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习题
1 选择题
1.1一质点在平面上运动,已知质点位置矢量的表达式为 r = a t2 i+ b t2 j (其中a、b为常量), 则该质点作( )
(A) 匀速直线运动
(B) 变速直线运动
(C) 抛物线运动
(D) 一般曲线运动
解 首先要判断的是质点的轨迹,由质点的位置矢量表达式 r = a t2 i+ b t2 j 知,。消去可得质点的轨迹方程为,由此可知质点的轨迹为直线。其次要判断的是状态的变化,也就是考察速度和加速度,,。由此可知质点作变速直线运动,故选。
习题1.2图
1.2 如图所示,用水平力F把木块压在竖直的墙面上并保持静止。
当F逐渐增大时,木块所受的摩擦力( )
(A)不为零, 但保持不变
(B)随F 成正比地增大
(C)开始随F 增大, 达到某一最大值后, 就保持不变
(D)无法确定
解 由题意可知物体的状态是静止,根据牛顿第二定律物体所受的合外力为零。在竖直方向上物体受重力和摩擦力两个力的作用,两个力大小相等 、方向相反。故选。
1.3一质点沿轴运动,其速度与时间的关系为:,当时,质点位于处,则质点的运动方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
解 因为质点沿轴运动,由有,通过积分得到。当时,质点位于处,可求得。故选。
1.4 质点作曲线运动,其瞬时速度为,瞬时速率为,平均速度为,平均速率为,则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的? ( )
(A) (B)
(C) (D)
解 ;。故选。
1.5 以下五种运动形式中,保持不变的运动是( )
(A) 单摆的运动 (B) 匀速率圆周运动
(C) 行星的椭圆轨道运动 (D) 抛体运动
(E) 圆锥摆运动
解 保持不变表明物体所受的合外力恒定不变。单摆的运动、行星的椭圆轨道运动、圆锥摆运动合外力的大小和方向都在不断的改变;匀速率圆周运动合外力的大小不变,但方向不断地改变;作抛体运动的物体只受重力作用,大小和方向都不变,故选。
1.6 对于沿曲线运动的物体,以下几种说法中哪一种是正确的( )
(A) 切向加速度必不为零。
(B) 法向加速度必不为零(拐点处除外)。
(C) 由于速度沿切线方向,法向分速度必为零,因此法向加速度必为零。
(D) 若物体作匀速率运动,其总加速度必为零。
(E) 若物体的加速度为恒矢量,它一定作匀变速率运动。
解 对于沿曲线运动的物体,。当时,可以等于零;当时,;故选。
1.7 一运动质点在某瞬时位于矢径的端点处, 其速度大小为( )
(A) (B)
(C) (D)
解 因为 ,所以速度的大小为。故选。
1.8 水平地面上放一物体A,它与地面间的滑动摩擦系数为m.现加一恒力如图所示.欲使物体A有最大加速度,则恒力与水平方向夹角q 应满足( )
(A) sinq =m. (B) cosq =m.
(C) tgq =m. (D) ctgq =m.
习题1.8图
解 欲使物体A有最大加速度,对物体进行受力解,物体共受到三个力的作用,所受合外力是,根据牛顿第二定律
,令,可求得时物体A有最大加速度。故选。
1.9 在相对地面静止的坐标系内,A、B二船都以速率匀速行驶,A船沿x轴正向,B船沿y轴正向。今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x、y方向单位矢用、表示),那么在A船上的坐标系中,B船的速度(以m/s为单位)为( )
(A) 2+2 (B) -2+2
(C) -2-2 (D) 2-2
解 这是一个相对运动的问题,要求的是船相对船的速度,由题意可知,,,故选。
1.10 如图所示,一轻绳跨过一个定滑轮,两端各系一质量分别为m1和m2的重物,且m1>m2.滑轮质量及轴上摩擦均不计,此时重物的加速度的大小为a.今用一竖直向下的恒力代替质量为m1的物体,可得质量为m2的重物的加速度为的大小a′,则( )
(A) a′= a (B) a′> a
(C) a′< a (D) 不能确定.
习题1.10图
解 对两物体进行受力解,受力;受力。根据牛顿第二定律
有,可求得;当用一竖直向下的恒力代替质量为m1的物体,可得质量为m2的重物的加速度为的大小。由此可知
a′> a,故选。
2 填空题
1.11在平面内有一运动的质点,其,分量的运动方程分别为,(SI),t时刻其速率 =__________, 其切向加速度的大小=______________;其法向加速度的大小=_________。
解 根据可得,t时刻质点的速率为
,切向加速度的大小,法向加速度的大小。
1.12在x轴上作变加速直线运动的质点,已知其初速度为,初始位置为,加速度为a=Ct2 (其中C为常量),则其速度与时间的关系= , 运动方程为x= 。
解 根据,通过积分可得;通过积分可得。
1.13灯距地面高度为H,一个人身高为h, 在灯下以匀速率沿水平直线行走, 如图1.2所示.则他的头顶在地上的影子M点沿地面移动的速度= 。
H
M
习题1.13图
解 建立如下坐标,设时刻影子M点在地面的位置为,人在地面的位置为,由几何关系知,将此式对求导得,因为,所以。
H
M
·
·
O
P
x
y
1.14如图,一质点P从O点出发以匀速率1作顺时针转向的圆周运动, 圆的半径1m,如图所示,当它走过圆周时, 走过的路程是 ,这段时间内的平均速度大小 ,方向是 。
·
·
O
P
x
y
习题1.14图
解 质点P从O点出发以匀速率1作顺时针转向的圆周运动, 当它走过圆周到达时,走过的路程是,,方向与轴成。
1.15一质点沿半径为R的圆周运动, 在t = 0时经过P点, 此后它的速率按=A+B t (A、B为正的已知常量)变化, 则质点沿圆周运动一周再经过P点时的切向加速度at= ,法向加速度an= 。
解 ,。
1.16以一定初速度斜向上抛出一个物体, 如果忽略空气阻力, 当该物体的速度与水平面的夹角为q 时,它的切向加速度的大小为= , 法向加速度an的大小为an= 。
解 因为忽略空气阻力,物体只受重力作用,所以物体的加速度就是重力加速度,将
分解为沿速度方向和与速度垂直方向即得到。
1.17如图所示装置中,若两个滑轮与绳子的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都忽略不计,绳子不可伸长,则在外力F的作用下,物体m1和m2的加速
度为a =______________________,m1与m2间绳子的张力T =________________________。
习题1.17图
解 因为两个滑轮与绳子的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都忽略不计,绳子不可伸长,对两物体进行受力解,受力;受力。根据牛顿第二定律
有,可求得。
1.18在如图所示的装置中,两个定滑轮与绳的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都可忽略不计,绳子不可伸长,m1与平面之间的摩擦也可不计,在水平外力F的作用
下,物体m1与m2的加速度a=______________,绳中的张力T=_________________。
习题1.18图
解 因为两个滑轮与绳子的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都忽略不计,绳子不可伸长, 对两物体进行受力解,水平方向受力;受力。根据牛顿第二定律有,可求得。
3 计算题
1.19 已知质点位矢随时间变化的函数形式为,式中的单位为m,的单位为s.求:(1)任一时刻的速度和加速度;(2)任一时刻的切向加速度和法向加速度。
解 (1)由,有:,,有:
(2)而,有速率:
∴,利用 有:
1.20 一质点沿轴作直线运动,它在t时刻的坐标是,式中以米计,以秒计,试求
(1) s和s时刻的瞬时速度;
(2)第二秒内所通过的路程;
(3)第二秒内的平均加速度以及和 时刻的瞬时加速度。
解(1)由
可知 当s时 ,
当s 时
(2)令
得 s时有极值,其速度为零,质点改变运动方向,即质点的“回头”点。此时
而
则质点所经过的路程为
(3)
而
则
1.21 一质点在轴上作加速运动,开始时。若
(1)加速度,求任意时刻的速度和位置,其中,为常量;
(2)加速度,求任意时刻的速度和位置;
(3)加速度,求任意位置的速度。
解:(1)由和可依次得
速度
位置坐标
(2)由可得,
两边积分有
所以
可得
再由可得
两边积分有
由此可得
(3)由于
于是
两边积分有
由此可得 ,故
1.22质点的运动方程为:,,,式中为正的常量。求:(1)质点运动的轨迹方程;(2)质点的速度大小;(3)质点的加速度大小。
解 (1)质点的轨迹方程为:,,这是一条空间螺旋线。
空间螺旋线在平面上的投影,是圆心在原点,半径为R的圆,其螺距为。
(2) ,,,
∴;
(3)
∴
1.23质点在xOy平面内的运动方程为 x=3t,y=2t2+3。求:(1)t=2s时质点的位矢、速度和加速度;(2)从t=1s到t=2s这段时间内,质点位移的大小和方向;(3)s和s两时间段,质点的平均速度;(4)写出轨迹方程。
解 (1) ,,
时,,,
(2) ,,
与轴正向的夹角
(3) ,
(4) ,
1.24 质点的关系如图,图中,,三条线表示三个速度不同的运动.问(1)它们属于什么类型的运动?(2)哪一个速率小?
解(1)从图象可以看出,三条线反映的都是:与成线性关系,所以
它们属于匀速直线运动
(2)根据
可知直线的斜率越小,速率就小,所以对应的速率小。
习题1.24图
1.25质点沿轴正向运动,加速度,为常数.设从原点出发时速度为,求运动方程。
解 由于是一维运动,所以,由题意:,
分离变量并积分有: ,得:
又∵ , 积分有:
∴
1.26 已知子弹的轨迹为抛物线,初速为,并且与水平面的夹角为。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。
解(1)抛物线顶点处子弹的速度,顶点处切向加速度为0,法向加速度为。
因此有:,
习题1.26图
(2)在落地点时子弹的速度为,由抛物线对称性,知法向加速度方向与竖直方向成角,则:,有: 则: 。
1.27 如图所示,质量为m的钢球A沿着中心在O、半径为R的光滑半圆形槽下滑.当A滑到图示的位置时,其速率为v ,钢球中心与O的连线OA和竖直方向成q 角,求这时钢球对槽的压力和钢球的切向加速度.
习题1.27图
解 对小球进行受力解
根据牛顿第二定律有
1.28 质量为10kg的质点在平面内运动,受一恒力作用,力的分量为,,当时,,,。当时,求:
(1) 质点的位矢;
(2) 质点的速度。
解 (1)由题意根据牛顿第二定律可以得到
又因为通过积分
得
由通过积分
所以
当时
(2)
当时
1.29质量为的子弹以速度水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度反向,大小与速度成正比,比例系数为,忽略子弹的重力,求:(1) 子弹射入沙土后,速度随时间变化的函数式;(2) 子弹进入沙土的最大深度。
解 由题意,子弹射入沙土中的阻力表达式为:
又由牛顿第二定律可得:,则
分离变量,可得:,两边同时积分,有:,
所以:
(2)子弹进入沙土的最大深度也就是的时候子弹的位移,则:
考虑到,,可推出:,而这个式子两边积分就可以得到位移:
1.30 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2.求证:
(1)它们串联起来时,总倔强系数k与k1和k2.满足关系关系式;
(2)它们并联起来时,总倔强系数k = k1 + k2.
解 当力F将弹簧共拉长x时,有F = kx,其中k为总倔强系数.
两个弹簧分别拉长x1和x2,产生的弹力分别为
F1 = k1x1,F2 = k2x2.
(1)由于弹簧串联,所以F = F1 = F2,x = x1 + x2,
因此
习题1.28图
即 .
(2)由于弹簧并联,所以F = F1 + F2,x = x1 = x2,
因此 kx = k1x1 + k2x2,
即 k = k1 + k2.
1.31 如图所示,一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动.在环上套有一珠子.今逐渐增大圆环的转动角速度ω,试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置.以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示.
解 珠子受到重力和环的压力,其合力指向竖直直径,作为
珠子做圆周运动的向心力,其大小为:F = mgtgθ.
珠子做圆周运动的半径为r = Rsinθ.
根据向心力公式得F = mgtgθ = mω2Rsinθ,
可得
习题1.31图
,
解得
1.32一质量为m的小球以速率从地面开始竖直向上运动.在运动过程中,小球所受空气阻力大小与速率成正比,比例系数为k.求:
(1)小球速率随时间的变化关系;
(2)小球上升到最大高度所花的时间T.
解(1)小球竖直上升时受到重力和空气阻力,两者方向向下,取向上的方向为正,根据牛顿第二定律得方程
分离变量得
积分得.
当t = 0时,所以,
因此,
小球速率随时间的变化关系为
.
(2)当小球运动到最高点时,所需要的时间为
.
[讨论](1)如果还要求位置与时间的关系,可用如下步骤:
由于,所以
积分得
当t = 0时,x = 0,所以
因此
(2)如果小球以的初速度向下做直线运动,取向下的方向为正,则微分方程变为
用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为
这个公式可将上面公式中的g改为-g得出.
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