概率论与数理统计吴赣昌主编课后习题答案.doc

(完整版)概率论与数理统计吴赣昌主编课后习题答案
习题1试说明随机试验应具有的三个特点．

习题2将一枚均匀的硬币抛两次,事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面"，“至少有一次出现正面"，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.

1。2 随机事件的概率

1。3 古典概型与几何概型

1。4 条件概率

1.5 事件的独立性

复习总结与总习题解答

习题3。 证明下列等式：

习题5.

习题6。

习题7

习题8

习题9

习题10

习题11

习题12

习题13

习题14

习题15

习题16

习题17

习题18

习题19

习题20

习题21

习题22

习题23

习题24

习题25

习题26

第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量
习题1随机变量的特征是什么?
解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数。
②随机变量的取值是随机的,事先或试验前不知道取哪个值.
③随机变量取特定值的概率大小是确定的。
习题2试述随机变量的分类。
解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来,则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量。
习题3盒中装有大小相同的球10个,编号为0,1,2，⋯，9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”,“大于5”的情况,试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率。
解答：分别用ω1,ω2，ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5",则样本空间S={ω1，ω2，ω3｝, 定义随机变量X如下:
             X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3
则X取每个值的概率为
   P｛X=0}=P｛取出球的号码小于5}=5/10，
   P{X=1｝=P｛取出球的号码等于5}=1/10,
   P{X=2}=P{取出球的号码大于5｝=4/10.
2.2 离散型随机变量及其概率分布
习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且P｛X=1｝=P{X=2｝， 求λ。
解答:由P{X=1}=P{X=2}, 得
                 λe—λ=λ^2/2e^-λ，解得λ=2.
习题2
设随机变量X的分布律为 P｛X=k}=k15,k=1，2，3，4,5,
试求（1)P{12〈X<52；   （2）P｛1≤X≤3｝;   (3）P｛X〉3}。
解答:（1)P｛12〈X<52=P{X=1｝+P{X=2}=115+215=15;
（2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P｛X=2}+P｛X=3｝
              =115+215+315=25；
（3）P｛X>3}=P｛X=4｝+P｛X=5｝=415+515=35。
习题3
已知随机变量X只能取-1,0，1,2四个值，相应概率依次为12c,34c，58c，716c， 试确定常数c, 并计算P{X〈1∣X≠0}。
解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1， 即3716c=1,解得
                  c=3716=2。3125。
由条件概率知 P{X<1∣X≠0｝=P｛X<1，X≠0}P{X≠0}=P{X=—1}P｛X≠0}
                   =12c1-34c=24c-3=26.25=0。32.
习题4
一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4,5. 在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.
解答：随机变量X的可能取值为3，4,5.
P{X=3}=C22⋅1C53=110， P{X=4｝=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,
所以X的分布律为
X
3
4
5
pk
1/10
3/10
3/5
习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务,每天加油站要多付给职工服务费60元，设每天出租汽车数X是一个随机变量,它的概率分布如下:
X
10
20
30
40
pi
0。15
0.25
0.45
0.15
求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率。
解答：因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：
   P{3X>60｝， 即P{X〉20｝,
   P｛X〉20}=P{X=30｝+P｛X=40}=0。6。
就是说,加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0。6.
习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1， 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数,试求:
(1）X的概率分布；             (2）P｛X≥5｝;
(3)在两次调整之间能以0。6的概率保证生产的合格品数不少于多少?
解答：（1）P{X=k}=(1—p)kp=(0.9）k×0。1,k=0，1,2,⋯;
(2)P｛X≥5}=∑k=5∞P{X=k｝=∑k=5∞（0。9）k×0。1=(0.9)5；
（3）设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件，则m应满足
  P｛X≥m｝=0。6,即P{X≤m—1｝=0。4。 由于
      P｛X≤m-1}=∑k=0m—1(0。9）k(0。1）=1—(0.9）m,
故上式化为1—0.9m=0。4, 解上式得  m≈4.85≈5，
因此，以0。6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.
习题7设某运动员投篮命中的概率为0。6, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.
解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X, 它可能的值只有两个,即0和1。
X=0表示未投中，其概率为 p1=P{X=0}=1-0.6=0。4，
X=1表示投中一次,其概率为          p2=P｛X=1｝=0.6.
则随机变量的分布律为 
X
  0 
  1 
P
 0.4 
 0.6 
习题8某种产品共10件,其中有3件次品，现从中任取3件,求取出的3件产品中次品的概率分布。
解答:
设X表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为
P｛X=0}=C73C103=35120,     P{X=1｝=C73C31C103=36120,
P｛X=2}=C71C32C103=21120，    P{X=3}=C33C103=1120。
X的分布律为
 X
   0123 
 P
 3512036120211201120
习题9一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布。
解答：由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以X的可能取值是所有正整数1,2，⋯，k，⋯.
设第k次才取到正品（前k-1次都取到次品)， 则随机变量X的分布律为
    P｛X=k｝=310×310×⋯×310×710=（310)k-1×710,k=1，2,⋯.
习题10设随机变量X∼b（2,p),Y∼b（3,p), 若P{X≥1｝=59， 求P{Y≥1｝.
解答：因为X∼b(2,p），
P｛X=0}=(1-p）2=1-P｛X≥1｝=1-5/9=4/9,所以p=1/3。
因为Y∼b(3,p）, 所以      P｛Y≥1｝=1-P｛Y=0｝=1—（2/3）3=19/27。
习题11纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005， 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率。
解答：以X记纺锭断头数，  n=800，p=0.005，np=4，
应用泊松定理，所求概率为：
    P｛0≤X≤2｝=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k；800,0.005)
                 ≈∑k=02P(k;4)=e-4（1+41!+422！)≈0。2381。
习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.
解答：\becauseP{X=1}=P{X=2｝, 即
              λ11!e—λ=λ22!e—λ⇒λ=2，
∴P{X=0｝=e-2，
∴p=(e—2）4=e—8.
2。3 随机变量的分布函数
习题1F（X)={0,x<-20。4,-2≤x<01,x≥0, 是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量.
解答:离散.
由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.
习题2设F(x）={0x<0x20≤1，1x≥1 问F(x）是否为某随机变量的分布函数.
解答:首先，因为0≤F（x)≤1,∀x∈（—∞，+∞）。
其次，F（x)单调不减且右连续，即
         F（0+0)=F(0）=0,  F（1+0)=F（1)=1,
且       F（-∞)=0,F(+∞）=1，
所以F(x)是随机变量的分布函数。
习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P｛X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P｛X=5}=0.2,
试写出X的分布函数F(x)，并画出图形。
解答：由题意知X的分布律为：
X 
  135 
 Pk
 0。30.50。2
所以其分布函数F(x)=P{X≤x}=｛0,x〈10.3，1≤x〈30.8，3≤x〈51，x≥5.
F(x）的图形见图。
习题4设离散型随机变量X的分布函数为    F(x）={0,x<—10.4，—1≤x<10。8,1≤x〈31，x≥3，
试求：(1）X的概率分布；    (2）P{X<2∣X≠1｝.
解答：(1)
 X
—113 
 pk
 0。40。40。2
（2）P{X〈2∣X≠1｝=P{X=—1｝P{X≠1｝=23.
习题5设X的分布函数为
           F（x）=｛0,x<0x2,0≤x<1x—12,1≤x<1.51,x≥1。5,
求P｛0.4<X≤1.3}，P{X〉0。5},P{1.7<X≤2｝。
解答：P{0。4〈X≥1.3｝=P{1。3}—F(0.4）=（1。3-0.5)-0.4/2=0。6,
P{X>0.5｝=1-P{X≤0。5}=1-F(0.5）=1—0。5/2=0。75,
P｛1。7〈X≤2｝=F(2）—F(1.7）=1-1=0.
习题6设随机变量X的分布函数为
        F（x）=A+Barctanx（—∞〈x〈+∞)，
试求：(1)系数A与B；        (2）X落在(-1，1]内的概率.
解答：（1)由于F(—∞)=0,F(+∞）=1, 可知
          {A+B（—π2）A+B（π2)=1=0⇒A=12，B=1π，
于是 F(x)=12+1πarctanx, —∞〈x〈+∞;
(2）P{-1〈X≤1｝=F(1)—F（—1）
        =(12+1πarctan1)—［12+1πarctanx（—1）]
        =12+1π⋅π4—12-1π(—π4)=12。
习题7在区间[0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标。设这个质点落在［0,a］中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数。
解答： F（x)=P{X≤x｝={0，x〈0xa,0≤x〈a。1，x≥a
 2.4 连续型随机变量及其概率密度
习题1设随机变量X的概率密度为
f(x）=12πe—(x+3)24（—∞<x<+∞),则Y=¯∼N（0,1)。
解答：应填3+X2。
由正态分布的概率密度知μ=-3，σ=2由Y=X-μσ∼N(0，1), 所以Y=3+X2∼N（0,1）。
习题2已知X∼f（x）=｛2x，0<x〈10,其它， 求P{X≤0.5};P｛X=0。5｝；F(x)。
解答：P｛X≤0.5｝=∫—∞0。5f(x)dx=∫—∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,
P｛X=0.5｝=P｛X≤0.5｝—P｛X〈0.5}=∫-∞0。5f（x)dx—∫-∞0.5f（x)dx=0.
当X≤0时，F(x)=0;
当0〈x<1时,F（x）=∫—∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;
当X≥1时，F(x)=∫—∞xf（t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故
            F(x)={0，x≤0x2,0<x<1.1,x≥1
习题3设连续型随机变量X的分布函数为
  F(x）=｛A+Be-2x,x〉00,x≤0，试求:（1)A,B的值；(2)P{—1<X〈1}； (3)概率密度函数F(x）。
解答：(1）\becauseF(+∞）=limx→+∞（A+Be-2x)=1,  ∴A=1;
又 \becauselimx→0+(A+Be-2x）=F（0)=0,      ∴B=-1。
（2) P{—1〈X<1｝=F(1）—F（-1)=1—e-2。
（3)f(x)=F′（x)=｛2e—x,x〉00,x≤0。
习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x）=Ae—∣x∣， 求系数A及分布函数F(x）。
解答：由概率密度函数的性质知,∫—∞+∞f(x）dx=1, 即
                       ∫-∞+∞Ae—∣x∣dx=1,
而∫—∞+∞Ae—∣x∣dx=∫—∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx
              =Aex∣—∞0+（—Ae-x∣0+∞）=A+A=2A
或   ∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=—2Ae—x∣0+∞=2A, 所以2A=1, 即A=1/2.
从而f(x）=12e-∣x∣，-∞〈x〈+∞, 又因为F（x)=∫—∞xf(t)dt， 所以
当x<0时，F(x）=∫—∞x12e-∣t∣dt=12∫—∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;
当x≥0时，F（x）=∫—∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt
               =12et∣—∞0-12e-t∣0x=12—12e-x+12=1-12e—x，
从而F(x）={12ex,x〈01—12e-x,x≥0。
习题5某型号电子管,其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度
                 f（x)=｛100x2,x≥1000,其它,
某一电子管的使用寿命为X， 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.
解答：设电子管的使用寿命为X， 则电子管使用150小时以上的概率为
    P｛X〉150}=∫150+∞f(x）dx=∫150+∞100x2dx
               =—100x∣150+∞=100150=23，
从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为  p=（2/3)3=8/27.
习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率。
解答:设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0，5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的。这是10重伯努力概型。 Y服从二项分布,其参数
              n=10,p=P{X≥4｝=15=0.2，
所以         P｛Y=1}=C101×0.2×0。89≈0.268。
习题7
设X∼N（3,22).(1)确定C, 使得P{X>c}=P｛X≤c}；（2)设d满足P{X>d｝≥0。9, 问d至多为多少?
解答：因为X∼N(3，22)， 所以X-32=Z∼N（0,1）.
（1）欲使P{X〉c｝=P{X≤c}, 必有1-P{X≤c｝=P{X≤c｝， 即  P｛X≤c}=1/2，
亦即Φ(c—32)=12， 所以          c-32=0, 故c=3.
（2）由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d｝≥0。9， 即              P｛X≤d｝≤0。1.
于是Φ(d—32)≤0.1,Φ（3—d2）≥0。9.查表得3—d2≥1.282, 所以d≤0.436。
习题8
设测量误差X∼N(0，102）， 先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率.
解答：先求任意误差的绝对值超过19。6的概率p，
    p=P｛∣X∣>19。6}=1-P{∣X∣≤19。6}
      =1—P｛∣X10∣≤1。96=1—［Φ（1.96)-Φ（-1。96)]
      =1-［2Φ（1。96)-1］=1-[2×0。975—1］=1—0.95=0.05。
设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数，则Y∼b（100，0。05).
因为n很大，p很小,可用泊松分布近似,np=5=λ, 所以
    P{Y≥3}≈1—50e-50！-51e-51!-52e—52！=1-3722—5≈0.87.
习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N（4000,3600)。假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？
解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则X∼N（4000，3600)。
设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=0。1， 即
                  1-P｛X<x}=0.1，
所以1—F(x）=0.1, 即  1—Φ（x-400060)=0。1, 所以Φ(x-400060）=0。9.
查标准正态人分布表得Φ（1。28)=0.8997， 因此  x-400060≈1.28, 即x=4077件，
就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上。
习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压，以mm—HG计)服从N（110,122). 在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X.（1）求P｛X≤105｝,P{100<X≤120}；（2)确定最小的x， 使P{X>x｝≤0.005.
解答:已知血压X∼N(110,122)。
(1）P｛X≤105｝=P{X—11012≤-512≈1—Φ(0.42）=0。3372,
 P{100〈X≤120｝=Φ（120-11012)-Φ（100-11012）
                 =Φ(0.833)—Φ（—0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.
(2)使P{X>x｝≤0.05， 求x, 即1—P｛X≤x}≤0.05, 亦即 Φ(x-11012）≥0。95，
查表得x—10012≥1。645， 从而x≥129。74.
习题11设某城市男子身高X∼N(170，36)， 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.
解答：X∼N（170,36), 则X-1706∼N（0,1）。
设公共汽车门的高度为xcm，由题意P{X〉x｝〈0.01, 而
             P{X〉x}=1—P{X≤x｝=1-Φ(x—1706）<0.01，
即Φ(x—1706）〉0.99, 查标准正态表得x—1706>2。33, 故x〉183.98cm。
因此,车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于0。01.
习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟）服从正态分布N（40,102）； 第二条路程较长,但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N（50,42), 求:
(1)若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线？
(2）若动身时离开车时间只有45分钟,应走哪一条路线？
解答：设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则 X∼N(40,102）,Y∼N(50,42)。 
哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.
（1)因为P{X<60｝=Φ（60-4010)=Φ(2）=0.97725, P｛Y<60｝=Φ（60-504)=Φ（2。5)=0。99379,
所以有60分钟时应走第二条路.
（2）因为P｛X<45}=Φ（45-4010)=Φ（0。5）=0。6915，
       P｛X<45｝=Φ(45-504）=Φ(-1.25)=1-Φ(1。25）=1-0。8925=0。1075
所以只有45分钟应走第一条路.
 2.5 随机变量函数的分布
习题1已知X的概率分布为
X
—2
-1
0
1
2
3
pi
2a
1/10
3a
a
a
2a

试求:(1)a；    (2）Y=X2-1的概率分布。
解答：（1）\because2a+1/10+3a+a+a+2a=1,
   ∴a=1/10.
(2) 
Y
—1
0
3
8
pi
3/10
1/5
3/10
1/5
习题2设X的分布律为P{X=k｝=12k，k=1，2，⋯， 求Y=sinπ2X的分布律。
解答：因为 sinxnπ2=｛1，当n=4k-10,当n=2k-1，当n=4k—3，
所以Y=sin(π2X)只有三个可能值-1，0,1. 容易求得 P｛Y=-1｝=215，P{=0}=13,P｛Y=1}=815
故Y的分布律列表表示为
Y 
 —101
 P
 21513815
习题3
设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，令Y=cX+d(c≠0)， 试求随机变量Y的密度函数。
解答： fY(y）=｛fX(y-dc)⋅1∣c∣,a≤y-dc≤b0,其它，
当c〉0时，fY(y)=｛1c（b—a），ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时,fY(y）=｛—1c(b—a),cb+d≤y≤ca+d0,其它。
习题4设随机变量X服从［0,1]上的均匀分布，求随机变量函数Y=eX的概率密度fY（y).
解答:f（x)=｛1,0≤x≤10,其它,
f=ex,x∈（0，1）是单调可导函数,y∈（1，e)， 其反函数为x=lny, 可得
       f（x)=｛fX(lny)∣ln′y,1〈y<e0，其它=｛1y,1<y〈e0,其它。
习题5设X∼N（0,1），求Y=2X2+1的概率密度.
解答：因y=2x2+1是非单调函数，故用分布函数法先求FY(y）.
    FY(y）=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y｝(当y>1时)
         =P{-y—12≤X≤y—12=∫—y-12y-1212πe—x2dx，
所以fY（y)=F′Y(y）=22πe—12⋅y—12⋅122y—1,y〉1， 于是
     fY(y）={12π（y—1)e-y-14，y〉10，y≤1.
习题6设连续型随机变量X的概率密度为f（x）, 分布函数为F(x）, 求下列随机变量Y的概率密度：
（1）Y=1X；     (2）Y=∣X∣.
解答：(1)FY（y）=P｛Y≤y｝=P{1/X≤y}。
①当y〉0时,FY（y）=P{1/X≤0}+P｛0<1/X≤y}
         =P｛X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1—F（1/y),
故这时fY(y)=［—F(1y)]′=1y2f（1y)；；
②当y〈0时,FY(y）=P｛1/y≤X<0｝=F(0)—F（1/y）,
故这时fY（y)=1y2f（1y）；
③当y=0时，FY(y）=P｛1/X≤0}=P｛X〈0｝=F(0），
故这时取fY(0）=0, 综上所述
           fY（y)=｛1y2⋅f（1y),y≠00,y=0。
(2)FY（y)=P{Y≤y}=P｛∣X∣≤y}.
①当y〉0时,FY（y）=P｛—y≤X≤y｝=F（y）-F（-y）
这时fY(y)=f(y)+f（—y)；
②当y〈0时，FY（y）=P{∅｝=0， 这时fY（y)=0;
③当y=0时，FY(y)=P{Y≤0｝=P｛∣X∣≤0｝=P｛X=0}=0，
故这时取FY（y）=0， 综上所述 fY（y）={f(y）+f(-y)，y>00，y≤0。
习题7某物体的温度T(∘F)是一个随机变量, 且有T∼N(98.6,2）, 已知θ=5(T-32)/9， 试求θ（∘F）的概率密度。
解答：已知T∼N（98.6，2）。 θ=59（T—32)， 反函数为T=59θ+32， 是单调函数，所以
    fθ（y）=fT（95y+32)⋅95=12π⋅2e—（95y+32—98。6)24⋅95
          =910πe—81100(y—37)2。
习题8设随机变量X在任一区间[a，b］上的概率均大于0， 其分布函数为FY(x)， 又Y在［0,1]上服从均匀分布,证明：Z=FX—1(Y)的分布函数与X的分布函数相同。
解答：因X在任一有限区间［a,b］上的概率均大于0， 故FX(x)是单调增加函数,其反函数FX—1（y）存在，又Y在[0,1]上服从均匀分布,故Y的分布函数为
         FY（y）=P{Y≤y｝={0,y<0y，0≤y≤11，y〉0,
于是，Z的分布函数为
    FZ（z）=P｛Z≤z}=P｛FX-1（Y）≤z}=P{Y≤FX（z）｝
         ={0，FX(z)<0FX（z），0≤FX(z）≤1，1，FX(z)>1
由于FX(z）为X的分布函数,故0≤FX（z）≤1.
FX(z)<0和FX(z）>1均匀不可能，故上式仅有FZ（z）=FX（z)， 因此，Z与X的分布函数相同.
总习题解答
习题1从1∼20的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k成正比,求取到偶数的概率。
解答：设Ak为取到整数k,   P（Ak)=ck，      k=1，2，⋯,20。
因为P（⋃K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1， 所以c=1210, 
  P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20} =1210（2+4+⋯+20)=1121.
习题2若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮，
（1）命中3炮的概率；（2）至少命中3炮的概率；（3)最可能命中几炮.
解答:若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数。 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型,X服从二项分布，其参数为n=10,p=0.7, 故
(1)P{X=3｝=C103（0.7）3(0.3）7≈0。009;
（2)P｛X≥3}=1—P｛X〈3} 
   =1-[C100(0。7)0(0.3)10+C101（0.7）1（0.3)9+C102(0。7）2(0.3)8］
  ≈0.998；
(3)因X∼b(10,0。7）, 而 k0=[(n+1)p]=［（10+1)］×0.7=[7.7］=7，
故最可能命中7炮。
习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0。002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费,而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求：（1）保险公司亏本的概率;(2）保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.
解答：1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为
                     2500×120元=30000元。
设1年中死亡人数为X, 则X∼b（2500，0.002)， 则保险公司在这一年中应付出200000X（元），要使保险公司亏本，则必须 200000X>300000即X>15(人).
因此，P{保险公司亏本｝=P｛X>15}
                      =∑k=162500C2500k（0.002)k×(0。998）2500—k
                     ≈1—∑k=015e—55kk！≈0。000069,
由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.
(2)P{保险公司获利不少于100000元}
   =P{300000-200000X≥100000｝=P{X≤10｝
   =∑k=010C2500k（0.002）×(0。998)2500—k≈∑k=010e-55kk！≈0.986305,
即保险公司获利不少于100000元的概率在98％以上.
   P{保险公司获利不少于200000元}
   =P｛300000—200000X≥200000}=P{X≤5}
   =∑k=05C2500k（0。002)k×(0。998)2500—k≈∑k=05e—55kk!≈0.615961,
即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%.
习题4一台总机共有300台分机,总机拥有13条外线,假设每台分机向总机要外线的概率为3％， 试求每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数.
解答：设分机向总机要到外线的台数为X, 300台分机可看成300次伯努利试验，一次试验是否要到外线. 设要到外线的事件为A, 则P(A)=0.03, 显然X∼b(300，0.03)， 即
       P{X=k}=C300k（0。03)k(0。97)300—k（k=0，1,2,⋯，300)，
因n=300很大,p=0。03又很小,
                  λ=np=300×0.03=9,
可用泊松近似公式计算上面的概率。 因总共只有13条外线,要到外线的台数不超过13，故
        P{X≤13｝≈∑k=0139kk！e—9≈0.9265,   （查泊松分布表）
且同时向总机要外线的分机的最可能台数
               k0=［(n+1）p]=［301×0.03］=9。
习题5在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数t2的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）, 求：
(1）某一天从中午12至下午3时没有收到紧急呼救的概率；
（2)某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率.
解答：（1）t=3，λ=3/2, P｛X=0}=e-3/2≈0。223;（2)t=5,λ=5/2, P{X≥1}=1-P{X=0}=1-e-5/2≈0。918.
习题6设X为一离散型随机变量，其分布律为
X 
-101 
 pi
 1/21-2qq2
试求：(1)q的值；    （2）X的分布函数.
解答：(1）\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi｝=pi， 满足∑ipi=1, 且0≤pi≤1，
∴     {1/2+1-2q+q2=10≤1—2q≤1q2≤1,
解得q=1—1/2。 从而X的分布律为下表所示：
X 
 —101
 pi
 1/22-13/2-2
（2)由F(x)=P｛X≤x｝计算X的分布函数
                F(x）={0，1/2,2—1/2，1，x<-1—1≤x<00≤x<0x≥1。
习题7设随机变量X的分布函数F(x)为
                  F(x）={0,x〈0Asinx,0≤x≤π/2,1,x>π/2
则A=¯，P｛∣X∣〈π/6｝=¯。
解答：应填1；1/2.
由分布函数F（x)的右连续性,有 F(π2+0)=F(π2)⇒A=1。
因F（x)在x=π6处连续，故P{X=π6=12， 于是有
  P{∣X∣<π6=P｛-π6<X<π6
               =P{—π6<X≤π6=F（π6）—F（-π6)=12。.
习题8
使用了x小时的电子管，在以后的Δx小时内损坏的概率等于λΔx+o(Δx)， 其中λ〉0是常数，求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F(x），并求电子管在T小时内损坏的概率.
解答：因X的可能取值充满区间(0，+∞)， 故应分段求F(x)=P{X≤x｝。
当x≤0时，F（x)=P{X≤x｝=P（∅）=0；
当x>0时，由题设知P｛x〈X≤x+Δx/X｝=λΔx+o(Δx), 而
P｛x〈X≤x+Δx/X｝=P｛x〈X≤x+Δx，X〉x｝P｛X>x｝
                      =P{x〈X≤x+Δx｝1—P｛X≤x｝=F(x+Δx)—F(x)1—F（x）,
故F（X+Δx)—F（x)1-F（x)=λΔx+o(Δx）， 即
              F（x+Δx)—F(x）Δx=［1—F（x)］[λ+o(Δx)Δx］，
令o(Δx）→0， 得F′（x)=λ［1-F（x)]。
这是关于F（x)的变量可分离微分方程，分离变量dF(x)1—F(x)=λdx, 积分之得通解为
                C［1—F(x)]=e—λx（C为任意常数）。
注意到初始条件F(0)=0， 故C=1。
于是F(x）=1—e-λx，x〉0,λ〉0， 故X的分布函数为
               F(x)=｛0,x≤01—e—λx,x>0（λ>0)，
从而电子管在T小时内损坏的概率为
               P{X≤T}=F（T)=1-e-λT.
习题9设连续型随机变量X的分布密度为
                   f(x）=｛x，0〈x≤12—x,1〈x≤20,其它，
求其分布函数F（x）.
解答:当x≤0时，F(x）=∫-∞x0dt=0;
当0<x≤1时，F（x)=∫—∞xf(t）dt=∫—∞00tdt+∫0xtdt=12x2；
当1<x≤2时，
          F（x）=∫-∞xf(t）dt=∫—∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt
              =0+12+(2t—12t2)∣1x=-1+2x—x22;
当x〉2时，F（x）=∫—∞00dt+∫01tdt+∫12（2—t）dt+∫2x0dt=1， 故
           F(x)={0,x≤212x2,0〈x≤1—1+2x—x22，1〈x≤21,x>2。
习题10某城市饮用水的日消费量X（单位:百万升）是随机变量,其密度函数为：
                   f(x）=｛19xe-x3,x〉00,其它,
试求：(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率；（2)水日消费量介于600万升到900万升的概率。
解答：先求X的分布函数F(x)。 显然,当x〈0时,F(x)=0， 当x≥0时有
             F（x）=∫0x19te—t3dt=1—(1+x3）e-x3
故F(x)={1-（1+x3)e—x3，x≥00,x<0， 所以
         P{X≥6}=1-P{X<6}=1—P（X≤6}=1—F(6）
                  =1-[1-（1+x3）e-x3]x=6=3e-2，