长周期超高层钢筋混凝土建筑P_效应分析与稳定设计.pdf

书书书 第 44 卷 第 2 期 2014 年 1 月下 建筑结构 Building Structure Vol． 44 No． 2 Jan． 2014 长周期超高层钢筋混凝土建筑 P-Δ效应分析与稳定设计 扶长生， 周立浪， 张小勇 ( 上海长福工程结构设计事务所，上海 200031) ［ 摘要］ 应用解析解和能量法讨论了等截面均质悬臂杆模型以及基于顶点位移等效原理的等效刚重比的理论缺 陷和不确定性， 明确指出带 P- Δ 杆或 P- Δ 柱的力学模型是对结构进行 P- Δ 效应数值分析的最理想模型。按我国规 范， 提出按小震和大震二阶段进行稳定设计的学术观点。建议在基于承载力的小震设计中， 将使用有限元法得到 的屈曲因子直接作为判别结构整体稳定性的设计指标， 使用 “直接法” 确定放大的位移和弯矩。在基于变形的大震 设计中， 同时考虑材料非线性和构件几何非线性， 计算塑性( 广义) 变形， 评估结构的抗震性能目标。 ［ 关键词］ 屈曲分析; P- Δ 效应分析;材料非线性;几何非线性 中图分类号: TU398. 2文献标识码: A 文章编号: 1002- 848X( 2014) 02- 0001- 07 P- Δ effect analysis and stability design of long- period super high- rise ＲC buildings Fu Changsheng，Zhou Lilang，Zhang Xiaoyong ( Shanghai ChinaFu Structural Design Inc．，Shanghai 200031，China) Abstract: By using the analytical solutions and energy method，the uncertainties and theoretical discrepancies were discussed of the model of homogeneous cantilever strut with uniform section and equivalent rigidity- to- gravity ratio based on vertex displacement equivalent principle． It is concluded that the model with P- Δ strut or P- Δ column is the most reasonable model to carry numerical analysis of the P- Δ effects． In accordance with the codes in China，it is proposed that the stability design could be done in two stages of frequent and rare earthquakes． The suggestions are made that in the seismic design under frequent earthquake based on bearing capacity，the buckling factor obtained by FEM could be used to judge the overall stability of the structure and the magnified lateral displacements and moments could be determined by ‘direct method’ ． In the seismic design under rare earthquake based on deformation，both of material and geometrical nonlinearity should be considered to calculate plastic deformation and estimate the performance- based seismic design objectives of the structure． Keywords: buckling analysis; P- Δ effect analysis;material nonlinearity;geometrical nonlinearity 作者简介: 扶长生， 教授级高级工程师， Email: cfstruct@ vip． sina． com。 0引言 随着高度增高、 重力荷载增加、 基本周期增长， 结构基于二阶理论的稳定设计显得越来越突出。本 文定义基本周期处于加速度反应谱位移敏感区段的 超高层建筑为长周期超高层建筑。长周期超高层建 筑的侧向刚度与重力荷载之比是稳定设计的一个重 要指标。文献［ 1］应用弹性屈曲临界荷载， 提出了 等效抗侧刚度/( 高度平方 重力荷载设计值) ， 即 将 EIeq/H2∑Gi作为弹性阶段控制高层建筑混凝土 结构重力二阶效应的设计指标， 定义为等效刚重比。 《高层建筑混凝土结构技术规程》 ( JGJ 3—2001) 纳 入了此项研究成果， 规定当 EIeq/H2∑Gi≥2． 7 时， 可 不 考 虑 重 力 二 阶 效 应 的 不 利 影 响;当 EIeq/H2∑Gi＜ 1． 4 时， 结构不满足整体稳定性; 当 1． 4 ≤EIeq/H2∑Gi＜ 2． 7 时， P- Δ 效应对结构内力 和位移的不利影响可采用有限元法进行计算， 也可 以使用放大系数法来近似考虑。这些条文思路清 晰、 形式简单、 计算工作量不大， 在分析手段尚不很 完善的年代， 对促进我国高层建筑的结构设计起到 了一定的作用 。《高层建筑混凝土结构技术规程》 ( JGJ 3—2010) ［2 ］( 简称高规 JGJ 3—2010) 保留了它 们。然而， 在实践的过程中暴露了一些问题。等效 刚重比的基本力学模型及假定为: 1) 等截面均质悬 臂杆; 2) 倒三角形分布水平荷载作用下悬臂杆与结 构顶部位移相等。在结构分析中， 基于上述假定的 屈曲分析并不能准确反映结构真实的屈曲性能。文 献［ 3］ 以上海中心大厦为工程背景， 讨论了等效刚 重比规范公式的适用性， 并在施工图设计中对此做 了修正。 本文应用屈曲分析微分方程的解析解讨论了等 建筑结构2014 年 截面均质悬臂杆模型和基于顶部位移等效原理的等 效刚重比的理论缺陷以及不确定性， 指出使用计入 几何刚度的有限单元法是对结构进行 P- Δ 分析的最 佳数值方法， 提出按小震和大震二阶段进行高层建 筑结构稳定性设计的学术观点。最后， 给出工程范 例和几点建议。 1等截面均质悬臂杆模型的评估 1. 1 微分方程解析解 图 1 给出了理论研究杆件屈曲的通用力学模 型。图中， 一根无初始缺陷的变截面弹性杆， 顶部集 中竖向荷载 P 以及重力分布荷载 q( z) 作用在对称 轴上。模型计入了刚度和质量不均匀分布的特征。 图中: L 为杆件长度; a 为杆顶至锥体延长线交点的 距离; I1， I2分别为杆顶和杆底的截面惯性矩;q 2为 作用在杆底部的分布荷载;p 为分布荷载沿杆长的 分布规律; Δ 为杆顶的水平位移。 图 1单根悬臂杆屈曲分析通用模型 对于图 1( a) 所示坐标系统， 研究弹性屈曲问题 的微分方程为: EI( z)d 2u dz2 = P( Δ － u)+∫ L z q( z) ( η － u) dξ ( 1) 式中 u 为沿高度的侧向挠度曲线， u = u( z)。 对于等截面悬臂杆， 若略去重力分布荷载， 式 ( 1) 退化为二阶常系数微分方程。解微分方程及相 应的特征方程得特征值， 即临界荷载 Pcr: Pcr= mEI L2 ( 2) 式中 m 为考虑不同支座、 不同截面形状、 不同重力 荷载分布的临界系数， 对于等截面均质悬臂杆，m = π2/4 = 2． 467， 对应于一阶屈曲模态。 对于等截面均质悬臂杆， q( z)= q 。若略去顶 部集中荷载 P， 通过变量代换， 式( 1) 可表示为 Bessel 微分方程。应用 Bessel 函数， 一阶等效临界荷载可表 达为式( 2) 的形式， 其中 m = 7．837， 则有: Pcr= 7． 837EI L2 ( 3) 对于锥形截面均质杆， 惯性矩沿高度呈 4 次方 变化。若略去重力分布荷载， 图 1( b) 左侧坐标系移 动坐标原点， 且 z 轴向下， 式( 1) 可以改写为: z4 d2u dz2 + α 2u = 0 ( 4) 而: α2= Pa4 EI1 ( 5) 通过变量代换， 式( 4) 仍可以表示为 Bessel 微 分方程， 其通解具有 －1/2 阶第一类和第二类 Bessel 函数的形式: u = z［ Acos( α/z)+ Bsin( α/z) ］( 6) 式中 A， B 为积分常数。 利用悬臂杆两端的边界条件， 由特征方程解得 临界荷载 Pcr。把 Pcr写为式( 2) 的形式， 表 1 列出 不同锥度对应于一阶临界荷载的 m 值。 锥形截面均质悬臂杆的临界系数 m表 1 I1/I20. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 91. 0 m1. 202 1. 505 1. 710 1. 870 2. 002 2. 116 2. 217 2. 308 2. 391 2. 467 数学上已经证明， 对于变截面非均质杆， 只要截 面惯性矩和重力分布荷载沿高度呈幂函数分布， 则 可表示为: EI( z)= EI2() z/L n， q( z)= q 2 () z/L p ( 7) 取图 1( b) 右侧坐标系， 通过变量代换， 屈曲微 分方程总可以借助于 Bessel 函数积分求解。等效顶 部临界荷载总可以表达为式( 2) 的形式: Pcr=∫ L 0 q2( z/L) pdz = mEI2 L2 ( 8) 对于锥形截面， n = 4 。对于均匀分布、 线性分 布、 二次分布重力荷载和三次分布重力荷载， p 分别 为 0， 1， 2， 3。 表 2 给出了对于等截面， 即 n = 0， p = 0， 1， 2， 3 时的一阶临界荷载的 m 值。 等截面非均质悬臂杆的临界系数 m( n =0)表 2 p0123 m7. 8416. 127. 341. 3 为了简洁， 本小节仅列出屈曲分析的微分方程 2 第 44 卷 第 2 期扶长生， 等． 长周期超高层钢筋混凝土建筑 P- Δ 效应分析与稳定设计 以及相应的一阶临界荷载， 详细推导参见文献［ 4］ 。 1. 2 能量法和应变能等效 能量法是求解一阶弹性临界荷载最有效的近似 方法， 其基本原理是能量平衡， 即随着顶部发生侧向 位移 Δ， 杆的应变能 Us等于作用于顶部集中竖向荷 载 P 做的功 Vp。悬臂杆应变能: Us= 1 2∫ L 0 EI( z)( u″) 2dz ( 9) 竖向荷载做的功: Vp= 1 2 P∫ L 0 ( u) 2dz ( 10) 令 Us= Vp，在已知截面尺寸以及侧向挠度曲 线方程的前提下， 解得临界荷载 Pcr。若假定的侧 向挠度曲线等于一阶屈曲模态曲线， 由能量法解得 的临界荷载为精确解。对于等截面均质杆， 若取一 阶模态曲线方程为: u = Δ［ 1 － cos( πz/2L) ］( 11) 把式 ( 11) 代入式 ( 9) 和式 ( 10) ， 得 Pcr= 7. 837EI/L2， 与解析解相等。 显然， 按能量原理， 等效系统与被等效系统之间 应变能的等效， 即: 1 2∫ L 0 EI( z)( u″) 2dz =1 2 EIeq∫ L 0 ( u″eq) 2dz ( 12) 这是最合理的等效方法。由式( 12) 得: Ieq= ∫ L 0 I( z)( u″) 2dz ∫ L 0 ( u″eq) 2dz ( 13) 1. 3 综合评估 1. 3. 1 等截面均质杆 按表 2 列出的数据， 若重力总荷载相等， 按均匀 分布、 线性分布、 二次分布， 三者的临界荷载之比为 PU cr∶ P L cr∶ P Q cr = 1 ∶ 1． 02 ∶ 1． 16， 表明重力荷载沿高 度的分布模态对临界荷载有相当的影响。每一栋建 筑的重力荷载的确切分布模态是不相同的， 有时会 相差很多。因此， 应用等截面均质杆模型估计临界 荷载的精度并不一定能满足设计要求。 1. 3. 2 顶部位移等效 顶部位移相等并不能保证等效系统和被等效系 统的侧向挠度曲线相等。也就是说， 两者的应变能 并不相等， 暗示了临界荷载也是不相等的。以等截 面均质杆、 等效锥形截面均质杆作为例子， 图 2 给出 了解析解、 应变能等效法及顶部位移等效法( 倒三 角形荷载作用下) 的 m- I1/I2曲线。其中应变能等效 时， 采用式( 11) 作为等截面均质杆的挠度曲线方 程， 采用式( 6) 作为锥形截面均质杆的挠度曲线方 图 2m- I1/I2曲线的比较 程。当 I1/I2= 0． 1，顶部位移等效的 m 值误差达 20%以上。与预期相同， 由于使用了一阶屈曲模态 作为侧向挠度曲线， 应变能等效的 m 曲线几乎与解 析解重合。以上仅仅是锥形截面和等截面之间的简 单等效。事实上， 无法估计等效均质悬臂杆与实际 结构之间应变能差别引起的误差范围。 1. 3. 3 侧向荷载分布 高规 JGJ 3—2010 规定使用倒三角形荷载分布 求取顶部位移， 意图是使侧向荷载分布尽量与规范 规定的水平地震作用分布一致。然而， 正如前述， 仅 仅是那些接近于一阶屈曲模态的侧向挠度曲线才可 能得到满意的近似解。事实上， 无法估计哪一种荷 载分布作用下的侧向挠度曲线与结构实际屈曲模态 曲线之间的接近程度更好。 1. 3. 4 小结 为了减小风和地震作用效应， 满足垂直交通的 要求， 长周期超高层建筑的体形特征和竖向构件的 截面尺寸一般是底部大、 顶部小， 质量和刚度沿高度 的分布也是底部大、 顶部小。锥形截面非均质竖向 悬臂杆力学模型保留了结构最基本的刚度和质量分 布特征， 可以作为基本模型， 对高层建筑的弹性屈曲 和非线性屈曲进行基础理论研究。然而， 模型过于 简单， 略去了许多真实的因素。例如， 结构平面布 置， 偏心率， 核心筒与框架之间侧向刚度的比例， 开 口薄壁杆件和闭口薄壁杆件之间的差别， 连梁和框 架梁的影响， 加强层质量、 刚度以及裙房质量、 刚度 的影响等， 在模型中都未得到应有的反映。它们对 计算结果的精度是有相当影响的。因此， 分析结果 不能直接作为设计依据。而等截面均质杆、 倒三角 形荷载分布下顶部位移相等的分析模型在理论体系 上存在缺陷， 在近似程度上存在无法估计的不确定 性， 似乎更无法满足工程设计要求。 2屈曲的有限元分析方法 有限单元法的数学背景是求解泛函变分的极值 问题。数学中的泛函可以是弹性理论的势能。能量 平衡原理揭示了结构屈曲的最佳近似分析方法是有 3 建筑结构2014 年 图 3屈曲分析和 P- Δ 分析的有限元模型 图 4 F- D 关系曲线 限单元法。与屈曲分析密切相关的是 P- Δ 分析。屈 曲分析中， 杆件仅承受竖向荷载( 包括竖向集中荷 载和重力分布荷载) ， 主要目的是确定临界屈曲荷 载。 P- Δ 分析中， 杆件同时承受竖向荷载和水平荷 载， 主要目的是分析 P- Δ 效应给设计造成的影响。 在有限元编程中， 屈曲分析和 P- Δ 分析使用相同的 分析模型。以下说明， 应用有限元法， 临界荷载的确 定将演变为一个标准的特征值求解。 2. 1 基本模型 P- Δ 效应包括侧向位移引起的 P- Δ 贡献和杆件 弯曲引起的 P- δ 贡献。 P- Δ 杆为一根刚性杆， 无弹性 刚度， 顶部与弹性杆之间用刚性连杆铰接连接， 底部 固定于嵌固端， 模拟 P- Δ 贡献。P- δ 索为一根柔性 索， 发生与弹性杆相同的挠度曲线， 模拟 P- δ 贡献。 高规 JGJ 3—2010 制订了墙体弯曲稳定验算的条文 和公式， 计入了 P- δ 贡献。本文主要讨论地震作用 下的 P- Δ 效应。竖向杆件承受的端部弯矩在杆长范 围内呈线性变化， P- δ 贡献较小， 为了简单且清楚地 说明基本概念， 在以下的讨论中略去 P- δ 贡献， P- Δ 贡献等价于 P- Δ 效应， 而且不区分 P- Δ 杆与 P- Δ 柱 之间的差别［5 ］。 作为一个例子， 图 3 给出了单根悬臂杆分析模 型， 由弹性杆、 P- Δ 杆组成。弹性杆为主结构， 模拟 一阶线弹性效应; P- Δ 杆是按受力特征建立的虚拟 杆， 模拟 P- Δ 效应。在顶部竖向集中荷载 P 和水平 荷载 HMS的共同作用下， 顶部产生侧向位移 Δ 。顶 部集中荷载的偏离引起 P- Δ 杆底部产生剪力 H PΔ = PΔ/L 。刚性连杆产生轴力 HMS+ H PΔ ，作用于弹性 杆顶部。弹性杆承受弯矩 HMSL + PΔ，剪力 HMS+ PΔ/L， 如图 3( b) 和图 3( c) 所示。 2. 2 几何刚度概念 设竖向集中荷载 P 保持不变， 单调、 逐级地增 加水平荷载 HMS作推覆分析， 图 4 给出典型力- 位移 ( F- D)关系曲线。随着 HMS的增大， 梁- 柱端连续屈 服。不计 P- Δ 效应的 F- D 曲线如图4 中 HMS实线所 示。推覆过程中，P- Δ 杆的底部剪力 PΔ/L 随着 Δ 的增大而线性增大， 方向与弹性杆的底部剪力方向 相反，F- D 曲线如图 4 中的 H PΔ 实线所示。计入 P- Δ 效应的 F- D 曲线如图 4 中虚线所示， 产生了负 刚度效应。 按图4 所示， 由于 P- Δ 杆的负刚度效应， 降低了 弹性杆的承载能力和抗侧刚度。随着连续屈服， 负 刚度效应越来越大。若虚线所示的 F- D 曲线从某 一点开始向下， 杆件失稳倒塌。理论上， 另外一种工 况是逐级增加竖向集中荷载 P，加大斜直线的斜 率。同上， 当虚线所示的 F- D 曲线开始向下， 杆件 失稳倒塌。 仿照弹性刚度矩阵，P- Δ 杆的负刚度写成矩阵 的形式: H = kGΔ( 14) 式中: H = ( H PΔ 1 H PΔ 2 ) T， Δ = ( Δ 1 Δ2) T 分别为荷 载矢量和位移矢量， 下标 1， 2 分别表示 P- Δ 杆的上 下两个端部。而: kG= P L － 11 1－ [] 1 ( 15) 式( 15) 为 P- Δ 杆的刚度矩阵。它与 P- Δ 杆承受的 竖向荷载 P 成正比例线性关系， 反映了结构的几何 非线性， 称为几何刚度。几何刚度矩阵与弹性杆的 弹性刚度矩阵组合， 形成了计入 P- Δ 效应的有效刚 度矩阵 keff。几何刚度矩阵具有负刚度的特征， P- Δ 效应降低了结构的抗侧刚度。 2. 3 弹性屈曲临界荷载 设结构仅承受竖向荷载， 用 P- Δ 杆模拟 P- Δ 效 应。对每一根竖向杆件建立有效刚度矩阵及装配成 总有效刚度矩阵后， 应用屈曲模态的平衡分岔理论 可以方便地编程计算弹性屈曲荷载。具体步骤 如下: ( 1) 记结构装配后的弹性刚度矩阵为 K0， 几何 刚度为 KG。 ( 2) 令结构仅承受重力荷载， 荷载因子 λ = 1. 0， 计算构件承受的轴力及 P- Δ 杆几何刚度 kG。 ( 3) 单调、 逐级加荷。按线性叠加原理， 装配后 4 第 44 卷 第 2 期扶长生， 等． 长周期超高层钢筋混凝土建筑 P- Δ 效应分析与稳定设计 的总几何刚度矩阵为 λKG，结构的总刚度矩阵为 ( K0+ λKG) 。 ( 4) 按平衡分岔理论， 加载至屈曲时， 结构侧向 刚度消失， 处于随偶平衡状态。数学上， 刚度矩阵的 行列式为零， 即: Det( K0+ λ KG)= 0( 16) ( 5) 式( 16) 是一个标准的特征值问题。求解式 ( 16) 得特征值 λcr和相应的屈曲模态。称特征值 λcr为屈曲因子， 临界荷载为 Pcr = λ cr∑Gi。 设计关 注的是一阶临界荷载和屈曲模态。 3基于强度设计的 P- Δ 分析 按我国抗震设计理论， 第一阶段设计是线弹性 小震分析的基于强度设计。分析的一个重要目的是 为设计提供具有足够精度的强度安全系数。对于长 周期超高层建筑， 应该充分考虑 P- Δ 效应引起顶部 位移及构件内力的放大( 当前的程序已有选项可以 加以考虑) ， 使构件的承载能力不小于放大了的需 求强度。 计入 P- Δ 效应的分析方法有间接法和直接法两 种。间接法是在线弹性及屈曲分析的基础上， 应用 放大系数的理论公式对位移和内力进行放大: μ = 1 1 － ∑Gi/P () cr ( 17) 式中 μ 为放大系数。 高规 JGJ 3—2010 应用式( 17) 的原理， 用等效 刚重比作为物理量计算放大系数。放大位移时， 不 考虑抗弯刚度的折减; 放大弯矩时， 不区分有侧移弯 矩和无侧移弯矩， 且考虑抗弯刚度折减 50%。 直接法应用几何刚度概念， 编程直接计算竖向 荷载和侧向荷载共同作用下位移和内力的放大。二 阶理论认为， 发生侧向位移 Δ 时， 变形协调仍服从 线性关系， 力的平衡应考虑变形后的形状。当使用 反应谱法进行抗震分析时， 地震作用静力地、 一次性 地作用于结构。若以竖向荷载和地震作用的组合轴 力建立几何刚度矩阵， 装配后的结构总有效刚度矩 阵 Keff将保持常数。整个计算中， 只需要一次性地 调用建立几何刚度矩阵的标准子程序。用有效刚度 矩阵替换弹性刚度矩阵， 振型分解反应谱分析的理 论和公式将全部适用。 直接法可以自动区分有侧移弯矩和无侧移弯矩， 程序对每一根构件计算各自放大了的弯矩和剪力。 按混凝土规范 GB 50010—2010［6 ］规定， 取加载 至 0． 5fc反复 5 ～10 次的应力- 应变曲线割线的斜率 作为混凝土受压弹性模量。也就是说， 对小位移情 况下的混凝土材料非线性已经做了线性等效的处 理。我国抗震设计方法规定， 在小震线弹性分析中， 直接采用混凝土弹性模量计算构件的抗弯刚度( 连 梁除外) ， 不直接考虑混凝土徐变、 裂缝、 收缩等因 素对抗弯刚度的影响。因此， 为了与抗震设计理论 框架保持一致， 在基于强度设计的小震分析阶段， 笔 者认为， 不考虑刚度折减来计算 P- Δ 效应放大的弯 矩和剪力作为构件设计的需求强度， 似乎更符合逻 辑一些。 4基于变形设计的 P- Δ 分析 第二阶段的抗震设计是非线性大震分析的基于 变形设计。在非线性分析中， 若使用 FEMA 铰模拟 梁- 柱端的塑性铰， 程序自动把 F- D 非线性关系曲线 简化为双折线 ［7 ］。对于每一根由变形控制的构件， 取 0. 6fy割线的斜率作为等效刚度 Ke， 合并计入混 凝土徐变、 裂缝、 收缩等影响。取屈服位移 Δy至最 大位移 Δd的连线作为应变硬化段。FEMA 认为塑 性铰是结构的弹塑性侧向位移的主要贡献， 把所有 的非线性因素全部集中在塑性铰中［7 ］。 在竖向荷载单独作用下， 高层建筑几乎没有可能 出现屈曲破坏。然而， 大震时， 屈曲前的连续屈服也 许已经大幅度地降低了结构的侧向刚度。刚度的折 减降低屈曲荷载， 增大 P- Δ 效应， 又导致进一步放大 弯矩， 增大塑性变形， 如此循环。若降低的屈曲荷载 小于结构的竖向荷载， 结构失稳倒塌; 若降低的屈曲 荷载仍大于结构的竖向荷载， 结构处于稳定状态， 循 环收敛。然而， 即使结构整体稳定， 仍有可能降低构 件的性能目标， 或使得柱铰的出现早于梁铰， 发生不 合理的变形机构。因此， 对于长周期超高层建筑的大 震非线性分析应该同时考虑材料和几何非线性性能。 图 5Vb - Δ roof能力曲线及等效双折线 ［7 ］ 笔者推荐使用推覆分析作为计入材料和几何非 线性性能、 评估性能目标的设计工具。图 5 给出推 覆分析的典型能力曲线与等效双折线。图中， Vd为 最大基底剪力， Vby为等效线性化屈服剪力，α1为应 变硬化系数， α2为总的负刚度系数，α P- Δ 为 P- Δ 效 应负刚度系数， αe为有效负刚度系数。在推覆过程 5 建筑结构2014 年 中， 程序将逐级建立几何刚度矩阵， 经几次迭代后装 配总有效刚度矩阵， 考虑逐级增大的侧向荷载对杆 件几何刚度的影响 ［8 ］。用有效刚度矩阵替换弹性 刚度矩阵， 推覆分析的理论和公式将全部适用。 推覆分析与 P- Δ 效应都使用顶部位移 Δroof作为 目标函数。尽管没有严格的数学背景， 逻辑上推覆 得到的地震反应是具有统计平均意义的， 这一点得 到了学术界和工程界的公认。分析结果表明， 在众 多表示结构非线性行为的物理量中， Δroof受高振型、 推覆力分布模态等因素的影响最小， 最接近动力非 线性分析结果统计意义上的平均值［9 ］。推覆分析 的侧向推覆力是逐级、 静力、 单方向持续地加载的。 因此， 比时程分析法更能突出地反映 P- Δ 效应以及 材料与几何非线性之间的正反馈作用。推覆分析可 以清楚地揭示塑性铰的发展过程， 判别变形机构的 合理性。从能力设计角度， 推覆分析可以近似地用 于结构抗失稳倒塌的能力测试。对于长周期高层建 筑， 由于高振型等影响， 也许推覆得到的变形机构不 同于地震作用下真实的变形机构， 然而， 它仍可以提 供各种有价值的信息， 有助于结构工程师判断。 图 6南通熔盛大厦效果图 对于屈曲因子 λcr接近于 10( 放大系数 μ 接近 于1. 1) ， 且刚度折减达40%以上的长周期超高层建 筑， 笔者建议应用基于推覆分析原理核定合适的输 入地震动记录后 ［9 ］， 进行动力双非线性分析， 计入 P- Δ 效应， 与推覆得到的性能目标进行比较、 分析， 结合工程经验， 作为最终的设计依据。 P- Δ 效应成因明确， 已经建立了一套严密的数 学理论， 基于有限单元理论的间接法、 直接法和材 料、 几何双非线性的分析都已经编程实施。当前的 通用有限元程序大都具有直接提供临界荷载 Pcr、 屈曲模态和计入 P- Δ 效应的侧向位移和构件内力的 技术支持。 5工程实例 图 6 为南通熔盛大厦效果图， 其中， 右侧 A 塔 建筑高度 239m， 地上 49 层， 最大高宽比 7( Y 向) ， 最大筒体高宽比 20( Y 向) 。采用钢管混凝土柱、 钢 梁框架- 钢筋混凝土核心筒结构体系， 在第12， 26， 40 层布置伸臂桁架和周边桁架 ［10 ］。按抗震专项审查 报告， 本工程抗震设防烈度 6 度， 最大地震影响系数 αmax= 0． 04( 0． 42) ， 特征周期 Tg= 0. 45s( 0． 55s)， 其中， 括号中的数字适用于大震。结构振型清晰， 自 振特性良好， 自振周期和主要设计指标见表 3。 自振周期与主要控制指标表 3 自振周期/s最大层间位移角 底部剪重比 T1 ( Y 向) T2 ( X 向) T3 ( 扭转) X 向 Y 向 X 向 Y 向 5. 364. 193. 041/1 1601/ 6150. 68%0. 67% 图 7 ETABS 屈曲分析界面视图 使用 ETABS( 2013 版) 对 A 塔进行屈曲分析， 图 7 为程序的界面视图。其中， X 向和 Y 向屈曲因 子 λcr分别为19. 7 和17. 1， 放大系数 μ 分别为1. 05 和 1. 06。表 4 给出按高规 JGJ 3—2010 推荐方法确 定的等效刚重比和有限元法计算结果的比较。由表 4 可见， 基于高规 JGJ 3—2010 的等效刚重比， X 向 高估了 28%， Y 向低估了 34%。高估的原因也许是 规范公式未考虑弯曲型和弯剪型结构的区别， 未计 入剪切变形的影响， 倒三角形荷载分布作用下等截 面均质悬臂杆的侧向挠度曲线与一阶屈曲模态相差 甚远。图 7( d) 的屈曲模态明显具有弯剪型的特征。 等效刚重比的比较( 高规方法和有限元方法)表 4 等效刚重比X 向Y 向 高规方法( SATWE)3. 401. 51 有限元方法( ETABS) 2. 65(λcr= 19．7 ) 2. 29(λcr= 17． 1 ) 6 第 44 卷 第 2 期扶长生， 等． 长周期超高层钢筋混凝土建筑 P- Δ 效应分析与稳定设计 使用 PEＲFOＲM- 3D 沿 Y 向分别进行了计入 P- Δ 效应和未计 P- Δ 效应的推覆分析。考虑到本文 仅仅是评估大震设计中的 P- Δ 效应， 取第 1 振型作 为推覆力分布模态。小震性能点的顶部侧向位移 Δroof和底部剪力 Vb分别与弹性分析仅差2%和4%。 图 8 给出了推覆分析的能力曲线， 图中的性能点分 别对应于 6 度大震、 7 度大震、 8 度大震、 9 度大震。 图 8 说明了结构具有良好的抗失稳倒塌能力; 计入 P- Δ 效应后， 性能会相对差一些， 但仍具有抵御 8 度 大震的能力。6 度大震作用下， 性能目标的具体对 比数据见表 5。P- Δ 效应使结构刚度进一步减小了 8%， 塑性变形进一步加大。基于强度的小震设计阶 段和基于变形的大震设计阶段的 P- Δ 效应所占贡献 的比较见表 6， 表 6 反映了塑性铰出现后， 材料非线 性与几何非线性之间的正反馈作用。 图 8能力曲线的比较 P- Δ 效应性能目标的比较( 6 度大震)表 5 性能目标 顶部位 移/m 性能点 周期/s 墙体应变 柱端转动 /rad 连梁转动 /rad 未计 P-Δ 效应0. 536. 000. 000 60( OP)0. 018%( IO)0. 60%( LS) 计入 P-Δ 效应0. 586. 250. 000 68( OP)0. 020%( IO)0. 68%( LS) P- Δ 效应在不同设计阶段的贡献( Y 向)表 6 设计阶段顶部位移墙体应变柱端转动连梁转动 强度设计阶段7. 2% 变形设计阶段9. 4%13. 3%11. 1%13. 3% 6几点建议 综述了屈曲分析微分方程的解析解、 屈曲分析 的能量法以及基于强度设计的 P- Δ 分析和基于变形 设计的 P- Δ 分析， 给出建议如下: ( 1) 侧向屈曲荷载仅与结构的侧向抗弯刚度和 重力荷载的大小与分布有关， 因此， 屈曲因子 λcr反 映了结构真实的刚重比。由于等截面均质悬臂杆模 型以及基于顶点位移等效原理的等效刚重比理论上 的缺陷以及不确定性， 建议直接使用屈曲因子 λcr 判别结构的稳定性。若按高规 JGJ 3—2010 的规 定， 可以暂且规定当屈曲因子 λcr≥20 ( 相当于等效 刚重比 ≥ 2． 7 ) 时， 可不考虑重力二阶效应的不利 影响; 当 λcr＜ 10 ( 相当于等效刚重比 ＜ 1． 4 ) 时， 结构不满足整体稳定性; 当 10 ≤ λcr＜ 20 时，P- Δ 效应对结构内力和位移的不利影响应采用有限元法 进行计算。 ( 2) 整体稳定设计应与三水准设防、 二阶段设 计的抗震理论保持一致。在基于强度的小震设计阶 段， 取消刚度折减， 直接使用有限元分析结果确定计 入 P- Δ 效应对结构侧向位移、 构件的弯矩和剪力的 放大， 为设计提供具有足够精度的强度安全系数。 在基于变形的大震设计阶段， 同时考虑材料非线性 和几何非线性， 以塑性变形作为指标进行抗震性能 评估。 ( 3) 推荐使用推覆分析进行材料和几何双非线 性分析， 使用能力曲线对结构整体抗稳定倒塌进行 能力测试。对于屈曲因子 λcr≈ 10， 且刚度折减达 40%以上的长周期超高层建筑， 建议应用基于推覆 分析原理核定合适的输入地震动记录后， 进行动力 双非线性分析， 评估抗稳定倒塌性能。 致谢: 在本文定稿过程中， 得到学术界朋友们中 肯、 宝贵的建议， 在此表示感谢。 参考文献 ［1］ 徐培福， 肖从真． 高层建筑混凝土结构的稳定设计 ［ J］ ． 建筑结构， 2001， 31( 8) : 69- 72． ［2］ JGJ 3—2010 高层建筑混凝土结构技术规程［S］ ． 北 京: 中国建筑工业出版社， 2011． ［3］ 陆天天， 赵昕， 丁洁民， 等． 上海中心大厦结构整体稳 定性分析及巨型柱计算长度研究［ J］ ． 建筑结构学报， 2011， 32( 7) : 8- 14． ［4］ TEMOSHENKO S P， GEＲE J G． Theory of stability［ M］ ． 2nd ed． New York: McGraw- Hill， 1961． ［5］ POWELL G H． Modeling for structural analysis:behavior and basics［M］ ．Berkeley:Computers and Structures Inc．， 2010． ［6］ GB 50010—2010 混凝土结构设计规范［S］ ． 北京: 中 国建筑工业出版社， 2011． ［7］ FEMA 440Improvementofnonlinearstaticseismic analysis procedures［ S］ ． Federal Emergency Management Agency， 2005． ［8］ Computer＆Structures， Inc．Perform- 3Dmanual- components and elements［M］ ． Version 4． Berkeley: Computer ＆ Structures，Inc． ， 2006． ［9］ 扶长生． 抗震工程学— — —理论与实践［M］ ． 北京: 中 国建筑工业出版社， 2013． ［ 10］ 何诚， 张晓光． 南通熔盛大厦办公楼弹塑性时程分析 ［ J］ ． 建筑结构， 2013， 43( 8) : 1- 5． 7