第9章《中心对称图形》单元测试卷(附详细解析).doc

第9章 《中心对称图形》单元测试卷
一、选择题(每题3分，共30分）
1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有(　　）
　 A．4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
2．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得,则旋转的角度为(　　）
　A．30° B．45° C．90° D．135°
3．在▱ABCD中，下列结论一定正确的是(　　）
　A．AC⊥BD B．∠A+∠B=180° C．AB=AD D．∠A≠∠C 　
4．如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是(　　）
A． S□ABCD=4S△AOB B． AC=BD
C． AC⊥BD D． ▱ABCD是轴对称图形
5．如图，点A是直线l外一点,在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心,BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是　）
　A．平行四边形 B． 矩形C．菱形D． 梯形
6．如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E,则CE的长为（　　)
A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm
7．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是(　　）
　 A．25 B．20 C．15 D．10
8．如图,为测量池塘边A、B两点的距离,小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是（　　）
　 A．18米 B．24米 C．28米 D．30米
9．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形,则四边形ABCD一定是（　　）
　 A．矩形 B． 菱形
　 C．对角线互相垂直的四边形 D． 对角线相等的四边形
10．如图，正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE=22。5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为(　　)
　 A．1 B． C．4﹣2 D．3﹣4
二、填空题(每空2分，共18分)
11．如图,在▱ABCD中，AD=6，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF=　　．
12。如图，平行四边形ABCD中,AB=5,AD=3，AE平分∠DAB交BC的延长线于F点，则CF=　　．
13．如图,在平行四边形ABCD中，对角线交于点0,点E、F在直线AC上（不同于A、C），当E、F的位置满足　 　的条件时，四边形DEBF是平行四边形．
14．如图，DE∥BC，DE=EF，AE=EC,则图中的四边形ADCF是　 　，四边形BCFD是　 　．（选填“平行四边形、矩形、菱形、正方形”）
15．如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF．当∠ACB为　 　度时，四边形ABFE为矩形．
16．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′,则∠BB′C′=　 　．
17．如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为　 　．
三、解答题（共52分）
19．如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．
求证：四边形BECF是平行四边形．
20．在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是AC、BC、BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形．求证：AD=BF．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=60°，AB=8cm，E、F分别为边AC、AB的中点．
（1）求∠A的度数；
（2）求EF的长．
23．如图，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点,且BE=CF，连接AF，DE交于点O．求证：
（1）△ABF≌△DCE；
（2）△AOD是等腰三角形．
24．如图，已知菱形ABCD,AB=AC,E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）求证:四边形AECF是矩形；
（2）若AB=6,求菱形的面积．
25．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点(E与A，D不重合），G，F，H分别是BE,BC，CE的中点．
(1)证明：四边形EGFH是平行四边形；
(2）在(1)的条件下,若EF⊥BC，且EF=BC，证明:平行四边形EGFH是正方形．
26．如图,▱ABCD中，点O是AC与BD的交点,过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．(3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）
　 A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
分析： 根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
解答： 解：第一个图形，∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形,也是轴对称图形，故此选项正确；
第二个图形，∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
第三个图形,此图形旋转180°后能与原图形重合,此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
第四个图形,∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．
故选：B．
点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
2．（3分）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上,若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为(　　）
　 A．30° B． 45° C． 90° D． 135°
考点： 旋转的性质．网
专题： 压轴题；网格型;数形结合．
分析： △COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，由图可知，∠AOC为旋转角，可利用△AOC的三边关系解答．
解答: 解：如图，设小方格的边长为1，得，
OC==,AO==，AC=4，
∵OC2+AO2=+=16，
AC2=42=16，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC=90°．
故选C．
点评： 本题考查了旋转的性质,旋转前后对应角相等，本题也可通过两角互余的性质解答．
3．（3分）在▱ABCD中，下列结论一定正确的是（　　)
　 A．AC⊥BD B． ∠A+∠B=180° C． AB=AD D． ∠A≠∠C
考点： 平行四边形的性质．网
分析： 由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC,即可证得∠A+∠B=180°．
解答： 解:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°．
故选B．
点评： 此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用．
4．(3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（　　）
　 A． S□ABCD=4S△AOB B． AC=BD
　 C． AC⊥BD D． ▱ABCD是轴对称图形
考点： 平行四边形的性质．网
分析： 由▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，根据平行四边形的性质求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
解答: 解:∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴S□ABCD=4S△AOB，AC与BD互相平分(OA=OC，OB=OD),▱ABCD是中心对称图形，不是轴对称图形．
故A正确，B，C，D错误．
故选：A．
点评: 此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大,注意熟记平行四边形的性质定理是关键．
5．（3分）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D,分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是(　　)
　 A．平行四边形 B． 矩形 C． 菱形 D． 梯形
考点： 平行四边形的判定；作图—复杂作图．
专题： 压轴题．
分析： 利用平行四边形的判定方法可以判定四边形ABCD是平行四边形．
解答： 解：∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，
∴AD=BC AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
故选A．
点评： 本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟记平行四边形的判定方法．
6．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E,则CE的长为（　　)
　 A．6cm B． 4cm C． 2cm D． 1cm
考点： 矩形的性质；翻折变换（折叠问题)．
分析: 根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°,AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形,再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC﹣BE，代入数据进行计算即可得解．
解答： 解:∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，
∴∠B=∠AB1E=90°,AB=AB1，
又∵∠BAD=90°，
∴四边形ABEB1是正方形，
∴BE=AB=6cm，
∴CE=BC﹣BE=8﹣6=2cm．
故选C．
点评： 本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质,翻折变换的性质,判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（　　）
　 A．25 B． 20 C． 15 D． 10
考点: 菱形的性质；等边三角形的判定与性质．
分析： 由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据菱形对角线性质可求∠BAC=60°，而AB=BC=AC,易证△BAC是等边三角形，结合△ABC的周长是15，从而可求AB=BC=5，那么就可求菱形的周长．
解答: 解：∵四边形ABCD是菱形,AC是对角线，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAC=∠CAD=∠BAD，
∴∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形，
∵△ABC的周长是15，
∴AB=BC=5，
∴菱形ABCD的周长是20．
故选B．
点评： 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明△ABC是等边三角形．　
8．（3分)如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E,且DE=14米，则A、B间的距离是（　　)
　 A．18米 B． 24米 C． 28米 D． 30米
考点： 三角形中位线定理．网
分析： 根据D、E是OA、OB的中点，即DE是△OAB的中位线,根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．
解答: 解：∵D、E是OA、OB的中点，即CD是△OAB的中位线,
∴DE=AB,
∴AB=2CD=2×14=28m．
故选C．
点评： 本题考查了三角形的中位线定理应用，正确理解定理是解题的关键．
9．（3分)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（　　)
　 A．矩形 B． 菱形
　 C．对角线互相垂直的四边形 D． 对角线相等的四边形
考点： 矩形的判定；三角形中位线定理．网
分析： 此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解;首先根据三角形中位线定理知:所得四边形的对边都平行且相等,那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直,由此得解．
解答： 解:已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
故选C．
点评: 本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
10．（3分)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22。5°,EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为(　　）
　 A．1 B． C． 4﹣2 D． 3﹣4
考点： 正方形的性质．网
专题： 压轴题．
分析： 根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=45°,再求出∠DAE的度数,根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE=∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD=DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE,最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解．
解答： 解：在正方形ABCD中,∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠BAE=22。5°，
∴∠DAE=90°﹣∠BAE=90°﹣22.5°=67.5°，
在△ADE中，∠AED=180°﹣45°﹣67。5°=67.5°，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE=4，
∵正方形的边长为4，
∴BD=4,
∴BE=BD﹣DE=4﹣4，
∵EF⊥AB,∠ABD=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BE=×（4﹣4）=4﹣2．
故选C．
点评： 本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质,根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题（每空2分,共18分）
11．（2分）如图，在▱ABCD中，AD=6，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF=　4　．
考点： 三角形中位线定理；平行四边形的性质．
分析： 由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等，可得BC=AD=8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
解答： 解:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，
∵点E、F分别是BD、CD的中点，
∴EF=BC=×8=4．
故答案为：4．
点评： 此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
12．（2分)如图，平行四边形ABCD中,AB=5，AD=3，AE平分∠DAB交BC的延长线于F点，则CF=　2　．
考点： 平行四边形的性质．网
分析： 根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠3，∠1=∠F,然后求出∠1=∠3，∠4=∠F，再根据等角对等边的性质可得AD=DE，CE=CF，根据平行四边形对边相等代入数据计算即可得解．
解答： 解：如图，∵AE平分∠DAB,
∴∠1=∠2，
平行四边形ABCD中,AB∥CD，AD∥BC，
∴∠2=∠3，∠1=∠F，
又∵∠3=∠4（对顶角相等），
∴∠1=∠3，∠4=∠F，
∴AD=DE，CE=CF，
∵AB=5，AD=3，
∴CE=DC﹣DE=AB﹣AD=5﹣3=2，
∴CF=2．
故答案为：2．
点评： 本题考查了平行四边形对边相等，对边平行的性质，角平分线的定义,平行线的性质，比较简单,熟记性质是解题的关键．
13．（2分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线交于点0，点E、F在直线AC上（不同于A、C），当E、F的位置满足　AE=CF　的条件时，四边形DEBF是平行四边形．
考点: 平行四边形的判定与性质．网
分析: 当AE=CF时四边形DEBF是平行四边形；根据四边形ABCD是平行四边形,可得DO=BO,AO=CO，再由条件AE=CF可得EO=FO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形DEBF是平行四边形．
解答： 解：当AE=CF时四边形DEBF是平行四边形；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO,AO=CO，
∵AE=CF,
∴EO=FO，
∴四边形DEBF是平行四边形,
故答案为：AE=CF．
点评: 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形．
14．(4分)如图，DE∥BC,DE=EF,AE=EC,则图中的四边形ADCF是　平行四边形　，四边形BCFD是　平行四边形　．(选填“平行四边形、矩形、菱形、正方形”)
考点： 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．网
分析： 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ADCF是平行四边形;
首先证明△ADE≌△CFE可得∠A=∠ECF，进而得到AB∥CF，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BCFD是平行四边形．
解答: 解:连接DC、AF,
∵DE=EF，AE=EC，
∴四边形ADCF是平行四边形；
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS),
∴∠A=∠ECF，
∴AB∥CF，
又∵DE∥BC,
∴四边形BCFD是平行四边形；
故答案为：平行四边形；平行四边形．
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形;两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
15．(2分）如图，在△ABC中,AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF．当∠ACB为　60　度时,四边形ABFE为矩形．
考点： 矩形的判定．
专题： 计算题．
分析： 根据矩形的性质和判定．
解答： 解：如果四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质,
那么AF=BE，AC=BC，
又因为AC=AB，
那么三角形ABC是等边三角形，
所以∠ACB=60°．
故答案为60．
点评： 本题主要考查了矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分．
16．(2分）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°,得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上,连接BB′，则∠BB′C′=　22°　．
考点： 旋转的性质．网
分析: 根据旋转的性质可得AB=AB′，∠BAB′=44°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ABB′，再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
解答: 解:解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′,
∴AB=AB′，∠BAB′=44°，
在△ABB′中，∠ABB′=（180°﹣∠BAB′）=（180°﹣44°）=68°，
∵∠AC′B′=∠C=90°，
∴B′C′⊥AB，
∴∠BB′C′=90°﹣∠ABB′=90°﹣68°=22°．
故答案为：22°．
点评： 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，比较简单，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小得到等腰三角形是解题的关键．
17．（2分）如图所示，菱形ABCD的边长为4,且AE⊥BC于E,AF⊥CD于F，∠B=60°,则菱形的面积为　　．
考点： 菱形的性质．
分析： 根据已知条件解直角三角形ABE可求出AE的长，再由菱形的面积等于底×高计算即可．
解答： 解:∵菱形ABCD的边长为4，
∴AB=BC=4，
∵AE⊥BC于E,∠B=60°，
∴sinB==，
∴AE=2,
∴菱形的面积=4×2=8,
故答案为8．
点评: 本题考查了菱形的性质:四边相等以及特殊角的三角函数值和菱形面积公式的运用．
18．（2分）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1,按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则an=　（)n﹣1　．
考点: 正方形的性质．
专题： 压轴题;规律型．
分析： 求a2的长即AC的长,根据直角△ABC中AB2+BC2=AC2可以计算,同理计算a3、a4．由求出的a2=a1，a3=a2…,an=an﹣1=（)n﹣1，可以找出规律，得到第n个正方形边长的表达式．
解答： 解：∵a2=AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴a2=a1=,
同理a3=a2=2，
a4=a3=2，
…
由此可知：an=（)n﹣1,
故答案为：（）n﹣1．
点评： 本题考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力,本题中找到an的规律是解题的关键．
三、解答题（共52分）
19．（6分）如图，已知:AB∥CD,BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F,并且AE=DF．
求证：四边形BECF是平行四边形．
考点： 平行四边形的判定;全等三角形的判定与性质．
专题: 证明题．
分析： 通过全等三角形（△AEB≌△DFC）的对应边相等证得BE=CF,由“在同一平面内,同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE∥CF．则四边形BECF是平行四边形．
解答： 证明：∵BE⊥AD,CF⊥AD，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，
在△AEB与△DFC中，
，
∴△AEB≌△DFC（ASA),
∴BE=CF．
∵BE⊥AD,CF⊥AD，
∴BE∥CF．
∴四边形BECF是平行四边形．
点评： 本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
20．（6分）在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是AC、BC、BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形．求证：AD=BF．
考点: 平行四边形的性质．
专题: 证明题．
分析: 根据平行四边形的对边平行且相等可得AD=EF，AD∥EF，再根据两直线平行，同位角相等可得∠ACB=∠FEB，根据等边对等角求出∠ACB=∠B,从而得到∠FEB=∠B，然后根据等角对等边证明即可．
解答: 证明:∵四边形ADEF为平行四边形，
∴AD=EF，AD∥EF，
∴∠ACB=∠FEB,
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B，
∴∠FEB=∠B，
∴EF=BF，
∴AD=BF．
点评: 本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
21．(6分)如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP,垂足分别为点E，F，已知AD=4，试说明AE2+CF2的值是一个常数．
考点: 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
分析: 由已知∠AEB=∠BFC=90°,AB=BC,结合∠ABE=∠BCF,证明△ABE≌△BCF,可得AE=BF,于是AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数．
解答: 解：∵四边形ABCD是正方形,
∴∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC,
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC,
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=AD2=16为常数．
点评： 本题主要考查正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质,以及勾股定理等知识．
22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=8cm，E、F分别为边AC、AB的中点．
(1）求∠A的度数;
（2）求EF的长．
考点: 三角形中位线定理；含30度角的直角三角形
分析： （1）由“直角三角形的两个锐角互余"的性质来求∠A的度数；
（2）由“30度角所对的直角边等于斜边的一半"求得AB=2BC，则BC=4cm．然后根据三角形中位线定理求得EF=BC．
解答: 解：（1）如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=60°，
∴∠A=90°﹣∠B=30°，即∠A的度数是30°；
（2）∵由（1）知，∠A=30°．
∴在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°，AB=8cm,
∴BC=AB=4cm．
又E、F分别为边AC、AB的中点,
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=BC=2cm．
点评： 本题考查了三角形中位线定理、含30度角的直角三角形．在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半．
23．(7分)如图，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点,且BE=CF，连接AF，DE交于点O．求证:
（1)△ABF≌△DCE；
（2）△AOD是等腰三角形．
考点: 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： （1）根据矩形的性质可得∠B=∠C=90°，AB=DC，然后求出BF=CE，再利用“边角边”证明△ABF和△DCE全等即可;
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠EDC，然后求出∠DAF=∠EDA，然后根据等腰三角形的定义证明即可．
解答: 证明：（1)在矩形ABCD中,∠B=∠C=90°，AB=DC，
∵BE=CF,BF=BC﹣FC，CE=BC﹣BE，
∴BF=CE，
在△ABF和△DCE中，，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2)∵△ABF≌△DCE，
∴∠BAF=∠EDC，
∵∠DAF=90°﹣∠BAF，∠EDA=90°﹣∠EDC，
∴∠DAF=∠EDA,
∴△AOD是等腰三角形．
点评： 本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记性质确定出三角形全等的条件是解题的关键．
24．（7分）如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点,连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2)若AB=6，求菱形的面积．
考点： 菱形的性质；矩形的判定．
分析: （1）根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后判断出△ABC是等边三角形，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，∠AEC=90°，再根据菱形的对边平行且相等以及中点的定义求出AF与EC平行且相等，从而判定出四边形AECF是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证；
（2)根据勾股定理求出AE的长度，然后利用菱形的面积等于底乘以高计算即可得解．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC,
又∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形,
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴∠AEC=90°，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴AF=AD，EC=BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD=BC，
∴AF∥EC且AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵∠1=90°，
∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形)；
(2）解:在Rt△ABE中，AE==3,
所以，S菱形ABCD=8×3=24．
点评: 本题考查了矩形的判定,菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，证明得到四边形AECF是平行四边形是解题的关键，也是突破口．
25．（7分）如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G,F,H分别是BE,BC，CE的中点．
（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；
（2）在（1)的条件下,若EF⊥BC，且EF=BC，证明：平行四边形EGFH是正方形．
考点: 正方形的判定；三角形中位线定理;平行四边形的判定．
专题： 证明题．
分析： 通过中位线定理得出GF∥EH且GF=EH，所以四边形EGFH是平行四边形；当添加了条件EF⊥BC，且EF=BC后，通过对角线相等且互相垂直平分（EF⊥GH，且EF=GH）就可证明是正方形．
解答： 证明：（1）∵G，F分别是BE,BC的中点，
∴GF∥EC且GF=EC．
又∵H是EC的中点，EH=EC,
∴GF∥EH且GF=EH．
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）连接GH，EF．
∵G,H分别是BE,EC的中点，
∴GH∥BC且GH=BC．
又∵EF⊥BC且EF=BC，
又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位线，
∴GH∥BC，
∴EF⊥GH，
又∵EF=GH．
∴平行四边形EGFH是正方形．
点评： 主要考查了平行四边形的判定和正方形的性质．正方形对角线的特点是:对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角．
26．（7分）如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证:△AOE≌△COF；
(2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．
专题: 压轴题．
分析： （1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC是，四边形AECF是矩形，首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明．
解答: （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC，AB∥CD．
∴∠E=∠F．
∵在△AOE与△COF中，,
∴△AOE≌△COF（AAS)；
（2）连接EC、AF,则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，
理由如下：
由（1)可知△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∵AO=CO,
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF=AC，
∴四边形AECF是矩形．
点评: 本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及矩形的判定,首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题