概率论与数理统计吴赣昌主编课后习题答案.doc

(完整版)概率论与数理统计吴赣昌主编课后习题答案习题1试说明随机试验应具有的三个特点习题2将一枚均匀的硬币抛两次,事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面，“至少有一次出现正面，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.1。2 随机事件的概率1。3 古典概型与几何概型1。4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3。 证明下列等式：习题5.习题6。习题7习题8习题9习题10习题11习题12习题13习题14习题15习题16习题17习题18习题19习题20习题21习题22习题23习题24习题25习题26第二章 随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么?解答：随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数。随机变量的取值是随机的,事先或试验前不知道取哪个值.随机变量取特定值的概率大小是确定的。习题2试述随机变量的分类。解答：若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来,则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量。习题3盒中装有大小相同的球10个,编号为0,1,2，9,从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”,“大于5”的情况,试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率。解答：分别用1,2，3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5,则样本空间S=1，2，3,定义随机变量X如下:X=X()=0,=11,=2,2,=3则X取每个值的概率为PX=0=P取出球的号码小于5=5/10，PX=1=P取出球的号码等于5=1/10,PX=2=P取出球的号码大于5=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为的泊松分布,且PX=1=PX=2，求。解答:由PX=1=PX=2,得e=2/2e-，解得=2.习题2设随机变量X的分布律为PX=k=k15,k=1，2，3，4,5,试求（1)P12X52； （2）P1X3;(3）PX3。解答:（1)P12X3=PX=4+PX=5=415+515=35。习题3已知随机变量X只能取-1,0，1,2四个值，相应概率依次为12c,34c，58c，716c，试确定常数c,并计算PX1X0。解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1，即3716c=1,解得 c=3716=2。3125。由条件概率知PX1X0=PX60，即PX20,PX20=PX=30+PX=40=0。6。就是说,加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0。6.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数,试求:(1）X的概率分布； (2）PX5;(3)在两次调整之间能以0。6的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答：（1）PX=k=(1p)kp=(0.9）k0。1,k=0，1,2,;(2)PX5=k=5PX=k=k=5（0。9）k0。1=(0.9)5；（3）设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件，则m应满足PXm=0。6,即PXm1=0。4。 由于PXm-1=k=0m1(0。9）k(0。1）=1(0.9）m,故上式化为10.9m=0。4,解上式得m4.855，因此，以0。6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.习题7设某运动员投篮命中的概率为0。6,求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X,它可能的值只有两个,即0和1。X=0表示未投中，其概率为p1=PX=0=1-0.6=0。4，X=1表示投中一次,其概率为 p2=PX=1=0.6.则随机变量的分布律为X01P0.40.6习题8某种产品共10件,其中有3件次品，现从中任取3件,求取出的3件产品中次品的概率分布。解答:设X表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3.对应概率分布为PX=0=C73C103=35120,PX=1=C73C31C103=36120,PX=2=C71C32C103=21120，PX=3=C33C103=1120。X的分布律为X0123P3512036120211201120习题9一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布。解答：由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以X的可能取值是所有正整数1,2，k，.设第k次才取到正品（前k-1次都取到次品)，则随机变量X的分布律为PX=k=310310310710=（310)k-1710,k=1，2,.习题10设随机变量Xb（2,p),Yb（3,p),若PX1=59，求PY1.解答：因为Xb(2,p），PX=0=(1-p）2=1-PX1=1-5/9=4/9,所以p=1/3。因为Yb(3,p）,所以 PY1=1-PY=0=1（2/3）3=19/27。习题11纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间内断头的概率为0.005，在这段时间内断头次数不大于2的概率。解答：以X记纺锭断头数，n=800，p=0.005，np=4，应用泊松定理，所求概率为：P0X2=P0xi2X=xi=k=02b(k；800,0.005)k=02P(k;4)=e-4（1+41!+422！)0。2381。习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解答：becausePX=1=PX=2,即11!e=22!e=2，PX=0=e-2，p=(e2）4=e8.2。3 随机变量的分布函数习题1F（X)=0,x-20。4,-2x01,x0,是随机变量X的分布函数，则X是_型的随机变量.解答:离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x）=0x0x201，1x1问F(x）是否为某随机变量的分布函数.解答:首先，因为0F（x)1,x（，+）。其次，F（x)单调不减且右连续，即F（0+0)=F(0）=0,F（1+0)=F（1)=1,且F（-)=0,F(+）=1，所以F(x)是随机变量的分布函数。习题3已知离散型随机变量X的概率分布为PX=1=0.3,PX=3=0.5,PX=5=0.2,试写出X的分布函数F(x)，并画出图形。解答：由题意知X的分布律为：X135Pk0。30.50。2所以其分布函数F(x)=PXx=0,x10.3，1x30.8，3x51，x5.F(x）的图形见图。习题4设离散型随机变量X的分布函数为F(x）=0,x10.4，1x10。8,1x31，x3，试求：(1）X的概率分布；(2）PX2X1.解答：(1)X113pk0。40。40。2（2）PX2X1=PX=1PX1=23.习题5设X的分布函数为F（x）=0,x0x2,0x1x12,1x1.51,x1。5,求P0.4X1.3，PX0。5,P1.70.5=1-PX0。5=1-F(0.5）=10。5/2=0。75,P1。7X2=F(2）F(1.7）=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为F（x）=A+Barctanx（x+)，试求：(1)系数A与B；(2）X落在(-1，1内的概率.解答：（1)由于F()=0,F(+）=1,可知A+B（2）A+B（2)=1=0A=12，B=1，于是F(x)=12+1arctanx,x+;(2）P-1X1=F(1)F（1）=(12+1arctan1)12+1arctanx（1）=12+1412-1(4)=12。习题7在区间0，a上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标。设这个质点落在0,a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数。解答：F（x)=PXx=0，x0xa,0xa。1，xa2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x）=12e(x+3)24（x+),则Y=N（0,1)。解答：应填3+X2。由正态分布的概率密度知=-3，=2由Y=X-N(0，1),所以Y=3+X2N（0,1）。习题2已知Xf（x）=2x，0x10,其它，求PX0.5;PX=0。5；F(x)。解答：PX0.5=0。5f(x)dx=00dx+00.52xdx=x200.5=0.25,PX=0.5=PX0.5PX0.5=-0。5f（x)dx-0.5f（x)dx=0.当X0时，F(x)=0;当0x1时,F（x）=xf(t)dt=-00dt+0x2tdt=t20x=x2;当X1时，F(x)=xf（t)dt=-00dt+0x2tdt+1x0dt=t201=1,故F(x)=0，x0x2,0x1.1,x1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x）=A+Be-2x,x00,x0，试求:（1)A,B的值；(2)P1X1；(3)概率密度函数F(x）。解答：(1）becauseF(+）=limx+（A+Be-2x)=1,A=1;又becauselimx0+(A+Be-2x）=F（0)=0, B=-1。（2)P1X1=F(1）F（-1)=1e-2。（3)f(x)=F（x)=2ex,x00,x0。习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x）=Aex，求系数A及分布函数F(x）。解答：由概率密度函数的性质知,+f(x）dx=1,即 -+Aexdx=1,而+Aexdx=0Aexdx+0+Ae-xdx=Aex0+（Ae-x0+）=A+A=2A或-+Ae-xdx=20+Ae-xdx=2Aex0+=2A,所以2A=1,即A=1/2.从而f(x）=12e-x，-x+,又因为F（x)=xf(t)dt，所以当xc=PXc；（2)设d满足PXd0。9,问d至多为多少?解答：因为XN(3，22)，所以X-32=ZN（0,1）.（1）欲使PXc=PXc,必有1-PXc=PXc，即PXc=1/2，亦即(c32)=12，所以 c-32=0,故c=3.（2）由PXd0.9可得1-PXd0。9，即 PXd0。1.于是(d32)0.1,（3d2）0。9.查表得3d21.282,所以d0.436。习题8设测量误差XN(0，102），先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率.解答：先求任意误差的绝对值超过19。6的概率p，p=PX19。6=1-PX19。6=1PX101。96=1（1.96)-（-1。96) =1-2（1。96)-1=1-20。9751=10.95=0.05。设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数，则Yb（100，0。05).因为n很大，p很小,可用泊松分布近似,np=5=,所以PY3150e-50！-51e-51!-52e52！=1-372250.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N（4000,3600)。假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则XN（4000，3600)。设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得PXx=0。1，即 1-PXx=0.1，所以1F(x）=0.1,即1（x-400060)=0。1,所以(x-400060）=0。9.查标准正态人分布表得（1。28)=0.8997，因此x-4000601.28,即x=4077件，就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上。习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压，以mmHG计)服从N（110,122).在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X.（1）求PX105,P100x0.005.解答:已知血压XN(110,122)。(1）PX105=PX11012-5121(0.42）=0。3372,P100X120=（120-11012)-（100-11012）=(0.833)（0.833)=2(0.833)-10.595.(2)使PXx0.05，求x,即1PXx0.05,亦即(x-11012）0。95，查表得x100121。645，从而x129。74.习题11设某城市男子身高XN(170，36)，问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答：XN（170,36),则X-1706N（0,1）。设公共汽车门的高度为xcm，由题意PXx0.01,而PXx=1PXx=1-(x1706）2。33,故x183.98cm。因此,车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于0。01.习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟）服从正态分布N（40,102）；第二条路程较长,但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N（50,42),求:(1)若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线？(2）若动身时离开车时间只有45分钟,应走哪一条路线？解答：设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则XN(40,102）,YN(50,42)。哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.（1)因为PX60=（60-4010)=(2）=0.97725,PY60=（60-504)=（2。5)=0。99379,所以有60分钟时应走第二条路.（2）因为PX45=（45-4010)=（0。5）=0。6915，PX45=(45-504）=(-1.25)=1-(1。25）=1-0。8925=0。1075所以只有45分钟应走第一条路.2.5 随机变量函数的分布习题1已知X的概率分布为X2-10123pi2a1/103aaa2a试求:(1)a；(2）Y=X2-1的概率分布。解答：（1）because2a+1/10+3a+a+a+2a=1,a=1/10.(2)Y1038pi3/101/53/101/5习题2设X的分布律为PX=k=12k，k=1，2，求Y=sin2X的分布律。解答：因为sinxn2=1，当n=4k-10,当n=2k-1，当n=4k3，所以Y=sin(2X)只有三个可能值-1，0,1.容易求得PY=-1=215，P=0=13,PY=1=815故Y的分布律列表表示为Y101P21513815习题3设随机变量X服从a,b上的均匀分布，令Y=cX+d(c0)，试求随机变量Y的密度函数。解答：fY(y）=fX(y-dc)1c,ay-dcb0,其它，当c0时，fY(y)=1c（ba），ca+dycb+d0,其它,当c0时,fY(y）=1c(ba),cb+dyca+d0,其它。习题4设随机变量X服从0,1上的均匀分布，求随机变量函数Y=eX的概率密度fY（y).解答:f（x)=1,0x10,其它,f=ex,x（0，1）是单调可导函数,y（1，e)，其反函数为x=lny,可得f（x)=fX(lny)lny,1ye0，其它=1y,11时)=P-y12Xy12=y-12y-1212ex2dx，所以fY（y)=FY(y）=22e12y12122y1,y1，于是fY(y）=12（y1)e-y-14，y10，y1.习题6设连续型随机变量X的概率密度为f（x）,分布函数为F(x）,求下列随机变量Y的概率密度：（1）Y=1X；(2）Y=X.解答：(1)FY（y）=PYy=P1/Xy。当y0时,FY（y）=P1/X0+P01/Xy=PX0+PX1/y=F(0)+1F（1/y),故这时fY(y)=F(1y)=1y2f（1y)；当y0时,FY(y）=P1/yX00，y0。习题7某物体的温度T(F)是一个随机变量, 且有TN(98.6,2）,已知=5(T-32)/9，试求（F）的概率密度。解答：已知TN（98.6，2）。=59（T32)，反函数为T=59+32，是单调函数，所以f（y）=fT（95y+32)95=122e（95y+3298。6)2495 =910e81100(y37)2。习题8设随机变量X在任一区间a，b上的概率均大于0，其分布函数为FY(x)，又Y在0,1上服从均匀分布,证明：Z=FX1(Y)的分布函数与X的分布函数相同。解答：因X在任一有限区间a,b上的概率均大于0，故FX(x)是单调增加函数,其反函数FX1（y）存在，又Y在0,1上服从均匀分布,故Y的分布函数为FY（y）=PYy=0,y0y，0y11，y0,于是，Z的分布函数为FZ（z）=PZz=PFX-1（Y）z=PYFX（z）=0，FX(z)1由于FX(z）为X的分布函数,故0FX（z）1.FX(z)1均匀不可能，故上式仅有FZ（z）=FX（z)，因此，Z与X的分布函数相同.总习题解答习题1从120的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k成正比,求取到偶数的概率。解答：设Ak为取到整数k,P（Ak)=ck，k=1，2，,20。因为P（K=120Ak)=k=120P(Ak)=ck=120k=1，所以c=1210,P取到偶数=PA2A4A20=1210（2+4+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7,求射击10炮，（1）命中3炮的概率；（2）至少命中3炮的概率；（3)最可能命中几炮.解答:若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数。 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型,X服从二项分布，其参数为n=10,p=0.7,故(1)PX=3=C103（0.7）3(0.3）70。009;（2)PX3=1PX3=1-C100(0。7)0(0.3)10+C101（0.7）1（0.3)9+C102(0。7）2(0.3)80.998；(3)因Xb(10,0。7）,而k0=(n+1)p=（10+1)0.7=7.7=7，故最可能命中7炮。习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0。002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费,而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求：（1）保险公司亏本的概率;(2）保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.解答：1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为2500120元=30000元。设1年中死亡人数为X,则Xb（2500，0.002)，则保险公司在这一年中应付出200000X（元），要使保险公司亏本，则必须200000X300000即X15(人).因此，P保险公司亏本=PX15=k=162500C2500k（0.002)k(0。998）2500k1k=015e55kk！0。000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P保险公司获利不少于100000元=P300000-200000X100000=PX10=k=010C2500k（0.002）(0。998)2500kk=010e-55kk！0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98以上. P保险公司获利不少于200000元=P300000200000X200000=PX5=k=05C2500k（0。002)k(0。998)2500kk=05e55kk!0.615961,即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%.习题4一台总机共有300台分机,总机拥有13条外线,假设每台分机向总机要外线的概率为3， 试求每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数.解答：设分机向总机要到外线的台数为X,300台分机可看成300次伯努利试验，一次试验是否要到外线. 设要到外线的事件为A,则P(A)=0.03,显然Xb(300，0.03)，即PX=k=C300k（0。03)k(0。97)300k（k=0，1,2,，300)，因n=300很大,p=0。03又很小, =np=3000.03=9,可用泊松近似公式计算上面的概率。 因总共只有13条外线,要到外线的台数不超过13，故PX13k=0139kk！e90.9265,（查泊松分布表）且同时向总机要外线的分机的最可能台数 k0=(n+1）p=3010.03=9。习题5在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数t2的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）,求：(1）某一天从中午12至下午3时没有收到紧急呼救的概率；（2)某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率.解答：（1）t=3，=3/2,PX=0=e-3/20。223;（2)t=5,=5/2,PX1=1-PX=0=1-e-5/20。918.习题6设X为一离散型随机变量，其分布律为X-101pi1/21-2qq2试求：(1)q的值；（2）X的分布函数.解答：(1）because离散型随机变量的概率函数PX=xi=pi，满足ipi=1,且0pi1，1/2+1-2q+q2=1012q1q21,解得q=11/2。从而X的分布律为下表所示：X101pi1/22-13/2-2（2)由F(x)=PXx计算X的分布函数F(x）=0，1/2,21/2，1，x-11x00x/2则A=，PX/6=。解答：应填1；1/2.由分布函数F（x)的右连续性,有F(2+0)=F(2)A=1。因F（x)在x=6处连续，故PX=6=12，于是有PX6=P-6X6=P60时，由题设知PxXx+x/X=x+o(x),而PxXx+x/X=PxXx+x，XxPXx=PxXx+x1PXx=F(x+x)F(x)1F（x）,故F（X+x)F（x)1-F（x)=x+o(x），即F（x+x)F(x）x=1F（x)+o(x)x，令o(x）0，得F（x)=1-F（x)。这是关于F（x)的变量可分离微分方程，分离变量dF(x)1F(x)=dx,积分之得通解为C1F(x)=ex（C为任意常数）。注意到初始条件F(0)=0，故C=1。于是F(x）=1e-x，x0,0，故X的分布函数为F(x)=0,x01ex,x0（0)，从而电子管在T小时内损坏的概率为PXT=F（T)=1-e-T.习题9设连续型随机变量X的分布密度为f(x）=x，0x12x,1x20,其它，求其分布函数F（x）.解答:当x0时，F(x）=-x0dt=0;当0x1时，F（x)=xf(t）dt=00tdt+0xtdt=12x2；当12。习题10某城市饮用水的日消费量X（单位:百万升）是随机变量,其密度函数为：f(x）=19xe-x3,x00,其它,试求：(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率；（2)水日消费量介于600万升到900万升的概率。解答：先求X的分布函数F(x)。显然,当x0时,F(x)=0，当x0时有F（x）=0x19tet3dt=1(1+x3）e-x3故F(x)=1-（1+x3)ex3，x00,x0，所以PX6=1-PX6=1P（X6=1F(6） =1-1-（1+x3）e-x3x=6=3e-2，