第1章--质点运动学与牛顿定律教学总结.doc

习题
1 选择题

1.1一质点在平面上运动,已知质点位置矢量的表达式为 r = a t2 i+ b t2 j (其中a、b为常量), 则该质点作( )
(A) 匀速直线运动
(B) 变速直线运动
(C) 抛物线运动
(D) 一般曲线运动

解 首先要判断的是质点的轨迹，由质点的位置矢量表达式 r = a t2 i+ b t2 j 知，。消去可得质点的轨迹方程为，由此可知质点的轨迹为直线。其次要判断的是状态的变化，也就是考察速度和加速度，，。由此可知质点作变速直线运动，故选。

习题1.2图
1.2 如图所示，用水平力F把木块压在竖直的墙面上并保持静止。
当F逐渐增大时，木块所受的摩擦力( )
（A）不为零， 但保持不变
（B）随F 成正比地增大
（C）开始随F 增大， 达到某一最大值后， 就保持不变
（D）无法确定

解 由题意可知物体的状态是静止，根据牛顿第二定律物体所受的合外力为零。在竖直方向上物体受重力和摩擦力两个力的作用，两个力大小相等 、方向相反。故选。
1.3一质点沿轴运动，其速度与时间的关系为：，当时，质点位于处，则质点的运动方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
解 因为质点沿轴运动，由有，通过积分得到。当时，质点位于处，可求得。故选。
1.4 质点作曲线运动，其瞬时速度为，瞬时速率为，平均速度为，平均速率为，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的? ( )
（A） （B）
（C） （D）
解 ；。故选。

1.5 以下五种运动形式中，保持不变的运动是( )
(A) 单摆的运动 (B) 匀速率圆周运动
(C) 行星的椭圆轨道运动 (D) 抛体运动
(E) 圆锥摆运动
解 保持不变表明物体所受的合外力恒定不变。单摆的运动、行星的椭圆轨道运动、圆锥摆运动合外力的大小和方向都在不断的改变；匀速率圆周运动合外力的大小不变，但方向不断地改变；作抛体运动的物体只受重力作用，大小和方向都不变，故选。

1.6 对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的( )
(A) 切向加速度必不为零。
(B) 法向加速度必不为零（拐点处除外）。
(C) 由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零。
(D) 若物体作匀速率运动，其总加速度必为零。
(E) 若物体的加速度为恒矢量，它一定作匀变速率运动。
解 对于沿曲线运动的物体，。当时，可以等于零；当时，；故选。
1.7 一运动质点在某瞬时位于矢径的端点处, 其速度大小为( )
(A) (B)
(C) (D)
解 因为 ，所以速度的大小为。故选。
1.8 水平地面上放一物体A，它与地面间的滑动摩擦系数为m．现加一恒力如图所示．欲使物体A有最大加速度，则恒力与水平方向夹角q 应满足( )
(A) sinq ＝m． (B) cosq ＝m．
(C) tgq ＝m． (D) ctgq ＝m．

习题1.8图

解 欲使物体A有最大加速度，对物体进行受力解，物体共受到三个力的作用，所受合外力是，根据牛顿第二定律
，令，可求得时物体A有最大加速度。故选。
1.9 在相对地面静止的坐标系内，A、B二船都以速率匀速行驶，A船沿x轴正向，B船沿y轴正向。今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x、y方向单位矢用、表示)，那么在A船上的坐标系中，B船的速度（以m/s为单位）为( )
(A) 2＋2 (B) -2＋2
(C) －2－2 (D) 2－2
解 这是一个相对运动的问题，要求的是船相对船的速度，由题意可知，，，故选。
1.10 如图所示，一轻绳跨过一个定滑轮，两端各系一质量分别为m1和m2的重物，且m1>m2．滑轮质量及轴上摩擦均不计，此时重物的加速度的大小为a．今用一竖直向下的恒力代替质量为m1的物体，可得质量为m2的重物的加速度为的大小a′，则( )

(A) a′= a (B) a′> a
(C) a′< a (D) 不能确定.

习题1.10图

解 对两物体进行受力解，受力；受力。根据牛顿第二定律
有，可求得；当用一竖直向下的恒力代替质量为m1的物体，可得质量为m2的重物的加速度为的大小。由此可知
a′> a，故选。

2 填空题
1.11在平面内有一运动的质点，其,分量的运动方程分别为，(SI)，t时刻其速率 =__________， 其切向加速度的大小=______________；其法向加速度的大小=_________。
解 根据可得，t时刻质点的速率为
，切向加速度的大小，法向加速度的大小。
1.12在x轴上作变加速直线运动的质点,已知其初速度为,初始位置为,加速度为a=Ct2 (其中C为常量),则其速度与时间的关系= ， 运动方程为x= 。
解 根据，通过积分可得；通过积分可得。
1.13灯距地面高度为H,一个人身高为h, 在灯下以匀速率沿水平直线行走, 如图1.2所示.则他的头顶在地上的影子M点沿地面移动的速度= 。
H
M

习题1.13图

解 建立如下坐标，设时刻影子M点在地面的位置为，人在地面的位置为，由几何关系知，将此式对求导得，因为，所以。

H
M

·
·
O
P
x
y

1.14如图,一质点P从O点出发以匀速率1作顺时针转向的圆周运动, 圆的半径1m,如图所示,当它走过圆周时, 走过的路程是 ，这段时间内的平均速度大小 ，方向是 。
·
·
O
P
x
y

习题1.14图

解 质点P从O点出发以匀速率1作顺时针转向的圆周运动, 当它走过圆周到达时，走过的路程是，，方向与轴成。

1.15一质点沿半径为R的圆周运动, 在t = 0时经过P点, 此后它的速率按=A+B t (A、B为正的已知常量)变化, 则质点沿圆周运动一周再经过P点时的切向加速度at= ，法向加速度an= 。
解 ，。
1.16以一定初速度斜向上抛出一个物体, 如果忽略空气阻力, 当该物体的速度与水平面的夹角为q 时，它的切向加速度的大小为= ， 法向加速度an的大小为an= 。
解 因为忽略空气阻力，物体只受重力作用，所以物体的加速度就是重力加速度，将
分解为沿速度方向和与速度垂直方向即得到。
1.17如图所示装置中，若两个滑轮与绳子的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都忽略不计，绳子不可伸长，则在外力F的作用下，物体m1和m2的加速

度为a =______________________，m1与m2间绳子的张力T =________________________。

习题1.17图

解 因为两个滑轮与绳子的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都忽略不计，绳子不可伸长，对两物体进行受力解，受力；受力。根据牛顿第二定律
有，可求得。

1.18在如图所示的装置中，两个定滑轮与绳的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都可忽略不计，绳子不可伸长，m1与平面之间的摩擦也可不计，在水平外力F的作用

下，物体m1与m2的加速度a＝______________，绳中的张力T＝_________________。

习题1.18图

解 因为两个滑轮与绳子的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都忽略不计，绳子不可伸长， 对两物体进行受力解，水平方向受力；受力。根据牛顿第二定律有，可求得。

3 计算题
1.19 已知质点位矢随时间变化的函数形式为，式中的单位为m，的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。
解 (1)由，有：，，有：
（2）而，有速率：
∴，利用 有：

1.20 一质点沿轴作直线运动,它在t时刻的坐标是，式中以米计，以秒计，试求
(1) s和s时刻的瞬时速度；
（2）第二秒内所通过的路程；
（3）第二秒内的平均加速度以及和 时刻的瞬时加速度。
解（1）由
可知 当s时 ，
当s 时
（2）令
得 s时有极值，其速度为零，质点改变运动方向，即质点的“回头”点。此时

而
则质点所经过的路程为

（3）
而
则
1.21 一质点在轴上作加速运动，开始时。若
（1）加速度，求任意时刻的速度和位置，其中,为常量；
（2）加速度，求任意时刻的速度和位置；
（3）加速度，求任意位置的速度。
解：（1）由和可依次得
速度
位置坐标
（2）由可得，
两边积分有
所以
可得 
再由可得
两边积分有
由此可得
（3）由于
于是
两边积分有
由此可得 ,故

1.22质点的运动方程为：，，，式中为正的常量。求：（1）质点运动的轨迹方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。
解 （1）质点的轨迹方程为：，，这是一条空间螺旋线。
空间螺旋线在平面上的投影，是圆心在原点，半径为R的圆，其螺距为。
（2） ，，，
∴；
（3）
∴

1.23质点在xOy平面内的运动方程为 x=3t，y=2t2+3。求：（1）t=2s时质点的位矢、速度和加速度；（2）从t=1s到t=2s这段时间内，质点位移的大小和方向；（3）s和s两时间段，质点的平均速度；（4）写出轨迹方程。
解 (1) ，，
时，，，
(2) ，，
与轴正向的夹角
(3) ，
(4) ，

1.24 质点的关系如图，图中，，三条线表示三个速度不同的运动．问（1）它们属于什么类型的运动?（2）哪一个速率小？
解（1）从图象可以看出，三条线反映的都是：与成线性关系，所以
它们属于匀速直线运动
（2）根据
可知直线的斜率越小，速率就小，所以对应的速率小。

习题1.24图

1.25质点沿轴正向运动，加速度，为常数．设从原点出发时速度为，求运动方程。
解 由于是一维运动，所以，由题意：，
分离变量并积分有： ，得：
又∵ ， 积分有：
∴
1.26 已知子弹的轨迹为抛物线，初速为，并且与水平面的夹角为。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。
解（1）抛物线顶点处子弹的速度，顶点处切向加速度为0，法向加速度为。
因此有：，
习题1.26图

（2）在落地点时子弹的速度为，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成角，则：，有： 则： 。

1.27 如图所示，质量为m的钢球A沿着中心在O、半径为R的光滑半圆形槽下滑．当A滑到图示的位置时，其速率为v ，钢球中心与O的连线OA和竖直方向成q 角，求这时钢球对槽的压力和钢球的切向加速度．
习题1.27图
解 对小球进行受力解
根据牛顿第二定律有

1.28 质量为10kg的质点在平面内运动，受一恒力作用，力的分量为，，当时，，，。当时，求：
(1) 质点的位矢；
(2) 质点的速度。
解 （1）由题意根据牛顿第二定律可以得到

又因为通过积分

得

由通过积分
所以
当时

（2）
当时

1.29质量为的子弹以速度水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。
解 由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为：
又由牛顿第二定律可得：，则
分离变量，可得：，两边同时积分，有：，
所以：
（2）子弹进入沙土的最大深度也就是的时候子弹的位移，则：
考虑到，，可推出：，而这个式子两边积分就可以得到位移：

1.30 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2．求证：
（1）它们串联起来时，总倔强系数k与k1和k2．满足关系关系式；
（2）它们并联起来时，总倔强系数k = k1 + k2．
解 当力F将弹簧共拉长x时，有F = kx，其中k为总倔强系数．
两个弹簧分别拉长x1和x2，产生的弹力分别为

F1 = k1x1，F2 = k2x2．
（1）由于弹簧串联，所以F = F1 = F2，x = x1 + x2，
因此
习题1.28图
即 ．
（2）由于弹簧并联，所以F = F1 + F2，x = x1 = x2，
因此 kx = k1x1 + k2x2，
即 k = k1 + k2．

1.31 如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．

解 珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为
珠子做圆周运动的向心力，其大小为：F = mgtgθ．
珠子做圆周运动的半径为r = Rsinθ．
根据向心力公式得F = mgtgθ = mω2Rsinθ，
可得
习题1.31图
，
解得

1.32一质量为m的小球以速率从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k．求：
（1）小球速率随时间的变化关系；
（2）小球上升到最大高度所花的时间T．
解（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为正，根据牛顿第二定律得方程

分离变量得

积分得．
当t = 0时，所以，
因此，
小球速率随时间的变化关系为
．
（2）当小球运动到最高点时，所需要的时间为
．
[讨论]（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤：
由于，所以

积分得

当t = 0时，x = 0，所以

因此

（2）如果小球以的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为

用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为

这个公式可将上面公式中的g改为-g得出．