考试题库-数学分析.doc

第一套
一，选择题：(每题3分，共15分）
1,已知 ,f （x) = ( )
A:B： C： D：
2,
A：0 B：1 C:2 D:3
3,f (x） 在 x0 点连续，则下列命题不成立的是( ）。
A:f （x0 +0） 、f （x0 - 0) 存在 B：f (x） 在 x0 点的极限存在
C：f （x) 在 x0 点的某邻域内有界 D:f (x） 在 x0 点的某空心邻域内连续
4,φ （x) 在 a 点连续， f （x） = | x — a ｜φ (x)， f’(a) 存在的条件是 （ ） 。
A：φ (a) = 0 B:φ （a） = 1 C:φ （a) = —1 D:φ (a) = a
5，设 f (x） = x （x + 1)(x + 2） … （x +2004) ， 则 f ' (0) = （ )
A：0 B：2003！ C：2004! D：2005！,
二，填空题：（每题3分共15分)
1，数列{an ｝收敛的柯西准则是：
4,如果正方形的边长增加1 cm ，面积的微分 dS = 12 cm2 ,则原边长为 .
5,方程 ex = x 2 的根是 个。
三，计算题：（每题5分，共20分)
五，讨论函数 f (x) = 的性态并作出其图形。 （14分）
六，有一无盖的圆柱形容器，体积为 V ，问底半径与容器高的比为多少时表面积最小？
七,对函数 f（x）= ln (1 + x) 应用拉格朗日定理证明：
(8分）
八、设 f （x) 在开区间 I 上为凸函数，证明: 存在。
第二套
一，选择题：（每题3分，共15分）
1,函数f （x） = ln （ln x) 的定义域是（ ）
A：x ＞ 0 B：x ≥ 0 C：x ＞ 1 D:x ≥ 1
2，
A：奇 B:偶 C：既奇又偶 D：非奇非偶
3,f (x） 在 x0 点连续的充分条件是（ ）。
A：f （x0 +0） 、f （x0 - 0) 存在 B：f (x） 在 x0 点的极限存在
C: f-’ (x0 ） 、f+' (x0 ) 存在 D:f （x） 在 x0 点的某空心邻域内连续
4，f (x) 在 x0 点可导是 f (x） 在（ x0 , f （x0）） 点有切线的（ ） 条件。
A：充分 B:必要 C：充分必要 D：非充分亦非必要
5，设 f (x） = x （x + 1）(x + 2) … （x +2003） ， 则 f ' (0) = ( )
A：0 B:2002！ C：2003！ D:2004！，
二，填空题：（每题3分共15分）
1,设函数 f （x) 在 x0 的某空心邻域 U0 (x0) 内有定义，则柯西收敛准则是：
4，如果正方体各棱长增加1 cm ，体积的微分 dV = 12 cm3 ，则原棱长为 。
5，函数 y = x - sin x 在（— 2π，2π）内的拐点个数是 个.
三，计算题：（每题5分，共20分）
五，讨论函数 f (x) = 的性态并作出其图形. (14分)
六，某窗户上部为半圆，下部为矩形，周长为15 m ，要使窗户透光面积最大，问宽 x 应为多少米？（10分)
七，设 f(x）、g（x）在D上有界，证明： （8分）
第三套
一、 单项选择(每小题3分，共18分）
1、 已知函数的定义域是（0,1)，则的定义域为( ）
（a） （b) （c) (d）
2、对常数函数 y = C ， 下列说法中错误的是( )
（a）既是奇函数也是偶函数 (b)既有上界又有下界
(c)既单调递增也单调递减 (d）没有最小正周期的周期函数
3、是严格增加的( ）条件
(a）充分　 (b)必要　 　 （c)充要 (d)既非充分也非必要
4、设则（ )
(a） 2 （b） 0 （c) （d)
5、函数的奇偶性是（ ）
（a）奇函数 (b）偶函数 （c）既奇又偶函数 （d)非奇非偶函数
6、点集的聚点是( ）
（a） 0 （b) 1 （c） – 1 (d）1和—1
二、 计算(每小题6分，共30分）
1、 2、
3、 4、 ， 求
5、 , 求
三、 做一无盖圆柱形容器，给定体积为V。问底半径与高的比如何取时
最省材料？（8分）
四、 将函数展开到项，并用之计算极限
（8分)
五、叙述类型函数极限的归结原则，并用之证明：
若为周期函数，且=0,则（8分）
六、证明不等式：时,（8分）
七、证明Weierstrass聚点定理：直线上的有界无限点集S至少有一个聚点。(8分）
八、 作函数的图像，并
1、 比较与的大小。
2、求数列的最大项。(12分）
第四套
五、 单项选择（每小题3分，共18分）
1、 已知函数的定义域是（ )
（a） (b） (c) (d）
2、1、下列各组函数中相等的是（ )
（a）与 （b) 与
(c) 与 （d）与
3、函数在可导是曲线在点处存在切线的( ）条件
（a)充分　 (b)必要　 　 (c)充要 （d）既非充分也非必要
4、设则( ）
（a） — (b） 0 （c） 1 (d) 不存在
5、对常数函数 y = C , 下列说法中错误的是( )
(a) 既有上界又有下界 (b)既是奇函数也是偶函数
(c）既单调递增也单调递减 （d）没有最小正周期的周期函数
6、（ ）
（a) 1 (b) 0 (c） – 1 (d）不存在
六、 计算（每小题6分，共30分）
1、 2、
3、 4、 , 求
5、 , 求
七、 试将多项式写成（)的升幂排列（8分）
八、 在半径为R的半圆内作一矩形,如何作其面积最大？（8分）
五、用极限的定义证明： （8分)
六、 明方程(c为常数)在(0，1)内没有两个不同实根。
（8分）
七、已知存在，证明：
(8分)
八、作函数的图像（12分）
第五套
一、 选择题：(每题3分，共15分）
1、若为的一个原函数，则( )。
A： B: C： D：
2、设,则（ ）。
A: B: C： D：
3、下列反常积分收敛的是（ )。
A： B： C： D：
4、级数为( ）级数。
A：收敛 B：绝对收敛 C：条件收敛 D：发散
5、幂级数的收敛域为( ）.
A： B： C： D：
二、 填空题：（每题3分，共15分）
1、 设的一个原函数为,则 .
2、 已知函数,则 。
3、 曲线与轴围成的图形的面积为 。
4、 。
5、 函数的麦克劳林级数是 。
三、 计算题：(每题4分，共20分）
1、计算 2、计算
3、求心脏线的周长。
4、已知:求： 。
5、已知：， 求：。
y=f(x)

a

b

0

y

x

四、 设为上严格增的
连续函数,证明：，使得图中两
阴影的面积相等。
五、 证明不等式：
六、证明函数列在上一致收敛.
七、求的麦克劳林展开式.
八、一个半径为20米的半球形容器内盛满了水，求把水抽尽所作的功。
第六套
六、 选择题：（每题3分，共15分）
1、若可导，则（ ）。
A： B： C： D：
2、设的一个原函数为，则（ )。
A： B: C： D：
3、瑕积分收敛是收敛的（ )条件。
A：充分 B:必要 C:充分必要 D：非充分亦非必要
4、级数为（ ）级数。
A：收敛 B：绝对收敛 C：条件收敛 D：发散
5、幂级数的收敛域为( ）。
A: B： C： D：
七、 填空题：（每题3分,共15分）
6、 。
7、 已知，则 。
8、 曲线与轴围成的图形的面积为 。
9、 。
10、 函数的麦克劳林级数 。
八、 计算题：(每题4分，共20分）
1、计算 2、计算
3、求心椭圆所围的面积。
4、求：的收敛半径、收敛区间、收敛域.
5、求函数,的傅里叶展开式。
九、 设连续可微函数，求。
十、 证明不等式:
六、证明：在上一致收敛。
七、求的麦克劳林展开式。
八、有一等腰梯形闸门,它的上、下两条底边各长10米、6米，高为20米，计算当水面与上底边齐时闸门一侧所受的静压力。
第七套
一、 单项选择（每小题3分，共15分）
1、已知, 则( ）；
A、 B、 C、 D、
2、（ ）；
A、 B、 C、 D、
3、是级数收敛的（ ）条件；
A、充分但不必要 B、必要但不充分 C、充要 D、既非充分也非必要
4、幂级数的收敛域为( )；
A、(-1,1） B、 C、 D、
5、下列广义积分中，收敛的是（ )。
A、 B、 C、 D、
二、 填空:（每小题3分，共12分）
1、_______________;
2、_________________;
3、已知,则幂级数的收敛区间为_______________；
4、__________________；
三、 计算不定积分或求定积分的值.(每小题6分，共24分)
4、设，求
四、 用定积分求极限 。(9分)
五、求幂级数的收敛域及和函数。（10分）
六、求曲线、和所围平面区域的面积.(10分)
七、证明：（每小题10分，共20分)
1、设是以T为周期的连续函数，证明：
2、 函数列在上一致收敛。
第八套
五、 单项选择（每小题3分，共15分）
1、已知, 则（ ）；
A、 B、 C、 D、
2、（ ）；
A、 B、 C、 D、
3、连续是可积的（ )条件；
A、充分但不必要 B、必要但不充分 C、充要 D、既非充分也非必要
4、幂级数的收敛域为（ ）;
A、(—1，1) B、 C、 D、
5、下列广义积分中，收敛的是( )。
A、 B、 C、 D、
六、 填空：（每小题3分,共12分）
1、_______________;
2、_________________；
3、幂级数的收敛半径为_______________；
4、__________________。
七、 计算不定积分或求定积分的值。(每小题8分，共24分）
八、 用定积分求极限 .（9分)
五、求幂级数的收敛域及和函数。(10分）
六、求椭圆绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积。（10分)
七、证明：（每小题10分，共20分)
1、 设在 [－a ， a] 上连续，证明：当为偶函数时,
当为奇函数时,
3、 函数项级数在上一致收敛。
第九套
一、确定集的内点、外点、聚点集和边界。（8分) .
二、考查函数在原点的可微性（8分） 。 .
三、用定义,验证极限 .(8分）
四、， . 求和（8分)
五、验证方程在点满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 并求隐函数的导数（10分） 。
六、要做一个无盖的圆柱形容器,其容量为V，问如何截取容器的高和底面半径，所用材料最省？（10分)
七、由曲面所围成；（12分）
八、，其中是立体的边界曲面；（12分）
九、，为以为顶点的正方形沿逆时针方向．（12分）
十、 ，为球面的外测。（12分）
第十套
一、确定集的内点、外点、聚点集和边界（8分） .
二、叙述的定义（6分）
三、已知。 求。(8分）
四、求极限 .的值.（8分）
五、已知, 。 求和。（10分）
六、 将数12分成三个正数之和， 使得为最大。
七、求方程所确定的隐函数的导数 . （12分)
八、求球体被圆柱面所割下立体的体积 （12分）.
九、由曲面所围成；（12分）
十、，其中是以(0，0），(2，0）,(0，1）为顶点的三角形(12分）；
第十一套
一，选择题:（每题3分，共15分）
2, 函数 f (x， y） = 的全微分为（ ) 。
A： B： C： D：
二,填空题：（每题3分共15分)
3，设 z = f (x, y) , x = r cos t , y = r sin t , 则
4，曲线 x = t — sin t ， y = 1 + cos t ，z = 1 — cos t 在点 （ π，0，2 ） 的法平面方程为 。
三，计算题：(每题5分，共计20分）
1，求 u = ln （ x2 + y ) 在 (4， 3 ） 点处的全微分。
2、求曲面 9 x 2 + y 2 - z 2 = 9 在点(1，1,1）处的切平面方程.
4、计算二重积分 ，D：0 ≤ y ≤ x，0 ≤ x ≤ 1 。
四、求圆 （x - 3)2 + y 2 = 1 与抛物线 y = x2 之间的最短距离。(10分）
五、设 u = f （x 2 — y 2）,证明： （ 10分）
（10分）
第十二套
一,选择题：（每题4分，共20分）
1、设，则（ ）。
A： B: C： D：
2、函数在的全微分为 （ ）。
A: B：
C： D：
3、已知,则（ )。
A： B：
C： D:
4，设，则交换积分次序后为 （ ）。
A：
B：
C：
D：
5,锥面被柱面所截部分的面积是( ）。
A： B： C： D:
二，填空题：（每题4分共20分）
1、抛物柱面与平面所围成的空间几何体在平面上的投影是： 。
2、由方程所确定的隐函数的极小值是 .
3、已知，则 .
4，曲线在点切线方程为 。
5，设L是抛物线从到的一段,则 。
三、计算题：(每题5分,共20分)
（1)、 设，求。
（2）、 求函数在处的泰勒展式。
（3）、 求在条件下的极值.
(4）、计算曲线积分,其中L是与相交的圆周。
四、证明函数在连续，但偏导数不存在.(10分）
五，证明平面曲线上任一点处的切线被坐标轴所截的线段等长。 ( 10分)
六，设，请给出二重积分在极坐标变换下的两个累次积分。( 10分)
七，对于全微分式，验证原函数存在，并求原函数。（ 10分）
八、计算，其中S是球面的上半部分并取外侧。

参考答案

第一套
一，选择题：（每题3分，共15分）
1,C； 2,A； 3，D； 4，A; 5,C。
二，填空题：（每题3分共15分）
1，
2，a = 1，b = -1; 3, 2 f ’(a) ； 4 ，6 ； 5， 2 。
三，计算题:（每题5分，共20分)
解：
解：
解:
证：
，
故结论成立。
五，讨论函数 f (x) = 的性态并作出其图形. （14分）
解：1° 定义域：R ;
2° f ’ （x) = , 令 f ’ （x） = 0 得:x = 1 ；
3° f″(x） = ,令 f″(x) = 0 得:x = 2 ；
　　4°　列表：
？？ ?
x
（—∞，1）
1
(1，2）
2
(2，+∞)
y′
＋

－

－
y″
－

－

＋
y
∩
极大
∩
拐点
∪
5°渐近线： ， y = 0 为水平渐近线；
6° 特殊点：(0,0)，(1，1）,(2, 2e -2)
7°作图：
x

y

1

1

2

0

六，有一无盖的圆柱形容器，体积为 V ,问底半径与容器高的比为多少时表面积最小?
解：设底面半径为 r ，高为 h ，则目标函数为:
S = 2πr h + πr 2
约束条件为:V = πr 2h,
代入目标函数得: ,
令 S′= 0 得：， 代入约束条件中得：
所以 当高等于半径时，窗容器表面积最小.
七，对函数 f（x)= ln (1 + x) 应用拉格朗日定理证明： (8分)
证:由拉格朗日定理得：
即
∴
八、设 f (x） 在开区间 I 上为凸函数，证明: 存在.
证：作函数
∵ f （x） 在开区间 I 上为凸函数,∴
∴ F(x） 在 x = 0 的右邻域内单调上升,而 I 是一开区间，所以 I 中能找到一点 x ' 〈 x 0 , 有
∴ F（x） 在 x > 0 上有下界，∴ 由单调有界定理知：存在,故 存在 ，同理可证 存在。
第二套
一，选择题：(每题3分，共15分）
1，C；2， A；3，C;4，A；5，C。
二，填空题:（每题3分共15分）
2，a = 4 ；b = — 12； 3,f ’ （x） ； 4,2; 5，3。
三，计算题:（每题5分，共20分）
解：设 u = xn ，v = ( 1 - x ）— 1 , 则 u(k) = n (n - 1) … (n — k + 1） xn—k = 而 v(k) = k！ （ 1 — x）— k - 1 ，
∴ 由莱布尼兹公式得:
五，讨论函数 f (x） = 的性态并作出其图形。 （14分)
解：1°,定义域:x ≠1；
3°，列表:
x
(- ∞, —1）
-1
(—1, 1）
（1， 3）
3
（3， +∞）
y’
+
0
-
-
0
+
y"
—
—
-
+
+
+
y
∩
—2
极大
∩
∪
0
极小
∪
4°，与坐标轴的交点：(3，0)、(0，- ) y

；
6°，作图：
x

0

1

六，某窗户上部为半圆，下部为矩形，周长为15 m ,要使窗户透光面积最大，问宽 x 应为多少米?（10分)
解：
七,设 f(x）、g（x)在D上有界，证明： （8分）
第三套
一、
1。c 2。a 3.a 4。d 5。a 6。d
二、1、 原式= 2、原式=
3、原式=
4、 5、,
三、 底半径为R,高为kR,则,即，表面积,令
四、
五、都有
证明：设周期为T。反证：若则令，
但矛盾．
六、时,（8分)
设
当时，
当时，综上，命题得证.
七、见书
八、略
第四套
九、 1.d 2。a 3。a 4.c 5.b 6.b
二、1、 原式=
2、原式=
3、
4、
5、，
三、
四、如图：矩形的面积为
令
O

O

五、证明: 限制即,
只需取即可
六、反证：设,若，则可由罗尔中值定理，，
然而方程在（0，1）内无实根，故原命题成立. （8分)
七、证明：
以上两式相加得：
所以
八、 略
第五套
十一、 选择题:（每题3分,共15分）
1、D:2、C;3、D；4、B；5、C.
十二、 填空题：(每题3分，共15分）
11、 ；2、1；3、;4、；5、
十三、 计算题:（每题4分，共20分)
1、计算 2、计算
解: 解:作变换得：
所以
3、求心脏线 4、已知:
的周长。 求： 。
解： 解：
所以
5、已知:, 求：。
y=f(x)

a

b

0

y

x

解:
十四、 设为上严格增的
连续函数，证明:，使得图中两
阴影的面积相等。
证:设
则
而，，所以,
即，故结论成立.
十五、 证明不等式：
证:
故结论成立。
六、证明函数列在上一致收敛。
证：因为
而 所以在上一致收敛。
七、求的麦克劳林展开式。
解：因为
而，所以 故
八、一个半径为20 米的半球形容器内盛满了水，求把水抽尽所作的功。
解：如图建立坐标系，在中取微元，则体积微元,
质量微元，微功 ,
求积分得总功为：
= 76969.02(千焦）。 此即所求。
第六套
一、选择题：（每题3分，共15分）
1、A；2、D;3、D;4、B;5、B。
二、填空题：(每题3分，共15分）
1、;2、5;3、；4、;5、
三、计算题：（每题4分，共20分）
1、计算 2、计算
解： 解:
3、求心椭圆所围的面积.解：
4、求:的收敛半径、收敛区间、收敛域。 解: ,收敛区间、收敛域为:［—2,2]
5、求函数,的傅里叶展开式.
解：
，
四、设连续可微函数，求。
解:
五、证明不等式：
证：设，则，令得：
时上升,时下降,
所以，故
六、证明:在上一致收敛。
证:因为关于单调上升，所以而收敛，
所以由优级数判别法知：
在上一致收敛。
七、求的麦克劳林展开式.
解：
八、有一等腰梯形闸门，它的上、下两条底边各长10米、6米，高为20米，计算当水面与上底边齐时闸门一侧所受的静压力.
解:腰的直线方程为：在[0，20]中取微元,
则面积微元压力微元
所以压力为:=14373。33（千牛）
第七套
九、 单项选择(每小题3分，共15分）
1、D 2、C 3、B 4、C 5、A
十、 填空：(每小题3分，共12分)
1、 2、2 3、（－1,3） 4、
十一、 计算不定积分或求定积分的值.（每小题6分，共24分)
解：
4、设,求
四、用定积分求极限 。（9分)
解：原式=
五、求幂级数的收敛域及和函数。（10分）
解： ,
,收敛域为 ［－1， 1）
六、求曲线、和所围平面区域的面积。（10分）
1

y

o

x

x
七、证明：(每小题10分，共20分）
1、设是以T为周期的连续函数，证明：
证明：,令
4、 函数列在上一致收敛。
证明：
5、 x = 0时也成立.
6、 所以函数列在上一致收敛。
第八套
一、单项选择(每小题3分，共15分）
1、C 2、 C 3、A 4、B 5、A
二、填空：(每小题3分,共12分）
1、 2、 3、 4、
三、计算不定积分或求定积分的值。(每小题8分，共24分）
解：令，
原式=
解：原式
解：令,原式
四、 用定积分求极限 。(9分）
解：原式=
五、求幂级数的收敛域及和函数.（10分）
解：， 逐项求导得:，
, 收敛域为
六、求椭圆绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积。(10分）
解：
七、证明：（每小题10分，共20分）
1、设在 [－a ， a] 上连续,证明：当为偶函数时,
当为奇函数时,
证明：，令
,当为偶函数时，
当为奇函数时，
2、函数项级数在上一致收敛。
证明:,(x=0时也成立）收敛,
在上一致收敛。
第九套
一、内点集为，
外点集为
聚点集为
边界为
二、，同理，.若，而
,
所以
三、证明：
四、
五、(1）在点的邻域内连续；
(2);
（3)在点的邻域内连续；
(4)；所以方程
六、设底面半径为x,高为y,则,表面积为
设
令
七、

八、
九、由格林公式，

十、由高斯公式,
第十套
一、内点集为，
外点集为
聚点集为
边界为
二、
三、
所以
四、令，则
五、
六、
七、设
z = 0

八、
.
。

。

九、

十、
第十一套
一，选择题：（每题3分，共15分）
1、A； 2、C； 3、A； 4、D； 5、C。
二，填空题：（每题3分共15分）
1、； 2、y sin 2 xy ； 3、
4，x = π； 5，
三，计算题：（每题5分,共计20分）
1，求 u = ln （ x2 + y ) 在 （4, 3 ) 点处的全微分。
解:∵
∴ du ｜ (4,3）= ，此即所求。
2、求曲面 9 x 2 + y 2 — z 2 = 9 在点（1，1，1)处的切平面与法线方程。
解：设 F（x，y，z）= 9 x 2 + y 2 - z 2 — 9 ,则
F x (1，1，1） = 9 ，F y （1，1，1) = 2 ，F z （3，1,1） = 2 。
∴ 切平面方程为：9 ( x — 1） + 2 ( y — 1 ） + 2 （ z — 1 ）
解：
4、计算二重积分 ，D：0 ≤ y ≤ x，0 ≤ x ≤ 1 。
解:
四、求圆 (x — 3）2 + y 2 = 1 与抛物线 y = x2 之间的最短距离。(10分）
解：目标函数:d = (x — 3)2 + y 2 约束条件： y — x2 = 0 作拉氏函数：L = （x - 3）2 + y 2 + λ（y - x2） ,
则 L x = 2x — 6 — 2λx ；L y = 2y + λ ;Lλ = y — x2 令 L x = L y = Lλ = 0 得:x = 1 ，所以 为所求。
五、设 u = f (x 2 — y 2），证明： （ 10分）
证：∵ ,
∴
（10分)
解：
于是
因为 ， 取 a = b 得：C = ln b ，故
解：设球冠面的方程为：x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ,z ≥ h ,于是
从而 所以
于是
进行极坐标变换得：此即所求.
解：
所以积分与路径无关,于是
从而
第十二套
一，选择题：（每题4分，共20分）
1、 C；2、C;3、B；4、A；5、B。
二,填空题：(每题4分共20分)
1、； 2、—1；3、；
4， ;5，。
三、计算题:（每题5分,共20分）
(1)、 设，求。
解:因为，所以，，,故为所求。
(2）、 求函数在处的泰勒展式。
解:,，,，，，而所有三阶偏导数都为零，所以为所求。
（3）、 求在条件下的极值。
解：作函数:，令得：
，设，则，,
由此得的极小值为:.
(4）、计算曲线积分，其中L是与相交的圆周。
解：圆周可表为，
所以
从而
四、证明函数在连续，但偏导数不存在.（10分）
证：令，则，所以在连续。而
不存在，不存在，
故在的偏导数不存在。
五,证明平面曲线上任一点处的切线被坐标轴所截的线段等长。
证：令，则对于曲线上的任一点处，
切线方程为:,即
切线与坐标轴的交点为:，两点的距离为：
故结论成立。
六，设,请给出二重积分在极坐标变换下的两个累次积分。 ( 10分）
解：令，则，如图：

于是
七，对于全微分式，验证原函数存在，并求原函数.( 10分)
解：设，则
于是是某一函数的全微分,故原函数存在，且
八、计算，其中S是球面的上半部分并取外侧。
解：记；,则