+CdL2d12L2+CdL2.则以下成立:uH2 CutL2+Cu2L4uL2+CdL2d12L2+CdL2.(3.22)将(3.22)代入(3.21)中,且根据young不等式以及式(3.1)可得12ddt|u|2dx+12ut2L23d2L2+ut2L2+Cu4L4u2L2+C(d4L2+d2L2),(3.23)由引理2.4以及式(3.23)可得ddt|u|2dx+ut2L23d2L2+ut2L2+Cu4L2log(2+u2L2)第 1 期刘楠等：二维不可压缩Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的全局强解153+C(d4L2+d2L2).(3.24)2)对方程(1.1)3作用,再乘d,并在R2上积分可得12ddt|d|2dx+d2L2=(|d|2d)ddx+(u d)ddx(d d)ddxC(d3L6+dL42dL4+dL4dL4)dL2+(uL42dL4+uL2dL)dL2=I1+I2.(3.25)则由Gagliardo-Nirenberg不等式以及式(3.1)可得I1 C(dL2d2L2+d12L2dL2d12L2+d12L2dL2)dL2 C(d2L2+dL2d12L2+dL2)dL2 d2L2+C(d2L2+d4L2);I2C(u12L2d12L2d12L2+u12L2d12L2+uL2d12L2d12L2)dL2d2L2+Cd4L2+Cu4L2+Cu2L2+Cd2L2.将I1以及I2的估计式代入(3.25)中可得ddt|d|2dx+d2L2 C(u2L2+u4L2+d2L2+d4L2).(3.26)式(3.26)与(3.24)相加,取足够小可得ddt(|u|2+|d|2)dx+ut2L2+d2L2C(u2L2+u4L2+d2L2+d4L2)+Cu4L2log(2+u2L2),(3.27)则由式(3.27)可得ddt(u2L2+d2L2+2)dx+ut2L2+d2L2C(u2L2+d2L2)+C(u4L2+d4L2)+Cu2L2u2L2log(2+u2L2),设m(t)=u2L2+d2L2+2,n(t)=u2L2+d2L2,满足m(t)Cm(t)n(t)+Cm(t)n(t)logm(t),则(logm(t)Cn(t)+Cn(t)logm(t),(3.28)则由式(3.28)、(3.1)以及Gronwall不等式可得logm(t)C,则sup0tT(u2L2+d2L2)C.(3.29)接着式(3.27)对t积分,并由式(3.29)以及(3.1)可得T0(ut2L2+d2L2)dt C.(3.30)154应用数学2024最后由式(3.17)以及(3.29)可得sup0tTdt2L2 C.(3.31)则(3.18)可由式(3.29)、(3.30)以及(3.31)得到.引理3.3由式(2.2)、(3.1)以及(3.18)有下式成立:sup0tTuL4 C.(3.32)引理3.4设(,u,d)为(1.1)强解,且(0,u0,d0)满足初始条件,则存在依赖T的正常数C使以下成立:sup0tTt(ut2L2+dt2L2+d2L2+u2H2)+T0t(ut2L2+dt2L2+dtt2L2)dt C.(3.33)证1)对方程(1.1)2关于t求导,可得utt+u ut ut+Pt=t(ut+u u)ut u (d d)t,(3.34)用ut与(3.34)做向量积,并在R2上积分,由方程(1.1)1以及式(1.1)4可得12ddt|ut|2dx+|ut|2dx=u|ut|2dx u (u u ut)dxut u utdx+(d d)t utdx=4i=1.(3.35)现对Ii进行估计,由H older不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式、式(3.1)、(3.15)以及式(3.18)可得I1 C12LuLutL2utL2 Cu12L22u12L2utL2utL218ut2L2+Cu2H2ut2L2;I2(|u|u|2|ut|+|u|2|2u|ut|+|u|2|u|ut|)dxCLuLu2L4utL2+CLu2L2uL2utL2+CLu2LuL2utL2Cu12L22u32L2uL2utL2+CuL22u2L2utL2+CuL22uL2uL2utL218ut2L2+Cu2H2ut2L2+Cu2H2;I3 CLutL2utL4uL4 CutL2utL2uH218ut2L2+Cu2H2ut2L2;I4 CdL4dtL4utL2 Cd12L22d12L2dt12L2dt12L2utL2第 1 期刘楠等：二维不可压缩Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的全局强解155 dt2L2+18ut2L2+Cd2L2dt2L2.将以上估计式代入式(3.35)中可得ddt|ut|2dx+ut2L2 dt2L2+Cu2H2ut2L2+Cu2H2+Cd2L2dt2L2.(3.36)2)对方程(1.1)3关于t求导,可得dtt+(ut)d+(u )dt dt=(|d|2d)t+(d d)t,(3.37)用dt与方程(3.37)做向量积,并且在R2上积分可得12ddt|dt|2dx+|dt|2dx=(dt|d|2+2d|d|dt|)dtdx+u dt dtdx+(ut d)dtdx(d d)t dtdx=4i=1Mi.(3.38)现对Mi进行估计,通过H older不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式、式(3.1)以及式(3.18)可得M1 CdtL4d2L8dtL2+CdL4dtL4dtL2 Cdt12L2dt12L2dtL2+Cdt12L2dt32L2 dt2L2+C(dt2L2+dt2L2);M2+M3 CuL4dtL4dtL2+CutL4dL4dtL2 Cdt12L2dt32L2+Cut12L2+Cut12L2dtL2(ut2L2+dt2L2)+C(ut2L2+dt2L2);M4 CdtL4dL4dtL2 Cdt12L2dt12L2d12L2(d12L2+d12L2)dtL2 Cdt2L2d2L2+C(d2L2+d2L2)+dt2L2.将以上估计式代入式(3.38)并与式(3.36)相加,取足够小可得ddt(ut2L2+dt2L2)+ut2L2+dt2L2Cu2H2ut2L2+Cdt2L2d2L2+C(dt2L2+dt2L2+ut2L2+d2L2+d2L2+u2H2)C(ut2L2+dt2L2)(d2L2+u2H2)+C(dt2L2+dt2L2+ut2L2+d2L2+d2L2+u2H2).(3.39)由式(3.1)、(3.18)、(3.22)以及式(3.32)可得T0u2H2dt C.(3.40)式(3.39)乘以t并对T积分,再由Gronwall不等式、式(3.1)、(3.15)、(3.18)以及式(3.40)可得sup0tTt(ut2L2+dt2L2)+T0t(ut2L2+dt2L2)dt C.(3.41)3)对方程(1.1)3关于t求导可得dtt+ut d+(u )dt=dt+(|d|2d)t+(d d)t,156应用数学2024用dtt与上面的方程做向量积,并R2在上积分可得|dtt|2dx 2|dt|dtt|dx+|ut|d|dtt|dx+|u|dt|dtt|dx+2|d|dt|dtt|dx+|d|2|dt|dtt|dx+|dt|d|dtt|dx=6i=1Ji.(3.42)现对Ji进行估计,利用H older不等式、Cauchy不等式、式(3.1)、(3.15)、(3.18)以及式(3.41)可得J1 CdtL2dttL2 dtt2L2+Cdt2L2;J2 CutL2dLdttL2 dtt2L2+Cut2L2;J3+J4 C(uL4+dL4)dtL4dttL2 dtt2L2+Cdt2L2;J5 Cd2L8dtL4dttL2 dtt2L2+Cdt2L2;J6 CdtL4dL4dttL2 dtt2L2+C(dt2L2+d2L2).将Ji的估计式代入(3.42)再乘以t,并由式(3.15)、(3.18)以及(3.41)可得T0tdtt2L2dt C.(3.43)4)对方程(1.1)3作用,再乘以d,由(a b)b=0、式(3.1)、(3.15)、(3.18)以及式(3.41)可得d2L2Cd3L6dL2+CdL6dL3dL2+CuL6dL3dL2+CuL2dLdL2+CdtL2dL2CdL2+CdL3dL2+CdLdL2+CdtL2dL2CdL2+Cd12L2d32L2+Cd12L2d32L2+CdtL2dL2C+Cd2L2+Cdt2L2+12d2L2.则由式(3.18)以及式(3.41)可得sup0tT(td2L2)C.(3.44)最后由式(3.22)、(3.18)、(3.32)、(3.44)以及式(3.41)可得sup0tT(tu2H2)C.(3.45)则式(3.33)可由式(3.41)、(3.43)、(3.44)以及式(3.45)得到.引理3.5对定理1.1中q (2,),存在一个正常数C,使得对任意r 2,q),有以下成立sup0tT(W1,q+tLr)+T02u2Lqdt C.(3.46)证1)由引理2.3、Sobolev不等式、式(3.1)、(3.18)、(3.44)以及式(3.45)可得2uLq C(utLq+u uLq+|d|2d|Lq)CutL2+CuLuLq+CdL2dLq CutL2+Cu2H2+Cd2H2 CutL2+C.第 1 期刘楠等：二维不可压缩Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的全局强解157因此,由式(3.33)可得T02u2Lqdt C.(3.47)2)根据Stokes方程的正则性理论、H older不等式以及Gagliardo-Nirenberg不等式可得uL CuW2,4 C(utL4+u uL4+(d d)L4)C(LutL4+LuLuL4+dLdL4)C(utH1+uH1+dL2dL2+dH1)C(utH1+uH1+dH1).(3.48)式(3.48)对t积分,并由式(3.18)、(3.33)、(3.40)以及式(3.1)可得T0uLdt C.(3.49)显然满足如下方程t+u 2+u =0,用q()q1与其做向量积,并在R2上积分且由方程(1.1)4可得ddtLq C(q)uLLq,则结合Gronwall不等式以及式(3.49)可得sup0tTLq C.(3.50)再次利用方程(1.1)1可得tLr=u Lr LquLqrqr LquL2,由式(3.50)以及式(3.18)可得sup0tTtLr C.(3.51)则(3.46)可直接由式(3.47)、式(3.50)、以及式(3.51)可得.4.定理1.1的证明证由引理2.1知,存在T 0使(1.1)-(1.3)在0,T有局部唯一强解(,u,d),因此为了证明定理1.1,只需要证明局部解可以扩展到全局解即可.设T=sup0tTT|(,u,d)为(1.1)(1.3)在 (0,T上的强解(4.1)我们称T=(4.2)否则,若T T使(,u,d)作为(1.1)-(1.3)的强解可以扩展到T外,与(4.1)矛盾,故(4.2)成立.参考文献：1 DUAN N,ZHAO X P.On global well-posedness to 3D Navier-Stokes-Landau-Lifshitz equationsJ.AIMS Math.,2020,5(6):6457-6463.2 FAN J S,GAO H J,GUO B L.Regularity criteria for the Navier-Stokes-Landau-Lifshitz systemJ.J.Math.Anal.Appl.,2010,363(1):29-37.158应用数学20243 WANG G W,GUO B L.Existence and uniqueness of the weak solution to the incompressible Navier-Stokes-Landau-Lifshitz model in 2-dimensionJ.Acta Math.Sci.,2017,37(5):1361-1372.4 黄丙远,黄金锐,奚悦.二维不可压缩Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的整体强解J.华南师范大学学报:自然科学版,2017,49(6):6.5 LIU H,GAO H J.Existence of strong solutions for the generalized nonhomogeneous Navier-Stokes-Landau-Lifshitz systemJ.Z.Angew.Math.Phys.,2021,72:1-18.6 XU X,ZHANG Z F.Global regularity and 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force gradient is appropriately small at the initial time.Key words:Incompressible Navier-Stokes-Landau-Lifshitz equations;Global strong solution;Ex-istence and uniqueness