抛物线的焦点弦-经典性质及其证明过程讲课讲稿.doc

有关抛物线焦点弦问题的探讨
过抛物线(p>0)的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A、B两点

结论1：

结论2：若直线L的倾斜角为，则弦长
证: (1)若 时,直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径,
(2)若时,设直线L的方程为：即 代入抛物线方程得由韦达定理
由弦长公式得
结论3： 过焦点的弦中通径长最小
的最小值为,即过焦点的弦长中通径长最短.
结论4：

结论5： (1) (2) x1x2=
证
结论6：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA1， 过B点作准线的垂线BB1，
过M点作准线的垂线MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知
故结论得证
结论7：连接A1F、B1 F 则 A1FB1F

同理 A1FB1 F
结论8：（1）AM1BM1 （2）M1FAB （3）
（4）设AM1 与A1F相交于H ，M1B与 FB1相交于Q 则M1，Q，F ，H四点共圆
（5）
证：由结论（6）知M1 在以AB为直径的圆上 AM1BM1
为直角三角形， M1 是斜边A1 B1 的中点

M1FAB
AM1BM1
所以M1，Q，F,H四点共圆，

结论9： （1）O、B1 三点共线 （2）B，O，A1 三点共线
（3）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于X轴
（4）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于X轴
证：因为，而
所以所以三点共线。同理可征（2）（3）（4）
结论10：
证：过A点作AR垂直X轴于点R，过B点作BS垂直X轴于点S，设准线与轴交点为E,
则
同理可得
结论11：
证:

(4)

x1x2= 假设

结论12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则

推广与深化：
深化 1：性质5中，把弦AB过焦点改为AB过对称轴上一点E（a,0），则有．
　　证：设AB方程为my=x-a，代入．得：，∴．
　深化2： 性质12中的条件改为焦点弦AB不垂直于x轴，AB的中垂线交x轴于点R，则

证明：设AB的倾斜角为a，直线AB的方程为：，
　　代入得：，
　　即：．
　　由性质1得
，
又设AB的中点为M，则，
　　∴，
　　∴．

　　深化3：过抛物线的焦点F作n条弦，且它们等分周角2π，则有
　　（1）为定值； （2）为定值．
　　证明：（1）设抛物线方程为．
　　由题意，
　　所以，
　　同理
　　易知，
　　∴．
　　（2）∵，

　　∴，
　　∴．

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