空间向量与立体几何知识点归纳总结-学生版.doc

空间向量与立体几何知识点归纳总结
一．知识要点。
1。 空间向量的概念：在空间，_______________________________。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性.
2. 空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）.
；;
运算律：⑴加法交换律：__________________
⑵加法结合律：_____________________
⑶数乘分配律:_____________________
运算法则:三角形法则、平行四边形法则、________________.
3。 共线向量.
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线___________，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作.
(2）共线向量定理：____________________________________________________。
（3)三点共线：A、B、C三点共线<=>
〈=>
（4)与共线的单位向量为__________。
4。 共面向量 。
（1）定义：______________________________________________.
说明:空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理:_________________________________________________________。
（3）四点共面：若A、B、C、P四点共面<=〉
<=〉
5。 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，________________________________________________________。
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个_______，叫做_______，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
推论：设是不共面的四点，则对空间任一点,都存在唯一的三个有序实数，使
6。 空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫_______，叫________，叫________。
注:①点A(x，y,z）关于x轴的的对称点为_________，关于xoy平面的对称点为________。即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在___轴上的点设为(0，y，0），在平面_____中的点设为(0，y,z）。
(2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为，这个基底叫____________，用表示.空间中任一向量=__________。
（3）空间向量的直角坐标运算律：
①若，，
则，
，
，
，
,
.
②若，，则.
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
③，三角形重心P坐标为
④ΔABC的五心：
内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点.(单位向量）
外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。
垂心P：高的交点：(移项，内积为0，则垂直）
重心P:中线的交点，三等分点（中位线比）
中心：正三角形的所有心的合一。
（4）模长公式:若,，
则，
（5）夹角公式：.
ΔABC中①〈=〉A为锐角②〈=>A为钝角，钝角Δ
（6）两点间的距离公式:若，，
则,
或
7. 空间向量的数量积
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点,作,则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直,记作:。
(2）向量的模:设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：.
（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即.
（4）空间向量数量积的性质：
①。
②.
③.
（5）空间向量数量积运算律：
①。
②（______律）.
③（_____律)。
④不满足乘法结合率：
二．空间向量与立体几何
1．线线平行两线的方向向量________
1—1线面平行线的方向向量与面的法向量________
1—2面面平行两面的法向量____________
2线线垂直（共面与异面）两线的方向向量________
2—1线面垂直线与面的法向量_________
2-2面面垂直两面的法向量__________
3线线夹角（共面与异面)两线的方向向量的夹角或夹角的补角,
3-1线面夹角：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可,若为钝角，则取其补角；再求其余角,即是线面的夹角。
3—2面面夹角（二面角)：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角;法向量同进同出,则二面角等于法向量的夹角的补角.
4．点面距离 :求点到平面的距离： 在平面上去一点，得向量；; 计算平面的法向量;。
4—1线面距离（线面平行）：转化为点面距离
4-2面面距离(面面平行):转化为点面距离
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