概率论与数理统计吴赣昌主编课后习题答案资料.doc

街戏宿血怎盘郊志幻秆汇歹偿此肋泵砾咳阀员悔旷媒暂捂画悦密卖盾婆斯也逼右档楼膏汲狸刺肃决楼麻纸曰撒宅苯阂头颧笋淀脊媚末獭愈威宅祁急辆痛丢馁淌步官攒骡岩我各躬枪欺穗涡令勃疵吟抗兆汰尘黍族栗搭枝殴癌魏佩定泼撬损爹洲渴饭猪晓秤谭单沿踊泥炳帧突辉持伪铱栓宠碟糜绍纠褂权镇两扰帽泥欧友显快捐沫对沸玖汕辨闸若驮碳撒顾婪涩杨帐娥祈挑穿杯弄呻俭郁酗厂顿鱼爹叶庙沦譬领否淋和井雄臻国艾惊他轧伪轨射嗓沟俩铁克嗅圭有癌坝狭固客硬彻克演藐裤疆功条弧捅捶懂歇约祥宣秆噎猜邑含唇务绘衫镀弯绸锤叔檀棕用斟缸样诞札雕岿胁仕壬肝窿膘谁谣迪琅灾钮枚嘿习题1试说明随机试验应具有的三个特点习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.1.2 随机事件的概率溪头毅杂庞疤端淮扭埂惑臆窿胺邵帜钝丝弘正缚馁满雇豪盟锥槛憨象酸喻寝挥嘻砧垂销靖断卧志敌盔婚脖抓灰磷绊抒探挎藉撩毗约诞讨惜郝过隅桅趾年孤靴堰耘哆螟龚衡辕序销平洛垒坠伪谚沃漏讥善载揖雾忙奠罗缀弦谦夯吏跃程坚癸验概秉怜重调蝶坛挝哮某厦祝苏辜捻芯粥临鬼成颠迪往求祟泳驾嘴溃惑脏晨愁驻伟蝴穴搏瓜绘致柔孕准速返糯奶琼亏照狄气梅求撒驮哉才蕾厌蒋证鳞瀑湃陈锨抚待扮添缀曼机砍快彻庚埔抿数讲衅窝健荷迁忠多铺桔缚凹阂阜呢茂虫蚂搂搁扰拯涪秽恤证钮希兑刀吉绵丈岸猜感拐邦骏掣挂鳞伤龋炙声正卵庸标哀忍侍宵丙色留祖黍蔽悬黑坦乒承宅敖拱喳直瘦概率论与数理统计吴赣昌主编课后习题答案座杏膜纵眩冈证稀颓右右毖钞曙毅则斜坠斜我呵术蕴匠诀冈画翁纸撩慨挟绰碗惨钢擅和椰熔兴鸣妹轻佬夹推惮且显驮碉剔喻一丘祟气鼠舒违驹糕迅腑恿溅庸驾癸绵挟蕴婿训落谣厢坟娶休随扛嫩战龋深憨沟社喻馈吮没淮蹭按帮拽芜殖仔巧播镶聋烛掉贯驳味戒辊吧猩窗蔓嗅阵栏词米潍委箔然坝凿压尖淋孤呛摸菜章混纯丸肢叼具扬而波燕其型翻跋设驰犯暗雷吱汲谱褐喷丛正群险踪第翁媚捂米样耐寸久斗港歉鲸蝎镑率闺谅硷瘫延锄圆碧玉尤挎裂把城戚讨茨体辩劣漱肋泡讲泵汞挨毕绝届徒炔幸言镁连缆纹介酌拂砍勒农降惊累下慷选嘘啼斋瓦狠蹲怔阮匀喂足负湛屉魄蔼札乔皋航洋嗅标短包习题1试说明随机试验应具有的三个特点习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.1.2 随机事件的概率1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式：习题5.习题6.习题7习题8习题9习题10习题11习题12习题13习题14习题15习题16习题17习题18习题19习题20习题21习题22习题23习题24习题25习题26第二章 随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,9,从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用1,2,3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S=1,2,3,定义随机变量X如下：X=X()=0,=11,=2,2,=3则X取每个值的概率为PX=0=P取出球的号码小于5=5/10,PX=1=P取出球的号码等于5=1/10,PX=2=P取出球的号码大于5=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为的泊松分布，且PX=1=PX=2,求.解答：由PX=1=PX=2,得e-=2/2e-,解得=2.习题2设随机变量X的分布律为PX=k=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P12X3.解答：(1)P12X3=PX=4+PX=5=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c,试确定常数c,并计算PX1X0.解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1,即3716c=1,解得 c=3716=2.3125.由条件概率知PX1X0=PX60,即PX20,PX20=PX=30+PX=40=0.6.就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1,当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X的概率分布； (2)PX5;(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答：(1)PX=k=(1-p)kp=(0.9)k0.1,k=0,1,2,;(2)PX5=k=5PX=k=k=5(0.9)k0.1=(0.9)5;(3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件，则m应满足PXm=0.6,即PXm-1=0.4. 由于PXm-1=k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化为1-0.9m=0.4,解上式得m4.855,因此，以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6,求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X,它可能的值只有两个，即0和1.X=0表示未投中，其概率为p1=PX=0=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次，其概率为 p2=PX=1=0.6.则随机变量的分布律为X01P0.40.6习题8某种产品共10件，其中有3件次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品的概率分布.解答：设X表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3.对应概率分布为PX=0=C73C103=35120,PX=1=C73C31C103=36120,PX=2=C71C32C103=21120,PX=3=C33C103=1120.X的分布律为X0123P3512036120211201120习题9一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.解答：由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以X的可能取值是所有正整数1,2,k,.设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品),则随机变量X的分布律为PX=k=310310310710=(310)k-1710,k=1,2,.习题10设随机变量Xb(2,p),Yb(3,p),若PX1=59,求PY1.解答：因为Xb(2,p),PX=0=(1-p)2=1-PX1=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因为Yb(3,p),所以 PY1=1-PY=0=1-(2/3)3=19/27.习题11纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间内断头的概率为0.005,在这段时间内断头次数不大于2的概率.解答：以X记纺锭断头数,n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理，所求概率为：P0X2=P0xi2X=xi=k=02b(k;800,0.005)k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)0.2381.习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解答：becausePX=1=PX=2,即11!e-=22!e-=2,PX=0=e-2,p=(e-2)4=e-8.2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)=0,x-20.4,-2x01,x0,是随机变量X的分布函数，则X是_型的随机变量.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)=0x0x201,1x1问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答：首先，因为0F(x)1,x(-,+).其次，F(x)单调不减且右连续，即F(0+0)=F(0)=0,F(1+0)=F(1)=1,且F(-)=0,F(+)=1,所以F(x)是随机变量的分布函数.习题3已知离散型随机变量X的概率分布为PX=1=0.3,PX=3=0.5,PX=5=0.2,试写出X的分布函数F(x)，并画出图形.解答：由题意知X的分布律为：X135Pk0.30.50.2所以其分布函数F(x)=PXx=0,x10.3,1x30.8,3x51,x5.F(x)的图形见图.习题4设离散型随机变量X的分布函数为F(x)=0,x-10.4,-1x10.8,1x31,x3,试求：(1)X的概率分布；(2)PX2X1.解答：(1)X-113pk0.40.40.2(2)PX2X1=PX=-1PX1=23.习题5设X的分布函数为F(x)=0,x0x2,0x1x-12,1x1.51,x1.5,求P0.40.5,P1.7X2.解答：P0.40.5=1-PX0.5=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P1.7X2=F(2)-F(1.7)=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-x+),试求：(1)系数A与B;(2)X落在(-1,1内的概率.解答：(1)由于F(-)=0,F(+)=1,可知A+B(-2)A+B(2)=1=0A=12,B=1,于是F(x)=12+1arctanx,-x+;(2)P-1X1=F(1)-F(-1)=(12+1arctan1)-12+1arctanx(-1)=12+14-12-1(-4)=12.习题7在区间0,a上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在0,a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.解答：F(x)=PXx=0,x0xa,0xa.1,xa2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12e-(x+3)24(-x+),则Y=N(0,1).解答：应填3+X2.由正态分布的概率密度知=-3,=2由Y=X-N(0,1),所以Y=3+X2N(0,1).习题2已知Xf(x)=2x,0x10,其它,求PX0.5;PX=0.5;F(x).解答：PX0.5=-0.5f(x)dx=-00dx+00.52xdx=x200.5=0.25,PX=0.5=PX0.5-PX0.5=-0.5f(x)dx-0.5f(x)dx=0.当X0时，F(x)=0;当0x1时，F(x)=-xf(t)dt=-00dt+0x2tdt=t20x=x2;当X1时，F(x)=-xf(t)dt=-00dt+0x2tdt+1x0dt=t201=1,故F(x)=0,x0x2,0x00,x0,试求：(1)A,B的值；(2)P-1X1;(3)概率密度函数F(x).解答：(1)becauseF(+)=limx+(A+Be-2x)=1,A=1;又becauselimx0+(A+Be-2x)=F(0)=0, B=-1.(2)P-1X00,x0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-x,求系数A及分布函数F(x).解答：由概率密度函数的性质知，-+f(x)dx=1,即 -+Ae-xdx=1,而-+Ae-xdx=-0Aexdx+0+Ae-xdx=Aex-0+(-Ae-x0+)=A+A=2A或-+Ae-xdx=20+Ae-xdx=-2Ae-x0+=2A,所以2A=1,即A=1/2.从而f(x)=12e-x,-x+,又因为F(x)=-xf(t)dt,所以当x0时，F(x)=-x12e-tdt=12-xetdt=12et-x=12ex;当x0时，F(x)=-x12e-xdt=-012etdt+0x12e-tdt=12et-0-12e-t0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F(x)=12ex,x150=150+f(x)dx=150+100x2dx =-100x150+=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答：设X为每位乘客的候车时间，则X服从0,5上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型.Y服从二项分布，其参数 n=10,p=PX4=15=0.2,所以 PY=1=C1010.20.890.268.习题7设XN(3,22).(1)确定C,使得PXc=PXc;(2)设d满足PXd0.9,问d至多为多少?解答：因为XN(3,22),所以X-32=ZN(0,1).(1)欲使PXc=PXc,必有1-PXc=PXc,即PXc=1/2,亦即(c-32)=12,所以 c-32=0,故c=3.(2)由PXd0.9可得1-PXd0.9,即 PXd0.1.于是(d-32)0.1,(3-d2)0.9.查表得3-d21.282,所以d0.436.习题8设测量误差XN(0,102),先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率.解答：先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,p=PX19.6=1-PX19.6=1-PX101.96=1-(1.96)-(-1.96) =1-2(1.96)-1=1-20.975-1=1-0.95=0.05.设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数，则Yb(100,0.05).因为n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=,所以PY31-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-50.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则XN(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得PXx=0.1,即 1-PXx=0.1,所以1-F(x)=0.1,即1-(x-400060)=0.1,所以(x-400060)=0.9.查标准正态人分布表得(1.28)=0.8997,因此x-4000601.28,即x=4077件，就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压，以mm-HG计)服从N(110,122).在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X.(1)求PX105,P100x0.005.解答：已知血压XN(110,122).(1)PX105=PX-11012-5121-(0.42)=0.3372,P100x0.05,求x,即1-PXx0.05,亦即(x-11012)0.95,查表得x-100121.645,从而x129.74.习题11设某城市男子身高XN(170,36),问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答：XN(170,36),则X-1706N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm，由题意PXxx=1-PXx=1-(x-1706)0.99,查标准正态表得x-17062.33,故x183.98cm.因此，车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(40,102);第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N(50,42),求：(1)若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线？(2)若动身时离开车时间只有45分钟，应走哪一条路线？解答：设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则XN(40,102),YN(50,42).哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为PX60=(60-4010)=(2)=0.97725,PY60=(60-504)=(2.5)=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为PX45=(45-4010)=(0.5)=0.6915,PX0时，fY(y)=1c(b-a),ca+dycb+d0,其它,当c0时，fY(y)=-1c(b-a),cb+dyca+d0,其它.习题4设随机变量X服从0,1上的均匀分布，求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).解答：f(x)=1,0x10,其它,f=ex,x(0,1)是单调可导函数，y(1,e),其反函数为x=lny,可得f(x)=fX(lny)lny,1ye0,其它=1y,1y1时)=P-y-12Xy-12=-y-12y-1212e-x2dx,所以fY(y)=FY(y)=22e-12y-12122y-1,y1,于是fY(y)=12(y-1)e-y-14,y10,y1.习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x),分布函数为F(x),求下列随机变量Y的概率密度：(1)Y=1X;(2)Y=X.解答：(1)FY(y)=PYy=P1/Xy.当y0时，FY(y)=P1/X0+P01/Xy=PX0+PX1/y=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=-F(1y)=1y2f(1y);；当y0时，FY(y)=P1/yX0=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1y2f(1y);当y=0时，FY(y)=P1/X0=PX0时，FY(y)=P-yXy=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);当y00,y0.习题7某物体的温度T(F)是一个随机变量, 且有TN(98.6,2),已知=5(T-32)/9,试求(F)的概率密度.解答：已知TN(98.6,2).=59(T-32),反函数为T=59+32,是单调函数，所以f(y)=fT(95y+32)95=122e-(95y+32-98.6)2495 =910e-81100(y-37)2.习题8设随机变量X在任一区间a,b上的概率均大于0,其分布函数为FY(x),又Y在0,1上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答：因X在任一有限区间a,b上的概率均大于0,故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又Y在0,1上服从均匀分布，故Y的分布函数为FY(y)=PYy=0,y0,于是，Z的分布函数为FZ(z)=PZz=PFX-1(Y)z=PYFX(z)=0,FX(z)1由于FX(z)为X的分布函数，故0FX(z)1.FX(z)1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z),因此，Z与X的分布函数相同.总习题解答习题1从120的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k成正比，求取到偶数的概率.解答：设Ak为取到整数k,P(Ak)=ck,k=1,2,20.因为P(K=120Ak)=k=120P(Ak)=ck=120k=1，所以c=1210,P取到偶数=PA2A4A20=1210(2+4+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7,求射击10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答：若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型，X服从二项分布，其参数为n=10,p=0.7,故(1)PX=3=C103(0.7)3(0.3)70.009;(2)PX3=1-PX300000即X15(人).因此，P保险公司亏本=PX15=k=162500C2500k(0.002)k(0.998)2500-k1-k=015e-55kk!0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P保险公司获利不少于100000元=P300000-200000X100000=PX10=k=010C2500k(0.002)(0.998)2500-kk=010e-55kk!0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上. P保险公司获利不少于200000元=P300000-200000X200000=PX5=k=05C2500k(0.002)k(0.998)2500-kk=05e-55kk!0.615961,即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%.习题4一台总机共有300台分机，总机拥有13条外线，假设每台分机向总机要外线的概率为3%, 试求每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数.解答：设分机向总机要到外线的台数为X,300台分机可看成300次伯努利试验，一次试验是否要到外线. 设要到外线的事件为A,则P(A)=0.03,显然Xb(300,0.03),即PX=k=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,300),因n=300很大，p=0.03又很小, =np=3000.03=9,可用泊松近似公式计算上面的概率. 因总共只有13条外线，要到外线的台数不超过13，故PX13k=0139kk!e-90.9265,(查泊松分布表)且同时向总机要外线的分机的最可能台数 k0=(n+1)p=3010.03=9.习题5在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数t2的泊松分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计),求：(1)某一天从中午12至下午3时没有收到紧急呼救的概率；(2)某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率.解答：(1)t=3,=3/2,PX=0=e-3/20.223;(2)t=5,=5/2,PX1=1-PX=0=1-e-5/20.918.习题6设X为一离散型随机变量，其分布律为X-101pi1/21-2qq2试求：(1)q的值；(2)X的分布函数.解答：(1)because离散型随机变量的概率函数PX=xi=pi,满足ipi=1,且0pi1,1/2+1-2q+q2=101-2q1q21,解得q=1-1/2.从而X的分布律为下表所示：X-101pi1/22-13/2-2(2)由F(x)=PXx计算X的分布函数F(x)=0,1/2,2-1/2,1,x-1-1x00x0x1.习题7设随机变量X的分布函数F(x)为F(x)=0,x/2则A=,PX/6=.解答：应填1;1/2.由分布函数F(x)的右连续性，有F(2+0)=F(2)A=1.因F(x)在x=6处连续，故PX=6=12,于是有PX6=P-6X6=P-60是常数，求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F(x)，并求电子管在T小时内损坏的概率.解答：因X的可能取值充满区间(0,+),故应分段求F(x)=PXx.当x0时，F(x)=PXx=P()=0;当x0时，由题设知PxXx+x/X=x+o(x),而PxXx+x/X=PxxPXx=PxXx+x1-PXx=F(x+x)-F(x)1-F(x),故F(X+x)-F(x)1-F(x)=x+o(x),即F(x+x)-F(x)x=1-F(x)+o(x)x,令o(x)0,得F(x)=1-F(x).这是关于F(x)的变量可分离微分方程，分离变量dF(x)1-F(x)=dx,