抛物线的焦点弦-经典性质及其证明过程讲课讲稿.doc

有关抛物线焦点弦问题的探讨 过抛物线(p0)的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A、B两点 结论1：结论2：若直线L的倾斜角为，则弦长证: (1)若 时,直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径,(2)若时,设直线L的方程为：即 代入抛物线方程得由韦达定理由弦长公式得结论3： 过焦点的弦中通径长最小 的最小值为,即过焦点的弦长中通径长最短.结论4： 结论5： (1) (2) x1x2= 证 结论6：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA1， 过B点作准线的垂线BB1， 过M点作准线的垂线MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 故结论得证 结论7：连接A1F、B1 F 则 A1FB1F 同理 A1FB1 F结论8：（1）AM1BM1 （2）M1FAB （3）（4）设AM1 与A1F相交于H ，M1B与 FB1相交于Q 则M1，Q，F ，H四点共圆（5）证：由结论（6）知M1 在以AB为直径的圆上 AM1BM1 为直角三角形， M1 是斜边A1 B1 的中点 M1FAB AM1BM1 所以M1，Q，F,H四点共圆， 结论9： （1）O、B1 三点共线 （2）B，O，A1 三点共线 （3）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于X轴（4）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于X轴证：因为，而所以所以三点共线。同理可征（2）（3）（4）结论10： 证：过A点作AR垂直X轴于点R，过B点作BS垂直X轴于点S，设准线与轴交点为E,则 同理可得 结论11： 证: (4) x1x2= 假设 结论12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则 推广与深化：深化 1：性质5中，把弦AB过焦点改为AB过对称轴上一点E（a,0），则有证：设AB方程为my=x-a，代入得：，深化2： 性质12中的条件改为焦点弦AB不垂直于x轴，AB的中垂线交x轴于点R，则证明：设AB的倾斜角为a，直线AB的方程为：，代入得：，即：由性质1得，又设AB的中点为M，则，深化3：过抛物线的焦点F作n条弦，且它们等分周角2，则有（1）为定值； （2）为定值证明：（1）设抛物线方程为由题意，所以，同理易知，（2），5