立体几何大二轮复习的策略教学内容.doc

立体几何大二轮复习的策略

立体几何的解题思路
四川省成都第七中学 张世永 巢中俊 周建波
《高中数学课程标准》建议：立体几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言.教师可以使用具体的长方体的点、线、面关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说明，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。
理科学生不仅要掌握必修2《立体几何初步》，还要掌握选修2-1《空间中的向量与立体几何》.文科学生要求掌握必修2《立体几何初步》，为了更好地解答立体几何问题，建议教师补充讲授选修2-1《空间中的向量与立体几何》中的坐标法，让文科学生能熟练地使用坐标法，而对空间中的向量的其它知识不做介绍，以免加重文科学生的负担。另外，文科学生不要求掌握求二面角的问题。
一.求解空间三类角：两直线所成角、直线与平面所成角、二面角，关键是转化为空间两直线所成角，常常要借助于平面的法向量.要善于一题多变.
例1．（1）已知直线所成角为，经过空间中一点P作直线l，使直线l与a、b所成角均为，则这样的直线l有几条？
解：经过点P作直线m//a, n//b, 则直线所成角为或, 点P作直线的两条角平分线，其中有一条与所成角均为，另一条与所成角均为，把这条角平分线沿着点P旋转可以得到两条直线与所成角均为，从而与a、b所成角均为的直线有三条.
问题的推广：已知直线所成角为，经过空间中一点P作直线l，使直线l与a、b所成角均为，这样的直线l有四条，则角应满足什么条件？有两条呢？有一条呢？有零条呢？
答案：有四条时，；有两条时，；有一条时，;有零条时，.
变式：（1）已知直线与平面所成角的大小为，经过空间中一点P作直线l，使直线l与直线a和平面所成角均为，则这样的直线l有几条？
（2）已知平面与平面所成锐二面角的大小为，经过空间中一点P作直线l，使直线l与平面和平面所成角均为，则这样的直线l有几条？
(3)正三棱锥P—ABC中，CM=2PM，CN=2NB，对于以下结论：
①二面角B—PA—C大小的取值范围是（，π）；
②若MN⊥AM，则PC与平面PAB所成角的大小为；
③过点M与异面直线PA和BC都成的直线有3条；
④若二面角B—PA—C大小为，则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条． 正确的序号是 ．
解：(1) 经过点P作平面的法向量，则问题转化为 “已知直线所成角为或，经过点P作直线l，使直线l与所成角均为，则这样的直线l有几条？”由例1容易得到这样的直线l有两条.
(2) 经过点P作平面的法向量，平面的法向量，则问题转化为 “已知直线所成角为或，经过点P作直线l，使直线l与所成角均为，则这样的直线l有几条？”由例1容易得到这样的直线l有一条.
(3)仿照（1）（2）可以得到答案① ② ④
二.高考中有较大部分题都可以转化为以正方体为背景的问题，为此新编以正方体为背景的系列题：相同条件为“正方体棱长为1”.
1. 正方体棱长为1，E,F是BD上的动点，且.
（1）当E在BD中点时，F恰在B点，求二面角大小；
（2）当EF在BD上运动时，该二面角是否发生变化？
解：（1）取中点O,易知,设二面角大小为.
二面角大小为
（2）由（1）中求二面角的方法可知，无论EF在BD上的什么位置，
二面角的大小不变.
2. 正方体棱长为1，P为的四等分点，
Q为中点，O为平面的中心.
（1）求证：OC与PQ共面；
（2）求:平面OPQC与平面的夹角.
（1）证明：取中点H，连结BH,HQ.
易证,又中位线，
OC与PQ共面.
（2） 连结OQ,过O作,连结MH

为面OPQC与面的夹角.

三.高考中有一部分题都是以三棱柱为背景的问题，为此新编以三棱柱为背景的系列题.
例3．斜三棱柱的底面是等腰三角形，AB=AC，上底面的顶点在下地面的射影是的外心，棱柱的侧面积为
（1） 证明：侧面和为菱形，是矩形；
（2） 求棱柱的侧面所成的三个二面角的大小；
（3） 求棱柱的体积
（1）证明：,
又的外心为O,AB=AC,
四边形是矩形.
,又为正三角形.
四边形为菱形，同理,可证四边形为菱形.
（2）

过B作BD，则D为中点，
又的三内角即为所求
为正三角形，三个二面角均为

或
四.高考中有一部分题都是以三棱锥为背景的问题，为此新编以三棱锥为背景的系列题.
例4．已知三棱锥P-ABC，与 都是边长为的等腰三角形，AB=2,D为AB中点.
（1） 求证;（2）求三棱锥P-ABC体积.
（1）证明：又D为AB中点，AB=2.

（2）D为AB中点，AB=2，
同理，

五.高考中的补形问题
1.将正四面体补形成正方体

解析：选A

六．考试模式
例1.（理科）已知正四棱锥所有棱长为4，是侧棱上一点，且，过点垂直于的平面截该正四棱锥，则该平面与这个正四棱锥的截面面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案 C
（文科）已知正三棱锥所有棱长为4，是侧棱上一点，且，过点垂直于的平面截该正三棱锥，则该平面与这个正三棱锥的截面面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案 C

例2..某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
A B 5 C D

答案 D

例3. 具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角等于，已知内的曲线的方程是，曲线在内的射影在平面内的曲线方程为,则_____________
答案 4

例4.如图，直角三角形中，点在斜边上，且是平面同一侧的两点，平面平面
⑴ 求证：平面平面
⑵（理科） 点在线段上，且二面角的余弦值为，求的长度.
⑵ （文科）点在线段上，异面直线与所成角的余弦值为求的长．

证明：（Ⅰ）∵直角三角形ABC中，∠BAC=60°，AC=4，
∴AB=8，AF=AB=2，由余弦定理得CF=2且CF⊥AB．
∵AD⊥平面ABC，CF⊂平面ABC，
∴AD⊥CF，又AD∩AB=A，∴CF⊥平面DABE，
∴CF⊥DF，CF⊥EF．
∴∠DFE为二面角D﹣CF﹣E的平面角．
又AF=2，AD=3，BE=4，BF=6，
故Rt△ADF∽Rt△BFE．∴∠ADF=∠BFE，∴∠AFD+∠BFE=∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠DFE=90°，D﹣CF﹣E为直二面角．∴平面CDF⊥平面CEF．
（建系求解，只要答案正确，也给分）
解：（2）（理科）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，设
∴
则面DMF的法向量：
同理可知：面CDM的法向量
由，则 或
经检验，时二面角的余弦值为
不合题意
所以
（2）（文科）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，
则C（0，0，0），B（0，4，0），E（0，4，4），
F（3，，0），M（0，a，0），（0≤a≤4）
∴=（3，，0），=（0，a﹣4，﹣4），
∵异面直线CF与EM所成角的余弦值为，
∴=，解得
故

例5.（理科）如图，矩形所在的平面与等边所在的平面垂直，，为的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
（I）证：连接,，因为，是的中点，故. …1分
又因为平面平面，面面，面，
故平面. …………………2分
因为面，于是. ……………………3分
又矩形，，所以. ……………4分
又因为，故平面， ………………5分
所以. ………………6分

（Ⅱ）由（I）得，，取的中点，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系。因为，所以，，于是有， ………………7分
从而，，
设平面的法向量，由 ………………8分
得得， ………………9分
同理，可求得平面的一个法向量， ………………10分
设的夹角为，则， ………………11分
由于二面角为钝二面角，所以所求余弦值为. ………………12分

（文科）已知四边形为平行四边形，，，，四边形为正方形，且平面平面．
（1）求证：平面；
（2）若为中点，证明：在线段上存在点，使得∥平面，并求出此时三棱锥的体积．

解：(1)证：正方形ABEF中，AF⊥AB，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，又AF平面ABEF，
平面ABEF平面ABCD=AB， ………………1分
∴AF⊥平面ABCD． ………………2分
又∵BD平面ABCD，
∴AF⊥BD． ……………… 3分
又，AFAD=A，AF、AD平面ADF,
………………4分
∴平面ADF． ………………5分
(2)解：当N为线段EF中点时，MN∥平面ADF．………………6分
证明如下：正方形ABEF中，NFBA，平行四边形形ABCD中，MDBA，
NFMD，四边形NFDM为平行四边形，
MN//DF． ………………7分
又DF平面ADF，MN平面ADF，
∴MN//平面ADF， ………………8分
过D作DHAB于H，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，又DH平面ABCD，平面ABEF平面ABCD=AB，∴DH⊥平面ABEF． ………………9分
在Rt∆ABD中，AB=2，BD=AD，∴DH=1， ………………10分
所以．………………12分
张世永 成都七中高级教师，数学奥林匹克高级教练 高三备课组组长，成都市学科带头人．
巢中俊 成都七中高三骨干教师，数学奥林匹克教练
周建波 成都七中高三骨干教师