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讲义:圆与方程
圆的标准方程与一般方程
1、圆的标准方程:(圆心,半径长为);
圆心,半径长为的圆的方程。
2、圆的一般方程:
(1)当时,表示以为圆心,为半径的圆;
(2)当时,表示一个点;(3)当时,不表示任何图形.
特点:(1)①和的系数相同,且不等于0; ②没有这样的二次项
(2)确定圆的一般方程,只要根据已知条件确定三个系数就可以了
(3)与圆的标准方程比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则明确地指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。
3、过圆上一点的切线方程:
在圆上,过M的切线方程为
当在圆上,过M的圆的切线方程为
典型例题
例1、已知一个圆的直径的端点是A(-1,2)、B(7,8),求该圆的方程。
例2、求过点A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线上的圆的方程。
例3、求以为圆心,且与直线相切的圆的方程.
例4、已知圆的方程是,求经过圆上一点的切线方程。
例5、求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。
巩固练习:
1、圆关于原点对称的圆的方程为 ( )
A. B.
C. D.
2、圆在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3、 求经过三点的圆的方程.
4、 求以为直径两端点的圆的方程。
5、求经过点A(0,4),B(4,6)且圆心在直线x―2y―2=0上的圆的方程;
直线与圆、圆与圆的关系
1、点与圆的位置关系:
设圆的标准方程,点,将M带入圆的标准方程,
结果>r2在外,<r2在内.
判断点P在圆上、圆内、圆外的依据是比较点P到圆心的距离与半径的大小关系:
>点P在圆外;即点P在圆外的条件是;
=点P在圆上;在圆=上的条件是;
<点P在圆内;在圆内的条件是。
2、直线与圆的位置关系:
①代数法:由方程组,得,
方程组有两解 相交
方程组有一解 相切
方程组无解 相离
②几何法:
直线与圆相交
直线与圆相切
直线与圆相离
3、圆与圆的位置关系:几何角度判断(圆心距与半径和差的关系)
(1)相离; (2)外切; (3)相交;
(4)内切; (5)内含.
例1、设m>0,则直线(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为( )
A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切
例2、圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线x-y-5=0所得的弦长等于( )
A. B. C.1 D.5
例3、已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点。
巩固练习:
1、若为圆的弦的中点,则直线的方程是( )
A. B.
C. D.
2、圆上的点到直线的距离最大值是( )
A. B. C. D.
3、若经过点的直线与圆相切,则此直线在轴上的截距是 __________________.
4、点在直线上,求的最小值。
5、已知圆和轴相切,圆心在直线上,且被直线截得的弦长为,求圆的方程。
课后作业
1、若圆x2+y2=4和圆x2+y2+4x-4y+4=0关于直线对称,则直线的方程是( )
A.x+y=0 B.x+y-2=0 C.x-y-2=0 D.x-y+2=0
2、圆x2+y2+6x-7=0和圆x2+y2+6y-27=0的位置关系是( )
A. 相切 B. 相交 C. 相离 D.内含
3、点到直线的距离是________________
4、 已知直线若与关于轴对称,则的方程为__________;
若与关于轴对称,则的方程为_________;
若与关于对称,则的方程为___________;
5、若方程表示一个圆,则的取值范是: ____________.
6、圆心在直线上的圆与轴交于两点,则圆的方程为 .
7、求经过直线的交点且平行于直线的直线方程
8、求过点和且与直线相切的圆的方程。
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