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第1章--质点运动学与牛顿定律教学总结.doc

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习题 1 选择题 1.1一质点在平面上运动,已知质点位置矢量的表达式为 r = a t2 i+ b t2 j (其中a、b为常量), 则该质点作( ) (A) 匀速直线运动 (B) 变速直线运动 (C) 抛物线运动 (D) 一般曲线运动 解 首先要判断的是质点的轨迹,由质点的位置矢量表达式 r = a t2 i+ b t2 j 知,。消去可得质点的轨迹方程为,由此可知质点的轨迹为直线。其次要判断的是状态的变化,也就是考察速度和加速度,,。由此可知质点作变速直线运动,故选。 习题1.2图 1.2 如图所示,用水平力F把木块压在竖直的墙面上并保持静止。 当F逐渐增大时,木块所受的摩擦力( ) (A)不为零, 但保持不变 (B)随F 成正比地增大 (C)开始随F 增大, 达到某一最大值后, 就保持不变 (D)无法确定 解 由题意可知物体的状态是静止,根据牛顿第二定律物体所受的合外力为零。在竖直方向上物体受重力和摩擦力两个力的作用,两个力大小相等 、方向相反。故选。 1.3一质点沿轴运动,其速度与时间的关系为:,当时,质点位于处,则质点的运动方程为( ) (A) (B) (C) (D) 解 因为质点沿轴运动,由有,通过积分得到。当时,质点位于处,可求得。故选。 1.4 质点作曲线运动,其瞬时速度为,瞬时速率为,平均速度为,平均速率为,则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的? ( ) (A) (B) (C) (D) 解 ;。故选。 1.5 以下五种运动形式中,保持不变的运动是( ) (A) 单摆的运动 (B) 匀速率圆周运动 (C) 行星的椭圆轨道运动 (D) 抛体运动 (E) 圆锥摆运动 解 保持不变表明物体所受的合外力恒定不变。单摆的运动、行星的椭圆轨道运动、圆锥摆运动合外力的大小和方向都在不断的改变;匀速率圆周运动合外力的大小不变,但方向不断地改变;作抛体运动的物体只受重力作用,大小和方向都不变,故选。 1.6 对于沿曲线运动的物体,以下几种说法中哪一种是正确的( ) (A) 切向加速度必不为零。 (B) 法向加速度必不为零(拐点处除外)。 (C) 由于速度沿切线方向,法向分速度必为零,因此法向加速度必为零。 (D) 若物体作匀速率运动,其总加速度必为零。 (E) 若物体的加速度为恒矢量,它一定作匀变速率运动。 解 对于沿曲线运动的物体,。当时,可以等于零;当时,;故选。 1.7 一运动质点在某瞬时位于矢径的端点处, 其速度大小为( ) (A) (B) (C) (D) 解 因为 ,所以速度的大小为。故选。 1.8 水平地面上放一物体A,它与地面间的滑动摩擦系数为m.现加一恒力如图所示.欲使物体A有最大加速度,则恒力与水平方向夹角q 应满足( ) (A) sinq =m. (B) cosq =m. (C) tgq =m. (D) ctgq =m. 习题1.8图 解 欲使物体A有最大加速度,对物体进行受力解,物体共受到三个力的作用,所受合外力是,根据牛顿第二定律 ,令,可求得时物体A有最大加速度。故选。 1.9 在相对地面静止的坐标系内,A、B二船都以速率匀速行驶,A船沿x轴正向,B船沿y轴正向。今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x、y方向单位矢用、表示),那么在A船上的坐标系中,B船的速度(以m/s为单位)为( ) (A) 2+2 (B) -2+2 (C) -2-2 (D) 2-2 解 这是一个相对运动的问题,要求的是船相对船的速度,由题意可知,,,故选。 1.10 如图所示,一轻绳跨过一个定滑轮,两端各系一质量分别为m1和m2的重物,且m1>m2.滑轮质量及轴上摩擦均不计,此时重物的加速度的大小为a.今用一竖直向下的恒力代替质量为m1的物体,可得质量为m2的重物的加速度为的大小a′,则( ) (A) a′= a (B) a′> a (C) a′< a (D) 不能确定. 习题1.10图 解 对两物体进行受力解,受力;受力。根据牛顿第二定律 有,可求得;当用一竖直向下的恒力代替质量为m1的物体,可得质量为m2的重物的加速度为的大小。由此可知 a′> a,故选。 2 填空题 1.11在平面内有一运动的质点,其,分量的运动方程分别为,(SI),t时刻其速率 =__________, 其切向加速度的大小=______________;其法向加速度的大小=_________。 解 根据可得,t时刻质点的速率为 ,切向加速度的大小,法向加速度的大小。 1.12在x轴上作变加速直线运动的质点,已知其初速度为,初始位置为,加速度为a=Ct2 (其中C为常量),则其速度与时间的关系= , 运动方程为x= 。 解 根据,通过积分可得;通过积分可得。 1.13灯距地面高度为H,一个人身高为h, 在灯下以匀速率沿水平直线行走, 如图1.2所示.则他的头顶在地上的影子M点沿地面移动的速度= 。 H M 习题1.13图 解 建立如下坐标,设时刻影子M点在地面的位置为,人在地面的位置为,由几何关系知,将此式对求导得,因为,所以。 H M · · O P x y 1.14如图,一质点P从O点出发以匀速率1作顺时针转向的圆周运动, 圆的半径1m,如图所示,当它走过圆周时, 走过的路程是 ,这段时间内的平均速度大小 ,方向是 。 · · O P x y 习题1.14图 解 质点P从O点出发以匀速率1作顺时针转向的圆周运动, 当它走过圆周到达时,走过的路程是,,方向与轴成。 1.15一质点沿半径为R的圆周运动, 在t = 0时经过P点, 此后它的速率按=A+B t (A、B为正的已知常量)变化, 则质点沿圆周运动一周再经过P点时的切向加速度at= ,法向加速度an= 。 解 ,。 1.16以一定初速度斜向上抛出一个物体, 如果忽略空气阻力, 当该物体的速度与水平面的夹角为q 时,它的切向加速度的大小为= , 法向加速度an的大小为an= 。 解 因为忽略空气阻力,物体只受重力作用,所以物体的加速度就是重力加速度,将 分解为沿速度方向和与速度垂直方向即得到。 1.17如图所示装置中,若两个滑轮与绳子的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都忽略不计,绳子不可伸长,则在外力F的作用下,物体m1和m2的加速 度为a =______________________,m1与m2间绳子的张力T =________________________。 习题1.17图 解 因为两个滑轮与绳子的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都忽略不计,绳子不可伸长,对两物体进行受力解,受力;受力。根据牛顿第二定律 有,可求得。 1.18在如图所示的装置中,两个定滑轮与绳的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都可忽略不计,绳子不可伸长,m1与平面之间的摩擦也可不计,在水平外力F的作用 下,物体m1与m2的加速度a=______________,绳中的张力T=_________________。 习题1.18图 解 因为两个滑轮与绳子的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都忽略不计,绳子不可伸长, 对两物体进行受力解,水平方向受力;受力。根据牛顿第二定律有,可求得。 3 计算题 1.19 已知质点位矢随时间变化的函数形式为,式中的单位为m,的单位为s.求:(1)任一时刻的速度和加速度;(2)任一时刻的切向加速度和法向加速度。 解 (1)由,有:,,有: (2)而,有速率: ∴,利用 有: 1.20 一质点沿轴作直线运动,它在t时刻的坐标是,式中以米计,以秒计,试求 (1) s和s时刻的瞬时速度; (2)第二秒内所通过的路程; (3)第二秒内的平均加速度以及和 时刻的瞬时加速度。 解(1)由 可知 当s时 , 当s 时 (2)令 得 s时有极值,其速度为零,质点改变运动方向,即质点的“回头”点。此时 而 则质点所经过的路程为 (3) 而 则 1.21 一质点在轴上作加速运动,开始时。若 (1)加速度,求任意时刻的速度和位置,其中,为常量; (2)加速度,求任意时刻的速度和位置; (3)加速度,求任意位置的速度。 解:(1)由和可依次得 速度 位置坐标 (2)由可得, 两边积分有 所以 可得  再由可得 两边积分有 由此可得 (3)由于 于是 两边积分有 由此可得 ,故 1.22质点的运动方程为:,,,式中为正的常量。求:(1)质点运动的轨迹方程;(2)质点的速度大小;(3)质点的加速度大小。 解 (1)质点的轨迹方程为:,,这是一条空间螺旋线。 空间螺旋线在平面上的投影,是圆心在原点,半径为R的圆,其螺距为。 (2) ,,, ∴; (3) ∴ 1.23质点在xOy平面内的运动方程为 x=3t,y=2t2+3。求:(1)t=2s时质点的位矢、速度和加速度;(2)从t=1s到t=2s这段时间内,质点位移的大小和方向;(3)s和s两时间段,质点的平均速度;(4)写出轨迹方程。 解 (1) ,, 时,,, (2) ,, 与轴正向的夹角 (3) , (4) , 1.24 质点的关系如图,图中,,三条线表示三个速度不同的运动.问(1)它们属于什么类型的运动?(2)哪一个速率小? 解(1)从图象可以看出,三条线反映的都是:与成线性关系,所以 它们属于匀速直线运动 (2)根据 可知直线的斜率越小,速率就小,所以对应的速率小。 习题1.24图 1.25质点沿轴正向运动,加速度,为常数.设从原点出发时速度为,求运动方程。 解 由于是一维运动,所以,由题意:, 分离变量并积分有: ,得: 又∵ , 积分有: ∴ 1.26 已知子弹的轨迹为抛物线,初速为,并且与水平面的夹角为。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。 解(1)抛物线顶点处子弹的速度,顶点处切向加速度为0,法向加速度为。 因此有:, 习题1.26图 (2)在落地点时子弹的速度为,由抛物线对称性,知法向加速度方向与竖直方向成角,则:,有: 则: 。 1.27 如图所示,质量为m的钢球A沿着中心在O、半径为R的光滑半圆形槽下滑.当A滑到图示的位置时,其速率为v ,钢球中心与O的连线OA和竖直方向成q 角,求这时钢球对槽的压力和钢球的切向加速度. 习题1.27图 解 对小球进行受力解 根据牛顿第二定律有 1.28 质量为10kg的质点在平面内运动,受一恒力作用,力的分量为,,当时,,,。当时,求: (1) 质点的位矢; (2) 质点的速度。 解 (1)由题意根据牛顿第二定律可以得到 又因为通过积分 得 由通过积分 所以 当时 (2) 当时 1.29质量为的子弹以速度水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度反向,大小与速度成正比,比例系数为,忽略子弹的重力,求:(1) 子弹射入沙土后,速度随时间变化的函数式;(2) 子弹进入沙土的最大深度。 解 由题意,子弹射入沙土中的阻力表达式为: 又由牛顿第二定律可得:,则 分离变量,可得:,两边同时积分,有:, 所以: (2)子弹进入沙土的最大深度也就是的时候子弹的位移,则: 考虑到,,可推出:,而这个式子两边积分就可以得到位移: 1.30 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2.求证: (1)它们串联起来时,总倔强系数k与k1和k2.满足关系关系式; (2)它们并联起来时,总倔强系数k = k1 + k2. 解 当力F将弹簧共拉长x时,有F = kx,其中k为总倔强系数. 两个弹簧分别拉长x1和x2,产生的弹力分别为 F1 = k1x1,F2 = k2x2. (1)由于弹簧串联,所以F = F1 = F2,x = x1 + x2, 因此 习题1.28图 即 . (2)由于弹簧并联,所以F = F1 + F2,x = x1 = x2, 因此 kx = k1x1 + k2x2, 即 k = k1 + k2. 1.31 如图所示,一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动.在环上套有一珠子.今逐渐增大圆环的转动角速度ω,试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置.以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示. 解 珠子受到重力和环的压力,其合力指向竖直直径,作为 珠子做圆周运动的向心力,其大小为:F = mgtgθ. 珠子做圆周运动的半径为r = Rsinθ. 根据向心力公式得F = mgtgθ = mω2Rsinθ, 可得 习题1.31图 , 解得 1.32一质量为m的小球以速率从地面开始竖直向上运动.在运动过程中,小球所受空气阻力大小与速率成正比,比例系数为k.求: (1)小球速率随时间的变化关系; (2)小球上升到最大高度所花的时间T. 解(1)小球竖直上升时受到重力和空气阻力,两者方向向下,取向上的方向为正,根据牛顿第二定律得方程 分离变量得 积分得. 当t = 0时,所以, 因此, 小球速率随时间的变化关系为 . (2)当小球运动到最高点时,所需要的时间为 . [讨论](1)如果还要求位置与时间的关系,可用如下步骤: 由于,所以 积分得 当t = 0时,x = 0,所以 因此 (2)如果小球以的初速度向下做直线运动,取向下的方向为正,则微分方程变为 用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为 这个公式可将上面公式中的g改为-g得出.
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