用牛顿法求解非线性方程教学内容.doc

用牛顿法求解非线性方程实验七 非线性方程求根一、实验目标1. 掌握常用的非线性方程求根算法（二分法、不动点迭代法与Newton法）及加速技术（Aitken加速与Steffsen加速）.2. 会编写计算机程序实现给定迭代函数的迭代算法及其加速；掌握迭代算法的精度控制方法.二、实验问题求代数方程 的实根.三、实验要求1方程有一个实根：. 将方程以下面六种不同方式等价地改写，构造迭代格式，计算 :(a) , (b) , (c) ,(d) (e) , (f) .2. 对每一种迭代格式，编制一个程序进行运算，观察每种格式的敛散情况；用事后误差估计来控制迭代次数，并且输出迭代的次数；观察不同初值的结果.3. 从理论上分析各种格式的收敛性及收敛阶.4. 将收敛较慢的一种格式分别用Atken 方法及 Steffsen 方法加速，通过输出结果了解加速效果.5. 将一种不收敛的方法用Steffsen 方法加速得到收敛的迭代.附录一：数值分析实验报告（模板）【实验课题】 用牛顿迭代法求非线性方程根 【实验目标】明确实验目标1. 掌握常用的非线性方程求根算法（二分法、不动点迭代法与Newton法）及加速技术（Aitken加速与Steffsen加速）.2. 会编写计算机程序实现给定迭代函数的迭代算法及其加速；掌握迭代算法的精度控制方法.3探索不同方式改写方程的收敛程度【理论概述与算法描述】1. 牛顿法 设已知方程f(x)=0有近似根 xk,将函数f(x)在点xk展开，有 f(x)=f(xk)+f(xk)(x-xk),于是方程可表示为 f(xk)+f(xk)(x-xk)=0, 这是个线性方程，记其根为x(k+1), 则x(k+1)=xk-f(xk)/f(xk),这就是牛顿迭代法求根.2. 埃特金加速收敛方法 设是根的某个近似值，用迭代一次得，而由微分中值定理，有 其中介于和之间。假设改变不大，近似地取某个近似值L，则有 若将校正值再迭代一次，又得由于将它与前面的式子联立，消去未知的L，有 由此推知 ，记 称为埃特金加速方法。3. 斯特芬森迭代法 将埃特金加速技巧与不动点迭代结合，则可得到如下的迭代法 即为斯特芬森迭代法【实验问题】 1.求代数方程 的实根.2方程有一个实根：. 将方程以下面六种不同方式等价地改写，构造迭代格式，计算 :(a) , (b) , (c) ,(d) (e) , (f) .3. 对每一种迭代格式，编制一个程序进行运算，观察每种格式的敛散情况；用事后误差估计来控制迭代次数，并且输出迭代的次数；观察不同初值的结果.4. 从理论上分析各种格式的收敛性及收敛阶.5. 将收敛较慢的一种格式分别用Atken 方法及 Steffsen 方法加速，通过输出结果了解加速效果.6. 将一种不收敛的方法用Steffsen 方法加速得到收敛的迭代.【实验过程与结果】1. 用matlab编程计算代数方程的根2. 分别编写6个迭代法编程，对结果进行分析【结果分析、讨论与结论】迭代公式1：x1 = 2.0000 1.5000 2.0000 1.5000 2.0000 1.5000 2.0000 1.5000 2.0000 1.5000 2.0000 1.5000 2.0000 1.5000 2.0000 1.5000 2.0000 1.5000 2.0000 1.5000迭代公式2：x2 = 1.0e+142 * 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -1.4947 -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf迭代公式3：x3 = 2.0000 3.3166 3.8665 4.0743 4.1500 4.1773 4.1871 4.1906 4.1919 4.1923 4.1925 4.1926 4.1926 4.1926 4.1926 4.1926 4.1926 4.1926 4.1926 4.1926迭代公式4：x4 = 2.0000 5.0000 0.2273 -1.6959 -40.3095 0.0031 -1.6667 -22.5018 0.0099 -1.6667 -22.5185 0.0099 -1.6667 -22.5185 0.0099 -1.6667 -22.5185 0.0099 -1.6667 -22.5185迭代公式5：x5 = 2.0000 2.3452 2.2654 2.2819 2.2784 2.2791 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790迭代公式6：x6 = 2.0000 2.3333 2.2806 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790从上述的运算结果可以看出，迭代公式1、2、4不收敛，3虽然收敛，但与其他迭代法的结果差异太大，对5和6分别用埃特金加速和斯特芬森迭代得到结果如下：对于5埃特金加速结果：B = 2.0000 2.2804 2.2791 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 0斯特芬森迭代结果：x = 2.0000 2.1547 2.2792 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790对于6埃特金加速结果：B = 2.0000 2.2878 2.2790 2.2790 2.2790 2.2790斯特芬森迭代结果：x = 2.0000 2.1544 2.2838 2.27902.2790从以上结果可以看出，埃特金加速方法和斯特芬森迭代法确实可以加快收敛速度，且在此题的情况下，两种方法的加速效果差不多，但埃特金加速方法较斯特芬森迭代法来说更为简单易理解，运算步骤也少一些，因此对于此题，我们可以选用埃特金加速方法。【附程序】function k,x,da,g= newton(x0,tol)k=1;g1=fun1(x0);g2=fun2(x0);x1=x0-g1/g2;while abs(x1-x0)tol x0=x1; g1=fun1(x0); g2=fun2(x0); k=k+1; x1=x0-g1/g2;endk;x=x1;da=abs(x1-x0)/2;g=fun1(x);endfunction g1=fun1(x)g1=x3-3*x-5;endfunction g2=fun2(x)g2=3*x2-3;endfunction g1=fun1(x)g1=x3-3*x-5;endfunction x=Aitken(A);n=length(A);x=zeros(n,1);t=0;x(1)=A(1);for i=1:n-2 x(i+1)=A(i)-(A(i+1)-A(i)2)/(A(i)-2*A(i+1)+A(i+2);endfunction x=Steffsen(A,B)n=length(B);x=zeros(n,1);x(1)=B(1);for i=2:n x(i)=A(i)-(B(i-1)-A(i)2)/(B(i)-2*B(i-1)+A(i);end%构造迭代算法x=(3*x+5)/(x2)function x=diedai1(x0,tol,N)%x0 是初值，tol为迭代精度，N是迭代最大次数x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;while k=N for i=2:N x(i)=(3*x(i-1)/(x(i-1)2); end k=k+1; t=x(i)-x(i-1); if abs(t)=tol break; endend%构造迭代算法x=(x3-5)/3function x=diedai2(x0,tol,N)%x0 是初值，tol为迭代精度，N是迭代最大次数x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;while k=N for i=2:N x(i)=(x(i-1)3-5)/3; end k=k+1; t=x(i)-x(i-1); if abs(t)=tol break; endend%构造迭代算法x=(3*x+5)(1/3)function x=diedai3(x0,tol,N)%x0 是初值，tol为迭代精度，N是迭代最大次数x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;while k=N for i=2:N x(i)=(3*x(i-1)+5)(1/2); end k=k+1; t=x(i)-x(i-1); if abs(t)=tol break; endend%构造迭代算法x=5/(x2-3)function x=diedai4(x0,tol,N)%x0 是初值，tol为迭代精度，N是迭代最大次数x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;while k=N for i=2:N x(i)=5/(x(i-1)2-3); end k=k+1; t=x(i)-x(i-1); if abs(t)=tol break; endend%构造迭代算法x=sqrt(3+5/x)function x=diedai5(x0,tol,N)%x0 是初值，tol为迭代精度，N是迭代最大次数x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;while k=N for i=2:N x(i)=sqrt(3+5/x(i-1); end k=k+1; t=x(i)-x(i-1); if abs(t)=tol break; endend%构造迭代算法x=x-(x3-3*x-5)/(3*(x2-1)function x=diedai6(x0,tol,N)%x0 是初值，tol为迭代精度，N是迭代最大次数x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;while k=N for i=2:N x(i)=x(i-1)-(x(i-1)3-3*x(i-1)-5)/(3*(x(i-1)2-1); end k=k+1; t=x(i)-x(i-1); if abs(t)=tol break; endend