空间向量与立体几何知识点归纳总结.pdf

1空间向量与立体几何知识点归纳总结一知识要点。1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示奎屯王新敞新疆同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2.空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。;OBOAABab BAOAOBab ()OPaR 运算律：加法交换律：abba加法结合律：)()(cbacba数乘分配律：baba)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3.共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。abba/（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（），/存在实数，使 abb0aba。b（3）三点共线：A、B、C 三点共线ACAB )1(yxOByOAxOC其中（4）与共线的单位向量为aaa4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实,a bp,a b数使。,x ypxayb（3）四点共面：若 A、B、C、P 四点共面ACyABxAP )1(zyxOCzOByOAxOP其中5.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在,a b cp一个唯一的有序实数组，使。,x y zpxaybzc2若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，,a b c,a b c,a b c空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数,O A B CP，使。,x y zOPxOAyOBzOC 6.空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，OxyzA(,)x y z使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，zkyixiOA(,)x y zAOxyz记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。(,)A x y zxyz 注：点 A（x,y,z）关于 x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在 y 轴上的点设为(0,y,0),在平面 yOz 中的点设为(0,y,z)（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，1用表示。空间中任一向量=（x,y,z）,i j k kzjyi xa（3）空间向量的直角坐标运算律：若，则，123(,)aa a a123(,)bb b b112233(,)abab ab ab，112233(,)abab ab ab123(,)()aaaaR，1 1223 3a baba ba b，112233/,()abab ab abR。1 1223 30ababa ba b若，则。111(,)A x y z222(,)B xyz212121(,)ABxx yy zz 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定比分点公式：若，则点 P 坐标为111(,)A x y z222(,)B xyzPBAP。推导：设 P（x,y,z）则)1,1,1(212121zzyyxx,显然，当 P 为 AB 中点时，),(),(22211,1zzyyxxzzyyxx)2,2,2(212121zzyyxxP3，三角形重心 P 坐标为),(),(,333222111zyxCzyxB（zy（A（xABC中)2,2,3(321321321zzzyyyxxxPABC 的五心：内心 P：内切圆的圆心，角平分线的交点。（单位向量）)(ACACABABAP外心 P：外接圆的圆心，中垂线的交点。PCPBPA垂心 P：高的交点：（移项，内积为 0，则垂直）PCPBPCPAPBPA重心 P：中线的交点，三等分点（中位线比）)(31ACABAP中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式：若，123(,)aa a a123(,)bb b b则，222123|aa aaaa 222123|bb bbbb（5）夹角公式：。1 1223 3222222123123cos|aba ba ba ba babaaabbb ABC 中A 为锐角A 为钝角，钝角 0 ACAB0 ACAB（6）两点间的距离公式：若，111(,)A x y z222(,)B xyz则，2222212121|()()()ABABxxyyzz 或 222,212121()()()A Bdxxyyzz7.空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作,a bO，则叫做向量 与 的夹角，记作；且规定,OAa OBb AOBab,a b，显然有；若，则称 与 互相垂直，记作：0,a b,a bb a,2a bab。ab（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量 的长度或模，记作：OAa OA a。|a（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，,a b|cos,aba b,a b记作，即。a ba b|cos,aba b（4）空间向量数量积的性质：。|cos,a eaa e 0aba b2|aa a（5）空间向量数量积运算律：。（交换律）。()()()aba baba bb a4（分配律）。()abca ba c 不满足乘法结合率：)()(cbacba二空间向量与立体几何1线线平行两线的方向向量平行1-1 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行两面的法向量平行2 线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1 线面垂直线与面的法向量平行2-2 面面垂直两面的法向量垂直3 线线夹角（共面与异面）两线的方向向量的夹角或夹角的补角，90,0OO2,1nn2,1coscosnn3-1 线面夹角：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量 的90,0OOAPn夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.nAP,cossin3-2 面面夹角（二面角）：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法180,0OO向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.2,1nn21,coscosnn4点面距离 ：求点到平面的距离：在平面上去一点，得向量h00,P xy,Q x y;；计算平面的法向量;.PQ nnnPQh4-1 线面距离（线面平行）：转化为点面距离4-2 面面距离（面面平行）：转化为点面距离【典型例题】1基本运算与基本知识（）例 1.已知平行六面体 ABCD，化简下列向量表达式，标出化简结果的向DCBA量。；ABBC ABADAA；。12ABADCC 1()3ABADAA 5GM 例 2.对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式：O,A B C（其中）的四点是否共面？OPxOAyOBzOC 1xyz,P A B C例 3 已知空间三点 A（0，2，3），B（2，1，6），C（1，1，5）。求以向量为一组邻边的平行四边形的面积 S；,AB AC 若向量 分别与向量垂直，且|，求向量 的坐标。a,AB AC a3a2基底法（如何找，转化为基底运算）3坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标）4几何法例 4.如图，在空间四边形中，OABC8OA 6AB 4AC 5BC 45OAC，求与的夹角的余弦值。60OABOABC O A B C 说明：由图形知向量的夹角易出错，如易错写成，切记！,135OA AC ,45OA AC 例 5.长方体中，为与的交点，为与的1111ABCDABC D4ABBCE11AC11B DF1BC1BC交点，又，求长方体的高。AFBE1BB6 【模拟试题】1.已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表ABCD,AC BD,M G,BC CD达式，并标出化简结果向量：（1）；ABBCCD （2）；（3）。1()2ABBDBC 1()2AGABAC 2.已知平行四边形 ABCD，从平面外一点引向量。ACO。,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD （1）求证：四点共面；,E F G H（2）平面平面。AC/EG3.如图正方体中，求与所成角的余弦。1111ABCDABC D11111114B ED FAB1BE1DF 5.已知平行六面体中，ABCDA B C D ，4,3,5,90ABADAABAD，求的长。60BAADAA AC7参考答案1.解：如图，（1）；ABBCCDACCDAD （2）。111()222ABBDBCABBCBD ；ABBMMGAG （3）。1()2AGABACAGAMMG 2.解：（1）证明：四边形是平行四边形，ABCDACABAD，EGOGOE ()()()k OCk OAk OCOAkACk ABADk OBOAODOAOFOEOHOEEFEH 共面；,E F G H（2）解：，又，()EFOFOEk OBOAk AB EGk AC。/,/EFAB EGAC所以，平面平面。/ACEG3.解：不妨设正方体棱长为，建立空间直角坐标系，1Oxyz则，(1,1,0)B13(1,1)4E(0,0,0)D11(0,1)4F，11(0,1)4BE 11(0,1)4DF ，11174BEDF 。1111150 0()1 14416BEDF 。11151516cos,17171744BE DF 4.分析：1(2,1,3),(1,3,2),cos2|AB ACABACBACABAC BAC60，|sin607 3SABAC 设（x，y，z），则a230,aABxyz 222320,|33aACxyzaxyz解得 xyz1 或 xyz1，（1，1，1）或（1，1，1）。aa5.解：22|()ACABADAA 222|222ABADAAAB ADAB AAAD AA 2224352 4 3 cos902 4 5 cos602 3 5 cos60 16925020 15858所以，。|85AC