高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结及练习[老师版].doc

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高中数学必修5 第一章 解三角形复习
一、知识点总结
【正弦定理】
1．正弦定理: (R为三角形外接圆的半径).
2.正弦定理的一些变式：
；；
；（iv）
3．两类正弦定理解三角形的问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）
【余弦定理】
1．余弦定理： 2.推论： .
3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.
（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
【面积公式】
已知三角形的三边为a,b,c,
1.= =2R2sinAsinBsinC（其中为三角形内切圆半径）
2.设,(海伦公式)
【三角形中的常见结论】
（1）(2)
,;
（3）若
若（大边对大角，小边对小角）
（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
(5) 锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形最大角是钝角最大角的余弦值为负值
（6）中，A,B,C成等差数列的充要条件是.
(7) 为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列，且a,b,c成等比数列.
二、题型汇总
题型1【判定三角形形状】
判断三角形的类型
（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
（2）在中，由余弦定理可知:
（注意：）
(3) 若，则A=B或.
例1.在中，，且，试判断形状.

题型2【解三角形及求面积】
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
例2.在中，，，，求的值

例3.在中，内角对边的边长分别是，已知，．
　　（Ⅰ）若的面积等于，求；
　　（Ⅱ）若，求的面积．

题型3【证明等式成立】
证明等式成立的方法：（1）左右，（2）右左，（3）左右互相推.
例4.已知中，角的对边分别为，求证：.

题型4【解三角形在实际中的应用】
实际问题中的有关概念：
仰角 俯角 方位角 方向角
(1)仰角和俯角：
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．

(2)方位角：
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．
(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)
①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．
②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．

例5．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？

解三角形高考题精选

1．的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。
解：由 所以有

当
2.。设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=2bsinA。
（Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）求的取值范围。
解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，
由为锐角三角形得。
（Ⅱ）
。
由为锐角三角形知，
，。，
所以。由此有，
所以，cosA+sinC的取值范围为。
3．设的内角所对的边长分别为，且．
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最大值．

4.在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b
解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.
解法二:
由余弦定理得:
.
又 ,。
所以 …………………………………①
又 ，

，
即
由正弦定理得，
故 ………………………②
由①，②解得。

5. 已知的内角，及其对边，满足，求内角．
解：由及正弦定理得

从而

又
故

所以

6.（12）的内角、、的对边分别为、、，已知，，求。

7． 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.
故PA＝.
(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理得，
化简得cos α＝4sin α.
所以tan α＝，即tan∠PBA＝.

8.的内角的对边分别为，已知.
（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，的面积为.求的周长.
解：
（I） 由已知及正弦定理的，
，
即，
故，
可得，∴．
（II） 由已知，，
又，∴，
由已知及余弦定理得，，
故，从而，
∴的周长为

9. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．

解：在中，．
由正弦定理得．
所以．
在 中．

10．如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?
解：如图，连结，，，
是等边三角形，，
在中，由余弦定理得
，

因此乙船的速度的大小为
答：乙船每小时航行海里.

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