用细观单元等效化方法模拟混凝土细观破坏.pdf

第 3 4卷 第 6期 2 0 1 2年 1 2月 土 木 建 筑 与 环 境 工 程 J o u r n a l o f C i v i l 。Ar c h i t e c t u r a l& En v i r o n me n t a l En g i n e e r i n g Vo 1 3 4 No 6 De e 2 O1 2 d o i ： 1 0 3 9 6 9 j i s s n 1 6 7 4 4 7 6 4 2 0 1 2 0 6 0 0 1 用细观单元等效化方法模拟混凝土细观破坏 杜修 力 ， 金浏 ( 北京工业大 学 城 市与 工程安 全减灾教 育部重点 实验 室，北京 1 0 0 1 2 4 ) 摘 要 ： 从非连续介质力学角度 出发 ， 提 出了 1种能准确模拟混凝土断裂破坏过程 的细观单元等效 化方法， 推导混凝土细观单元的等效力学行为并数值验证 了其合理性。基 于细观单元等效化模型 ， 采用扩展有限元法对单轴拉伸条件下湿筛混凝土试件的裂纹扩展 过程及宏观 力学性能进行数值模 拟 ， 并与细观随机骨料模 型结果进行对比。结果表 明： 与随机骨料模 型相 比， 细观单元等效化模型 大大减小了体 系自由度 ， 在较低计算量 的情况下可以获得与之较 吻合的裂纹扩展路径及宏观 力学 性能， 充分展现 了该力学模型的准确性和 高效性。 关键词 ： 混凝土； 细观单元等效化 ； 扩展有限元法； 断裂破坏 ； 宏观力学性能 中图分类号： TU5 2 8 1 文献标志码 ： A 文章编号： 1 6 7 4 4 7 6 4 ( 2 0 1 2 ) 0 6 0 0 0 1 0 7 S i mu l a t i o n o f Co nc r e t e M e s o - Fa i l u r e Pr o c e s s wi t h M e s o El e m e nt Equ i v a l e nt M e t ho d DU Xi u l f ，J I N Li u ( Th e Ke y La b o r a t o r y o f U r b a n S e c u r i t y a n d Di s a s t e r En g i n e e r i n g ，M i n i s t r y o f E d u c a t i o n， Be ij i n g Un i v e r s i t y o f Te c h n o l o g y ，Be i j i n g 1 0 0 1 2 4 ，P RCh i n a ) Abs t r a c t ： St a r t i n g f r om t h e no n c o nt i nuu m m e c h a ni c s，a me s o e l e m e nt e q ui v a l e nt m o d e l wa s pr o po s e d t o s i m ul a t e t h e f a i l ur e pr o c e s s o f c on c r e t e The e q ui va l e nt me c ha n i c a l be h a vi o r s o f c o nc r e t e me s o e l e me n t we r e de du c e d t he o r e t i c a l l y a nd ve r i f i e d by nu m e r i c a l s i mul a t i on Ba s e d on t he m e s o e l e me n t e q ui v a l e n t mo d e l ，t h e f a i l u r e p r o c e s s a n d ma c r o me c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f we t s c r e e n e d c o n c r e t e u n d e r u n i a x i a l t e n s i l e we r e s i mu l a t e d wi t h t h e e x t e n d e d f i n i t e e l e me n t me t h o d An d t h e r e s u l t s o f me s o e l e me n t e q u i v a l e n t mo d e l we r e c o mp a r e d wi t h t h o s e o f r a n d o m a g g r e g a t e mo d e 1 Th e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t ，c o mp a r e d wi t h r a n d o m a g g r e g a t e mo d e l ， t h e d e g r e e s o f f r e e d o m o f t h e s t r u c t u r a l s y s t e m d e c r e a s e g r e a t l y， a n d t h e c r a c k p r op a g a t i o n pa t h a nd t h e ma c r o s c o pi c m e c h a ni c a l pr o pe r t i e s ob t a i n e d f r om t h e m e s o e l e m e nt e qu i v a l e nt mo d e l a r e c o n s i s t e n t wi t h t h e r a n d o m a g g r e g a t e mo d e l ，wh i c h r e f l e c t s t h e a c c u r a c y a n d e f f i c i e n c y f u l l y o f t h e m e c ha n i c a l mod e 1 Ke y wo r ds ： c on c r e t e；m e s o e l e me nt e qu i v a l e nc e；e x t e nd e d f i n i t e e l e m e nt me t h od；f a i l ur e；ma c r o m e c ha n i c a l p r o pe r t i e s 混凝土是典型的非均匀材料 ， 其 复杂 的破坏 机 理及宏观力学特性是研究者一直关注的问题 。混凝 土类非均质材料 的破坏过程 实际上就是微 裂纹萌 生 、 扩展 、 贯 通 ， 直 到最 后 宏 观裂 纹 产 生 导 致 混凝 土 失稳 破裂 的过程 。 对于非均匀混凝土材料 问题 ， 学术界进行 了长 收稿 日期 ： 2 0 1 2 0 3 1 0 基金项 目： 9 7 3计划项 目( 2 0 1 1 C B 0 1 3 6 0 0 ) ；国家 自然科学基金项 目( 5 0 8 3 8 0 O 1 ) ； 北京市 重大项 目( 8 1 0 0 0 0 1 ) ： 北京 工业大 学创新 基金 ( YB 2 0 1 2 0 7 ) 作者简介 ： 杜 修力 ( 1 9 6 3 一 ) ， 男 ， 教授 ， 博士生导师 ， 主要从事地震工程学研究 ， ( E - ma i l )d u x i u l i b j u t e d u c n 。 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 土 木 建 筑 与 环 境 工 程 第3 4 卷 期的探索， 在近 3 O年来 已取得 了很大的进展 ， 提 出 了很多 研究 混 凝 土损 伤 断裂 过 程 的细 观 力学 模 型口 。Wa n g等 。 提出了随机骨料模型 ， 采用非线 性有限元技术 ， 研究了混凝土试件的损伤断裂全过 程； S c h l a n g e n等l_ 4 采用简单格构模型研究了混凝土 等脆性材料的典型破坏机理； Mo h a me d等 提 出了 混凝 土破 坏机 制 研 究 的微 观 结 构模 型 ， 考 虑 混 凝 土 细观组分力学性质的随机性， 引入断裂能概念 ， 采用 弥散裂纹模型描述单元受拉行为 ， 对混凝土试件的 破坏机理进行 了研究 ； 唐春安等 借助统计学及数 值模拟方法 ， 建立了混凝土损伤断裂研究 的随机力 学特性模 型； L o p e z等 采用“ 零厚度” 界面单元法 对混凝土试件在单轴拉伸下的断裂破坏过程进行模 拟 ， 获得的宏观力学特性与试验结果吻合 良好 ； 杜修 力等l_ 8 提出了高计算效率的细观单元等效化模型 ， 对混凝土材料的力学性能进行研究 ， 数值 结果 与试 验结果吻合 良好。这些研究工作， 大多采用连续介 质力学与不可逆热力学理论 ， 导 出相应的连续损伤 力学本构方程和演化方程 ， 进 而研究混凝土断裂破 坏机 理及 宏观 力学 性能 。 笔者拟将细观单元等效化模型在连续介质力学 领域的应用延伸或扩展到非连续介质力学范畴 ， 从 而更便于宏观地认识混凝土材料内部裂纹的扩展演 化过程。基于该理念， 笔者首先简要 阐述细观单元 等效化模型及扩展有限元法的基本原理 ； 其次， 对细 观单元的等效力学性 能作理论推导并进 行数值验 证 ； 最后采用扩展有限元法来研究混凝 土材 料的细 观断裂破坏过程及其宏观力学性能。 1 基本思想及原理 1 1 细 观单 元等效 化模 型简 介 细观 单元 等效 化 模 型 ， 从 描 述 混 凝 土 材 料 的细 观尺 度人 手 ， 认 为混 凝 土 材料 的宏 观 非 线 性 及 尺 度 效应 根源 于其 内部 细 观组 成 的非 均 质 性 ， 细 观 组 成 的非 均匀 性导 致宏 观力 学行 为 的非线 性 。为 反 映混 凝土材料非均匀性 的本质特征， 文献 9 基于概率统 计学理论 ， 提出 以细观单元材料力学特性 ( 弹性模 量) 的变异系数作为材料非均匀性量度的指标， 并给 出了混凝土材料的特征单元尺度。采用特征单元尺 度对混凝土细观随机骨料模型划分 网格后 ， 得到 的 等效 力学 模 型能准 确地 表征 混凝 土材 料 的非 均匀 特 性 。简单 的讲 ， 采用“ 材料特征单元尺度” 来剖分有 限元 试件 网格 后 获 得 的 等效 力 学 系 统 ， 足 以能 够 准 确 获得t 昆 凝 土材料 的宏 观力 学性 能 。 如图 1所示 的混凝 土材料细 观单元等效 化模 型 ， 首 先在混 凝 土细观 随机骨 料模 型 的基 础上 ， 采 用 “ 材料特征单元尺度” 来剖分有限元网格并投影到已 建立的随机骨料模 型上 ， 得到的各细观单元等效力 学特性采用复合材料力学等效化方法来确定。非均 质混凝土材料力学体系最终等效成单元 内均匀且各 向同性、 单元间性质各异 的非线性力学模 型。细观 单元等效化模型 ， 本质上是 以材料分布的不均匀性 来体现整个试件的宏观非线性 。 图 1 细观单元等效化模型 1 2扩展 有 限元 ( X - F E M ) 法 B e l y t s c h k o等口 基于单 位分解 ( P UM) l 1 概念 ， 利用有限元法 的形函数作为一组单位分解函 数 ， 并将非连续函数引入定义在覆盖 ( 节点影 响域) 上的位移模式 中， 即 印( z ) 一 Ni ( z ) u i + N ( ) ( + H( z ) ) i E I J 1 3 ( 1) 式中： I 为离散域中所有节点的集合， J为影响域被 非连续界面穿过的节点的集合 ， N ( z ) 和 N ( ) 分别 为节 点 i , j影 响 域 上 的 形 函 数 ， 函 数 H( z )为 He a v i s i d e 函数 ， 和 均为常规的连续位移模式的 系数， d ， 为非连续位移模式的系数 。引入了非连续位 移模式 ， 使得扩展有限元在对不连续位移场描述时不 再依赖单元边界， 也不需要对网格进行重剖分 ， 可 以 用来求解函数不连续( 如裂纹) 口 、 导数不连续( 如夹 杂 、 移动 相边界) 、 函数切 向分量不 连续 ( 如剪切 带 、 流固耦合) 和概貌加强等问题 。文献E 1 5 证明了扩展 有 限元 在非均 匀混 凝 土材 料 细观 破坏 过 程及 宏 观力 学性能研究中的可行性 ， 但其计算效率低下问题也将 限制其在三维力学计算模型中的更多应用。 2 细观单元等效力学性质 2 1 细观单元等效力学性能 采用细观单元等效化思想来分析混凝土材料细 观断裂破坏及研究宏观力学特性时 ， 需要对细观单 元的力学性质进行等效化分析。在细观尺度 上， 可 以认为混凝土是 由骨料、 砂浆及界 面组成 的三相复 合材料。采用特征单元尺度剖分混凝土随机骨料模 型后获得 的细观单元 内骨料 、 砂浆及界面相组成的 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 第6 期 杜修力， 等： 用细观单元等效化方法模拟混凝土细观破坏 某空间分布， 如图 2 ( a ) 所示， 将其进行力学等效化后 形成的均匀各向同性 的单元如 图 2 ( b ) 所示 。与 图 2 ( a ) 宏观力学特性相等效 的图 2 ( b ) 的力学性质如何? 下面， 理论推导分析细观单元的等效体力学性质。 图 2 ( a ) 中混凝土细观各 相材料 ( 骨料、 砂 浆及 界面) 采用如图 3 ( a ) 、 ( b ) 、 ( c ) 所示的本构关 系， 即 ： 细观组分在达到峰值应力前 ， 应力一 应变关系是线弹 性的 ； 达到强度后 ， 采用线性应力一 裂缝宽度关 系来 表征混凝 土材料 的软化行为。厂 为极限抗拉强度 ； G r 为 断裂 能 ； W 为张 开位移 ； W 为极 限张 开位 移 。 圈 _ (a ) 细观单元骨料分布 ( b ) 与( a ) 等效的各向同性体 图 2 混凝土细观单元及 其等效 体 口 b x ( a J 骨料本构关系 J 界瑚 L f b 1 砂浆本构关系 L L 入 等效体 ( c ) 界面_水构关系 ( d ) 单元等效本构关系 图 3混凝 土细观组分本构关 系 假定等效体 图 2 ( b ) 的本构行为与各组分本构 关系形式类似 ， 如图 3 ( d ) 所示 。那么在对混凝土细 观单元力学特性 进行等效化时 ， 需要获得 的力学参 数有等效弹性模量 E ， 等效泊松 比 ， 等效断裂强 度 及 单 元等 效 断裂能 G 。 对这 些参 数 的等 效化 分 析 ， 采用 如下 处理 。 1 ) 等效体弹性模量 E 及 u 采用 V o g i t并联模 型_ 1 对弹模及 泊松 比进行 等效化处理 ， 得 ： Ee = C E + C E + C E ( 2 ) 。 Ea + + C E 。 127 + 一 南 而 。 南 南 ( 3) 式中 ： 上标“ e q ” 表示细观等效体 ， 上标“ a ” 、 “ m” 及“ i ” 分别表示骨料 、 砂浆及界面， c为体积分数 。 2 ) 等效断裂强度 当细观等效体达到其断裂强度 时， 认为在等 效体内产生 的内能( 应变能) 是其细观组成( 骨料、 砂 浆及界面) 的总和 ， 等效体内储存的应变能 n 为 ： 一 力 + + n ( 4 ) 即 ： r 1 r 1 一 I寺 d V l 寺c d + J V厶 J y 厶 I 寺c A n, e ? d V+l 告c 厂 i i d ( 5 ) J V m J Vi 对于细观单元等效体 ， 知 ： e 一 -厂 E ( 6 ) 式中 n 、 及 i 分别为骨料 、 砂浆及界面分别达到 其抗拉强度时所存储的应变能 。 将式( 6 ) 代入式 ( 5 ) ， 得 ： ( z + cm + C - ( 7 ) E 3 ) 断裂 能 G 这里假定细观等效体的断裂能 G f 与其细观组 分的断裂能关系如下 ： G C Gf + C Gr?+ C G ( 8 ) 2 2 细观单元等效力学特性验证 为验证 2 1节所提 出的等效化方法 的准确性 ， 对细观单元的等效力学特性进行验证。 选择 5 组细观单元 网格 中骨料及砂浆 的随机分 布情况， 如图 4 ( a ) ( e ) 所示 ， 将其作为不 同的随机 样本来进行数值验证 ， 5组样本 中骨料所 占据 的体 积分数均取 为 3 O 。采用扩 展有限元方法对 其进 行数值分析 ( 以单轴拉伸行 为为例 ) ， 5组样本 得到 了 5 组不 同的宏观 应力一 应 变关 系 曲线 ， 如 图 5所 示 。获得的宏观应力一 应变关 系 曲线与笔者力 学等 效化理论方法 ( 图 5中“ 粗线” 所示) 吻合非 常好 ， 从 而验证了笔者等效化力学方法的准确性 。笔者进行 了大量的随机样本数值试验 ， 均发现得 到的结果 与 2 1节提出的等效力学特性相吻合 ， 由于篇幅所 限， 这里不做多述 。 3 算例分析 3 。 1 二维混凝土单轴拉伸破坏过程 图 6 ( a ) 为混凝土试件 的细观随机骨料模型 ， 试 件尺寸为 1 5 0 mm1 5 0 mm， 其细观组分 采用图 3 所示 的本构模型 ， 其力学参数如表 1所示 。图 6 ( b ) 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 土 木 建 筑 与 环 境 工 程 第3 4 卷 混凝土试件应力全部释放。混凝土试件 内应变能、 内能及断裂耗散能与宏观应变 的关系 曲线如 图 1 1 所示。混凝土应变能随外载荷的增大呈现先增大后 减小直至为零的趋势 ； 体 系的断裂耗散能在试 件达 到一定的宏观应变 时突然产生， 并逐渐增 大直 至达 到一恒 定值 。 l 0 0 0 E 注： 一断裂耗散能 内能一一 应变能 图 l l 混凝土细观结构体 系能量 与应变 s的关系 图 1 2为 2组不 同 随机 样本 ( 骨 料空 间分 布形 式 不同) 的细观单元等效化模型 ， 在单轴拉伸条件下的 最终裂纹模式 图。2个裂纹带 的不 同， 说明 了骨料 空间分布的不同 ， 影响混凝土材料 的裂纹扩展路径， 这从 图 9的宏观应力一 应变关 系曲线 下降段 的区别 也 可 以得到 体现 。 ( a ) 随机样本1 ( h ) 随机样本2 图 1 2 两不 同样本最终裂纹带 这些研究结果表明， 采用笔者提 出的细观单元 等效化方法来研究混凝 土细观断裂破坏过程 ， 在较 低计算量的情况下便 可以获得较为准 确的计算结 果 ， 这解决了其它细观力学模型( 如随机骨料模型， 随机力学特性模型等) 计算效率低下的“ 瓶颈” 问题 ， 使得从细观层次上研究更为复杂的大体积混凝土材 料及混凝土构件的破坏机理及力学性能成为可能 。 4 结语 从非连续介质力学角度 出发 ， 在细观单元等效 化力学模型的基础上， 采用扩展有 限元方法来研究 混凝土材料的细观裂纹扩展过程 。推导 了细观单元 的等效力学特性 ， 并进行了数值验证 ； 最后对单轴拉 伸条件下湿筛混凝土的二维及三维试件进行 了数值 分析 ， 研究其裂纹扩展过程及宏观力学性能， 获得与 细观随机骨料模型相 吻合 的结果， 验证 了细观单元 等效化力学模型的准确性和高效性 。实现 了细观单 元等效化力学方法在非连续介质力学领域的应 用， 从而更清晰地模拟了混凝土在外荷载作用下的断裂 破 坏过程 。 参考 文献 ： 1杜修力 ， 金浏混凝 土静态 力学 性能 的细 观力 学方 法 述评_ J 力学进展 ， 2 0 1 1 ， 4 1 ( 4 ) ： 4 1 1 4 2 6 DU Xi u l i ，J I N L i u A r e v i e w o n me s o me c h a n i c a l me t h o d f o r s t u d y i n g t h e s t a t i c me c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f c o n c r e t e E J Ad v a n c e s i n Me c h a n i c s ，2 0 1 1 ，4 1 ( 4 ) ： 41 1 42 6 2 Wa n g Z M，Kw a n A K H，C h a n H C Me s o s c o p i c s t ud y o f c o nc r e t e I： g e ne r a t i o n o f r a n do m a ggr e g a t e s t r u c t u r e a n d f i n i t e e l e me n t me s h E J C o mp u t e r s a n d S t r u c t u r e s ，1 9 9 9 ，7 0 ( 5 ) ：5 3 3 5 4 4 3K wa n A K H，Wa n g Z M，C h a n H C Me s o s c o p i c s t u d y o f c o n c r e t e I I ： n o n l i n e a r f i n i t e e l e me n t a n a l y s i s J C o mp u t e r s a n d S t r u c t u r e s ， 1 9 9 9 ，7 0 ( 5 ) ： 5 4 5 5 5 6 4S c h l a n g e n E，G a r b o c z i E J F r a c t u r e s i mu l a t i o n s o f c o n c r e t e u s i n g l a t t i c e mo d e l c o mp u t a t i o n a l a s p e c t s J E n g i n e e r i n g Fr a c t u r e Me c h a n i c s ，1 9 9 7 ，5 7 ( 2 3 )：3 1 9 3 32 5 Mo h a me d A R，Ha n s e n WMi c r o m e c h a n i c a l mo d e l i n g o f c r a c k a g g r e g a t e i n t e r a c t i o n i n c o n c r e t e ma t e r i a l s J Ce me n t a n d C o n c r e t e Co mp o s i t e s ，1 9 9 9，2 1 ( 5 6 ) ：3 4 9 35 9 6 唐 春安 ，朱万 成混凝 土损伤 与断 裂一 数值试 验 M 北京 ： 科学出版社 ， 2 0 0 3 7L o p e z C M ， C a r l o I ， Ag u a d o A Me s o s t r u c t u r a l s t u d y of c onc r e t e f r a c t u r e us i ng i nt e r f a c e e l e me n t s I ： n u me r i c a l mo d e l a n d t e n s i l e b e h a v i o r I J Ma t e r i a l s a n d S t r u c t u r e s ，2 0 0 8，4 1 ( 3 ) ：5 8 3 5 9 9 8杜修力 ， 金浏 混凝土材料 宏观力学特性 分析 的细 观单 元 等效 化模 型 J 计 算 力 学 学 报 ， 2 0 1 2 ， 2 9 ( 5 ) ： 6 5 4 6 61 DU Xi u l i ，J 1 N L i u Me s o e l e me n t e q u i v a l e n t mo d e l f o r ma c r o s c o p i c me c h a n i c a l p r o p e r t i e s a n a l y s i s o f c o n c r e t e ma t e r i a l s J C h i n e s e J o u r n a l o f C o mp u t a t i o n a 1 Me c h a n i c s ，2 0 1 2， 2 9 ( 5 ) ： 6 5 4 6 6 1 9 杜修力 ，金浏混凝 土材料 细观 单元 弹模非 均匀 统计 特性研究 J 工程力学 ，2 0 1 2 ，2 9 ( 1 0 ) ： 1 0 6 1 1 5 DU Xi u l i ， J I N Li u Re s e a r c h O 1 7-t h e h e t e r o g e n e o u s 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 第 6 期 杜修 力 ， 等 ： 用 细观 单 元等 效化 方 法模拟 混凝 土 细观破 坏 7 s t a t i s t i c a l p r o p e r t i e s o f e l a s t i c mo d u l u s o f c o n c r e t e me s o s c a l e e l e me n t J E n g i n e e r i n g Me c h a n i c s ，2 0 1 2 ， 2 9 ( 1 0 )： l 0 6 1 1 5 1 o B e l y t s c h k o T，B l a c k T E l a s t i c c r a c k g r o wt h i n f i n i t e e l e me n t wi t h mi n i ma l r e me s h i n g J I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r Nu me r i c a l Me t h o d s i n E n g i n e e r i n g，1 9 9 9 ， 4 5(5 )：61 O - 62 0 1 1 Mo e s N，D o l b o w J ，B e l y t s c h k o T A f i n i t e e l e me n t me t h o d f o r c r a c k g r o wt h w i t h o u t r e me s h i n g J I n t e r n a t i o n a 1 J o u r n a l f o r Nu me r i c a l Me t h o d s i n Engi ne e r i ng，19 9 9，46( 1)：1 31 15 0 1 2 D a u x C，D o l b o w J ，S u k u ma r N，e t a 1 Ar b i t r a r y br a nc he d a n d i nt e r s e c t i ng c r a c k s wi t h t h e e xt e nd e d f i n i t e e l e me n t me t h o d J I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r Nu m e r i c a l M e t h o d s i n En g i n e e r i n g， 2 0 0 0， 4 8(1 2) ： 1 741 1 76 O 1 3 Me l e n k J M，B a b u ； k a I Th e p a r t i t i o n o f u n i t y f i n i t e e l e me n t me t h o d ：b a s i c t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n s J Compu t e r M e t ho ds i n App l i e d M e c h a ni c s a nd Engi ne e r i ng，19 9 6，1 3 9：28 9 31 4 E 1 4 2 Du a r t e C A， O d e n J T A n H P a d a p t i v e me t h o d u s i n g c l o u d s J 3 C o mp u t e r Me t h o d s i n Ap p l i e d Me c h a n i c s a nd En gi ne e r i n g，1 9 96，1 39：2 37 26 2 1 5 黄景琦 ， 金浏 ，杜修力界 面特性及 骨料分布对混凝土 破坏模式 的影 响 J 土 木 建筑 与 环境 工 程 ， 2 O l 1 ， 3 3 ( S 2 )： 3 8 4 1 HUANG J i n g q i J I N Li u DU Xi u l i Th e i mp a c t o f i nt e r f ac e c ha r a c t e r i s t i c a nd a g gr e ga t e di s t r i bu t i on on f a i l u r e mo d e s o f c o n c r e t e J J o u r n a l o f C i v i l ， Ar c hi t e c t ur e an d Envi r on me nt a l En gi ne e r i n g，2 01 1，3 3 ( S 2 ) ： 3 8 4 1 1 6 应宗权 ， 杜成斌 ， 王友元颗粒增强复合材料 的扩展有 限元模 拟方法l- J 水利学报 ，2 0 1 l ， 4 2 ( 2 ) ：1 9 8 2 0 3 YI NG Zon gqu a n， DU Che n gbi n， W ANG You yua n Nu me r i c a l s i mul at i o n o f p a r t i c l e r e i nf o r c e d c o m p os i t e u s i n g e x t e n d e d f i n i t e e l e me n t me t h o d J J o u r n a l o f H y d r a u l i c E n g i n e e r i n g，2 0 1 1 ，4 2 ( 2 ) ：1 9 8 2 0 3 1 7 Vo i g t W Ub e r d i e B e z i e h u n g z wi s c h e n d e n b e i d e n E l a s t i z i t i t s k o n s t a n t e n i s o t r o p e r K O r p e r E J Wi e d An n ， 1 8 89， 2 74( 1 2)：57 3 58 7 ( 编 辑胡 英 奎 ) 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m