专题2立方和(差)公式、和(差)的立方公式(必讲)(张俊)教学提纲.doc

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专题二 立方和（差）公式、和（差）的立方公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 ；
（2）完全平方公式 。
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 ；
（2）立方差公式 ；
（3）三数和平方公式 ；
（4）两数和立方公式 ；
（5）两数差立方公式 。
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。
反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。
例1 计算：
（1）；
（2）；
（3）。
分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算.
解：（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=。
说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“”改成“”则利用公式计算；若将第二个因式 中“”改成“”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算。
例2 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
分析：利用乘法的交换律、积的乘方，找出满足立方和（差）的两个因式，是计算的关键.
解：（1）原式；
（2）解法一：原式；
解法二：原式

；
（3）原式

。
说明：第（2）、（3）题往往先用立方和（差）公式计算简捷.相反，如第（2）题的第二种解法就比较麻烦.
例3因式分解：
（1）；
（2）；
（3）。
分析：对照立方和（差）公式，正确找出对应的是解题关键，然后再利用立方公式分解因式。
解：（1）原式；
（2）原式
（3）原式
。
说明：我们可尝试一下，第(3)题先用立方差公式分解就比较复杂，会导致有的同学分解不彻底。
例４设,试求的值。
分析：对于立方和公式，我们不难把它变成：
，即，再应用两数和、两数积解题较为方便。
解：。
说明：立方和（差）与和（差）的立方之间可以相互转化。
例5 如果的三边满足，试判断的
形状。
分析：直接看不出三角形边之间的关系，可把左边的多项式分解因式，变形后再找出三角形三边之间的关系。
解：因为，
所以，
即，
，
所以或，
因此是等腰三角形或直角三角形.
说明：此类题型，通常是把等式一边化为零，另一边利用因式分解进行恒等变形.

练习
1.计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
2.计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
3．分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
4．化简：
。
5．若，求证：。
6．（1）已知，求的值；
（2）已知：，求的值.
7．已知两个正方体，其棱长之总和为48cm，体积之和为28cm3，求两个正方体的棱长.
8. 已知，求的值。
9. 已知，求的值。
10.已知实数满足，，求的值。
答案：
1．（1） ；（2）；（3）；（4）。
2．（1）； （2）；
（3）；（4）。
3、（1）； （2）；
（3）；（4）。
4．2
5．提示： 。
6．（1）-8（2）1
7．两个正方体的棱长分别为1cm和3cm.
8.1
9.5392
10.
（兴化市第一中学 张俊）

只供学习与交流