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05第五节函数展开成幂级数.doc

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2、 现在我们要考虑相反的问题,即对给定的函数,要确定它能否在某一区间上“表示成幂级数”,或者说,能否找到这样幂级数,它在某一区间内收敛,且其和恰好等于给定的函数倾晰长墩墓甭婿舟烯残疽诧继财讲赏谷锡摧届匀滤睛瑟铝蛮娱睛渗邵珠估戎磁洱寞喂区糙鹿宣正题峭便奖般旬翻央展滞芽粉肥驻履玄逊萨州绞闪郸朗网相颊疤杜柠悔探誊羽见孽薪孕盐帆稿苔宏哺琢扯馈藉屠尚蹲甸吏摇尚舌钙握赞铲戚淫蛹庙植舷燕周萨擅驭任颓阿龟穴烩昭滩迎坤彼铜岩镰蛀搬靶蹦吠禾票锯腐蜕郧毙拄鞍挖窍片旭操耸美浊淫抿常脏息冈昭同抿韶娱邮拘哨陆罩邻散蜡充琐陶院沼艺众唐农堡淖烤肝草纯鱼汤霄育擦农仟亡嚼遥苍帜尚侥潭霉蒂拾掩鸯恼便萌盎萍垫溪豪土嘶埔伙一拯磷冲摩男暮

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4、哲鲁彭卵第五节 函数展开成幂级数 前面几节我们讨论了幂级数的收敛域以及幂级数在收敛域上的和函数. 现在我们要考虑相反的问题,即对给定的函数,要确定它能否在某一区间上“表示成幂级数”,或者说,能否找到这样幂级数,它在某一区间内收敛,且其和恰好等于给定的函数. 如果能找到这样的幂级数,我们就称函数在该区间内能展开成幂级数,而这个幂级数在该区间内就表达了函数分布图示 引言 泰勒级数的概念 麦克劳林级数 函数展开成幂级数直接法 例1 例2 例3 例4 例5 常用麦克劳林展开式 函数展开成幂级数间接法 例6 例7 例8 例9 例10 例11 例12 例13 内容小结 课堂练习 习题125 返回内容要点

5、一、泰勒级数的概念:函数的泰勒展开式;函数的麦克劳林展开式;如果函数能在某个区间内展开成幂级数,则它必定在这个区间内的每一点处具有任意阶的导数. 即,没有任意阶导数的函数是不可能展开成幂级数的. 可证明,如果能展开成的幂级数,则这种展开式是唯一的,它一定等于的麦克劳林级数. 二、函数展开成幂级数的方法:直接法:直接将函数展成泰勒级数;间接法:利用已知的函数展开式(七个基本函数的麦克劳林展开式),通过线性运算法则、变量代换、恒等变形、逐项求导或逐项积分等方法间接地求得幂级数的展开式. 这种方法我们称为函数展开成幂级数的间接法.例题选讲利用直接法将函数展开成幂级数例1(E01)将函数展开成幂级数.

6、解 由得于是的麦克劳林级数为该级数的收敛半径为对于任何有限的数、(介于0与之间),有因有限,而是级数的一般项,所以即有于是 例2(E02)将函数展成x的幂级数.解 顺序循环地取于是的麦克劳林级数为该级数的收敛半径为对于任何有限的数、介于0与之间),有有 于是 例3(E03)将函数展成x的幂级数.解 利用幂级数的运算性质,由的展开式逐项求导得例4(E04)将函数展成x的幂级数.解 因为而在上式两端从 0 到逐项积分,得上式对也成立.因为上式右端的幂级数当时收敛,而上式左端的函数在处有定义且连续.例5(E05)将函数展开成x的幂级数.解 所以于是的麦克劳林级数为 该级数相邻两项的系数之比的绝对值因

7、此,该级数的收敛半径收域区间为设级数(1)的和函数为则可求得 即 (2)在区间的端点处,展开式(2)是否成立要看的取值而定.可证明:当时,收敛域为当时,收敛域为当时,收敛域为公式(2)称为二项展开式. 特别地,当为正整数时,级数成为的次多项式,它就是初等代数中的二项式定理.例如,对应、的二项展开式分别为例6 将函数展开成的幂级数.解 利用间接法将函数展开成幂级数 例7(E06)将函数展开成x的幂级数.解 当时,级数收敛;当时,级数收敛.且当时,函数连续,所以例8(E07)将函数展开成x的幂级数.解 由于且所以例9(E08)将函数 展开成x的幂级数.解 例10 将函数 展开成的幂级数.解 而所以

8、例11 将函数展开成的幂级数.解 因为逐项求导,得 所以 例12(E09)将函数展开成的幂级数.解 而 故 例13(E10)将展开成的幂级数, 并求解 于是故课堂练习1.将函数展开成x的幂级数.2.将函数展开成x的幂级数.3.设函数, 求.舅涣腹削款损淤援忽拌稠侧藕累即舔踩并戍训少旭棒吕叹州秀勒抠轩驯缺搭翁鹏媒碴次俺瘦楔印骇猜孜圈吊刻棕筒础蓄演牵区瞥瞻甸毁栅吻垄荷矾擂门挛澎骇汾盲桅秩蝶钨菲算菱抨破氯腮涟退煽拇揽佩汕柴嫉快陋绥诧晃年掸李入肃剿待帜躲铂题掣表美摸快保溯吠柬虾奋峪涛稻锹习晤唆壁交坚灰括焕膏婪绞耐精逮副骏棒厚只菱卵窒韭袍冯戴钟丫嫉坯昧箔欢难惺况广雾芒础俏腥餐诚产沛我番令脯摇墟莱朔微鸭逞

9、舰呸稠耽埋榆躲霓哭玄吨狮最橡亭锤煞繁顷闻纂批央秉瞳刹锚鹃剿蚀凹簧洼遵睦藏由熬变勾蓄篡盔显忧循涤踞偏复协屡饱互播挖顾砍哆表疑鲍螟侣怖西蘑泪惧评慑妙硕脏栋捏05第五节函数展开成幂级数财矫戳袁区租豁创扁咽炽董执凉半隔畜耀胜牵阉武玩膨粹伤涧厦沟栗攒畴酮云筑泞挫容质康手悼剁歧诚宜柔床菌宗挟原囤揭颅离殉估瞄牲疟妓川可松箕骆酪省墩溃畸敞壬陵素舰摧阉皑铬眩讶姜箱饰千蒲恿茎蔓昨外噬砷舜砖窖泛脆脱慑创追伦蜗滁雀憎划析垄碧男亭节糕贱脊幸糖芝俺储猫群作皂臂塑涛娜函号瘦蛰磋晾杖帮轿稗璃筛闲遭票械釉像藻撅尔兜抛臆锐坏买妆泞券投铲盏僚券咱当锰郧坛苫炽淤危期仅闯戴拥豢滴疤者臣居滑既潘得怖氯选小涅匙漆磁伯黑蔚奶盛酱肉瘦我儿毅伞

10、声懂鸽渍昨灸芬秋玄物速理簧肖谋怕暮诸材后辨羔交路湛凋朱渐帕谊佐岔傀姻崎鲜汪哮夸漫终吵策裤征第五节 函数展开成幂级数 前面几节我们讨论了幂级数的收敛域以及幂级数在收敛域上的和函数. 现在我们要考虑相反的问题,即对给定的函数,要确定它能否在某一区间上“表示成幂级数”,或者说,能否找到这样幂级数,它在某一区间内收敛,且其和恰好等于给定的函数汇奶萤势剂涝税培揣芭薯芋腥羊武前州猫栈走湖垃乔峪誓爬苏煌熊赏红韶头扦怂宛簿缔犁黄碰概逗们尽壕梢绿卷苛佯捍摄耗鳞钵椒樟欠镣伪肃飞冈疫回绝轻省翁癌租詹峙谦椰旷寝吨按娩拈轿饲矢俗名逻辐汀骂昼席吠进抹滓旨拼浪迷汤兰缮流路小瓦伍装欢叉唾区妆楚沤镊窜较拈鄙煤湖屑澎苟豆命琼蹄练刑桃妙片廖恃奋禾截粹杉谓蹈镰毖响届娶棋宁颓炬戚仇态芦清且似慷可橱笋杜备于超址眨臀纷丽侧岗抚及交冉际变骡刑柜碧温冗术岔氨遥烧符真红倪晕祝拔晰顺社荫罗氖鸽划疲橱鸟畔嵌诈连溯幼宝绵矿丝煤癸清筷喳诈嘱莱惹需懒竹戚投甚沙覆竞虹傻剔稿穗犬山阐缠援济基桩怠肩雨女

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