线性代数新版教案.doc

皖 西 学 院 教 案2014- 2015学年 第2学期课程名称 线性代数 授课专业班级 14级合班 授课教师 汪 轶 职称 讲 师 教学单位 金数学院 教研室 高 数 学 期 授 课 计 划说明 课程类别必修总学分3总学时48本学期学时教学周次周学时学 时 分 配48163讲授实验上机考查其他48教学目的要求教学目的通过本课程的教学，使学生掌握线性代数的基础理论与方法，培养学生正确运用数学知识来解决实际问题的能力，并为进一步学习后续课程与相关课程打好基础。基本要求通过本课程的教学，使学生系统地掌握行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型的基本概念、基本理论及基本方法，具有比较热练的运算能力、一定的逻辑推理能力和抽象思维能力，并且培养学生运用获取的基本知识和基本理论去分析问题和解决问题的能力。教学重点难点教学重点线性方程组解的结构；线性变换应用。教学难点矩阵和向量组的秩及其性质；线性无关概念。选用教材 同济大学应用数学系，线性代数（第五版），高等教育出版社，2007年主要参考资料1 张禾瑞，郝炳新：高等代数（第四版），高等教育出版社，1999年； 2 胡金德，王飞燕：线性代数（第二版），清华大学出版社，1995年3 李永乐：线性代数辅导讲义，西安交大大学出版社， 2010年备注单 元 教 案知识单元主题第一章 行列式学时10教学内容（摘 要）1二阶与三阶行列式 2全排列及其逆序数3阶行列式的定义 4对换5行列式的性质 6行列式按行（列）展开7克拉默法则教学目的要求1.会计算二阶和三阶行列式，了解阶行列式的定义；2.理解代数余子式的定义及性质；3.会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的阶行列式；4.掌握克拉默法则。教学重点难点重点：1.行列式的性质及其计算；2.克拉默法则。难点：阶行列式的定义；对换。教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演教学后记对n阶行列式定义的理解有点困难，需要通过对二三阶行列式展开式的特点逐渐引入. 需适当加强学生对行列式计算技巧的训练.分 教 案授课主题 第一章 1-3课次2教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演学时4教学目的要求会计算二阶和三阶行列式；会计算排列逆序数；了解阶行列式的定义.教学重难点二三阶行列式的对角线法则; 阶行列式的定义.教 学 内 容 纲 要备注1 二阶与三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式12二阶行列式的定义二阶行列式的值等于主对角元乘积减副对角元乘积例13三阶行列式例2 计算三阶行列式 例3 求解方程2全排列及其逆序数一、全排列与逆序定义2.1 由个不同元素排成一列，称为这个元素的一个全排列（或简称级排列)个不同元素的所有不同的排列共有种规定一个标准排列次序：称为标准序。在1、2、所构成的任一排列中，若某两个元素的排列次序与标准顺序不同，就称为一个逆序。一般地，个自然数的一个任意排列记作，若第个位置上的元素的左边有个元素比大，就说元素的逆序是。一个排列中所有逆序的和，称为这个排列的逆序数，记作因此排列的逆序数就是： 例1求排列32514的逆序数例2求排列的逆序数解： 级排列的标准序为排列的逆序数为逆序数为奇数的排列称为奇排列，而逆序数为偶数的排列称为偶排列。例1中的排列就是一个奇排列；排列561423也是一个偶排列易知：个不同的级排列中，奇排列和偶排列各占一半3阶行列式的定义定义3.1 由个元素排成行列，构成的运算式 称为阶行列式，简记为，其中称为行列式的元素，为的一个排列，为排列的逆序数知识导入在中学，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组. 提问1在中学时我们已知要得到一个线性方程组的一组确定解的条件是什么？提问2例1的方程组有几个方程？提问3用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？讨论所有n级排列中逆序数最大的排列的逆序数是多少？从上面定义可知，阶行列式的运算式中，一般项由个位于不同行不同列的元素相乘而得，符号由排列的逆序数的奇偶性决定特别规定，一阶行列式注意行列式记号不要与绝对值记号混淆在行列式中，将所组成的对角线称为的主对角线，这些元素称为主对角元。而所组成的对角线则称为的副对角线. 除了主对角线元素外其它元素都为零的行列式称为对角行列式.例5 证明阶对角行列式； 称主对角线以上（下）的元素全为零的行列式称为下（上）三角形行列式.例6证明，请同学们理解逆序数的求法课后作业P25-26 1,2.分 教 案授课主题 第一章 4-6课次2教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演学时4教学目的要求掌握行列式的性质并利用性质计算行列式.教学重难点行列式的性质及计算教 学 内 容 纲 要备注4对换1对换的概念定义41 在一个排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换若对换的是相邻的两个元素，则称为相邻对换2对换的性质定理1 一个排列任意两个元素对换，排列改变奇偶性证 先证相邻对换的情形；再证一般对换的情形推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数证 由定理1.1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是逆序数为零的偶排列，故推论成立。 3定理2阶行列式也可定义为 ， 其中为排列的逆序数.5 行列式的性质一、行列式的基本性质把行列式的行、列互换所得到的行列式称为的转置行列式，记作，若记则 性质1 行列式与它的转置行列式相等，即.证 将的转置行列式记作，则由定义知于是由定理1.2推出：由性质1可知，行列式中行与列具有对等的地位，对行成立的性质，对列也成立，反之亦然。以下我们仅讨论行的性质，然后引申到列即可性质2 行列式两行（列）互换，行列式的值变号以表示第行，表示第列，则表示交换两行，表示交换两列由性质2即可得到下面的推论推论 若行列式中有两行（列）元素对应相等，则的值为零性质3 用数乘以行列式，等于将数乘到的某一行（列）中所有的元素上。证 按定义，则推论1 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.第行（列）乘以，记为（）；第行（列）提出公因子，记为（或）。推论2 若行列式有一行（列）的元素全为零，则其值为零.性质4 若行列式有两行元素对应成比例，则其值为零.下面的性质称为“拆行”：性质5 若的某一行（列）的元素都可表为两数之和，则以下等式成立：证 按定义，=性质5 把行列式某一行（列）的各元素倍加到另一行的对应元素上去，行列式的值不变 行列式性质2、3、5涉及到行列式的三种运算：换行（列）、倍乘、倍加，即，和，。二、运用性质计算行列式利用行列式的性质可有效地简化行列式的计算如利用性质把行列式化成上三角行列式，便可直接得到行列式的值。例7计算对于元素排列有某些明显规律的行列式，可根据其特点采用一些计算技巧，常用的如建立递推公式和用数学归纳法等例8 计算行列式 例9 计算行列式例10设，证明证 对作运算，把化为下三角形行列式：，对作运算，把化为下三角形行列式：，于是，对的前行作运算，再对后列作运算，就可把化为下三角形行列式故例11计算阶行列式6行列式按行（列）展开一、余子式与代数余子式定义1 在阶行列式中任取一个元素，划去所在的第行、第列，剩下来的阶行列式称为元素的余子式，记作；记称为元素的代数余子式例如在中，元素的余子式是，而它的代数余子式是引理 如果阶行列式的第行除外的其余元素都为零，则这个行列式等于与其代数余子式的乘积，即黑板演示一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现, 且为奇数次邻换实现提问n 元排列共有 n! 个，其中奇、偶排列的个数相等，各有多少个？提问如何计算行列式？讨论具有怎样特点的行列式可用定义计算？讨论适用递推和数归法计算的行列式具有什么特点？提问行列式中各项的元素如何取得的?。证 先证最简单的情况：设，这是例10中时的情况，由例1.6的结论，即有又因，故得再证一般的情况，设的第行除外的其余元素都为零： 将的第行依次与上面的行逐行对换，再将第列依次与左面的列逐列对调，共经次对调，将调到了第1行第1列的位置上，所得的行列式记为，则，而在中的余子式仍然是在中的余子式。利用已证的结果有，因此定理3 阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 ， 或 证 任选的第行，把该行元素都写作个数之和： +，由引理即得 。按第列展开可类似证明这个定理称为行列式按一行（列）展开法则它为行列式计算提供了又一种思路：将阶行列式的计算转化为阶行列式的计算，这称为降阶按定理3计算例7例12证明范德蒙行列式其中记号表示全体同类因子的乘积推论行列式某一行（列）元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零即 或注 例13 设 元的余子式和代数余子式依次记作,求讨论此处证明为何不作2次的对调实现？课后作业P26-284（2）（4）、5（4）、7(2)(4)(6) 分教案授课主题 第一章 7课次1教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演学时2教学目的要求掌握克拉默法则教学重难点克拉默法则及其逆否命题教 学 内 容 纲 要备注4克莱默（Cramer）法则一Cramer法则（法则） 设线性方程组， 其系数行列式，用常数向量替换的第列所得的阶行列式记作，即 ,（）若，则线性方程组存在唯一解： 例14解线性方程组例15设曲线，试求系数 解 将在四个点的坐标代入得，关于的线性方程组 其系数行列式是，转置得，是一个四阶范得蒙行列式，得于是由克莱默法则知，方程组有唯一解，再分别计算：，故 于是所求曲线方程为 提问何谓齐次线性方程组？。（法则）的逆否命题是：定理4 如果线性方程组（1）的系数行列式, 则（1）一定有唯一解定理如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式一定为零二、齐次线性方程组如果线性方程组（1）的常数项都等于零，即 称为齐次线性方程组。利用克莱默法则容易得到下面的定理：定理5 若齐次方程组（2）的系数行列式，则它只有零解。其逆否命题是：定理6 若齐次方程组（2）有非零解，则它的系数行列式一定为零事实上，齐次线性方程组（2）有非零解它的系数行列式为零例16问取何值时，齐次线性方程组有非零解？Cramer法则只能应用于方形的方程组，且系数行列式不能为零在计算时需要计算个阶的行列式，当较大时计算量通常很大。因此Cramer法则的主要意义是在理论上，它明确指出了方程组的解与系数之间的关系，并给出了一种新颖的“块状处理”的模式讨论命题与逆否命题等价问题课后作业P2810（1）、11单 元 教 案知识单元主题第二章矩阵及其运算学时10教学内容（摘 要）1矩阵 2矩阵的运算3逆矩阵 4矩阵分块法教学目的要求1、理解矩阵的概念，了解零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等矩阵的特点。2、熟练掌握矩阵的线性运算、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式以及它们的运算规律。3、理解可逆矩阵的概念、性质、以及矩阵可逆的重要条件，理解伴随矩阵的概念和性质，会用伴随矩阵求矩阵的逆阵。4、知道分块矩阵及其运算规律，掌握分块对角矩阵的计算。教学重点难点1. 矩阵的计算2. 矩阵的按行，列分块难点：逆矩阵的求法；分块矩阵的运算教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演教学后记对一般分块矩阵只做了解，只掌握分块对角矩阵的计算，其它可弱化分 教 案授课主题第一章 1-2课次2教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演学时4教学目的要求1、理解矩阵的概念，了解零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等矩阵的特点。2、熟练掌握矩阵的线性运算、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式以及它们的运算规律。教学重难点矩阵与矩阵的乘法教 学 内 容 纲 要备注第二章 矩阵及其运算前一章讨论的Cramer法则，对于线性方程组不是方形的或其系数行列式等于零，便不能用了，但它的那种集成化处理的思想方法还是可以借鉴的。由此可以引向线性代数更重要的概念矩阵。矩阵是许多学科使用频率很高的一个集成化的数学工具，凡涉及到多个方面相互关联的多元数量关系，往往可用矩阵来进行整体描述和处理。本章主要学习矩阵的基本代数运算加法、数乘、乘法、转置、（方阵）取行列式、（可逆矩阵）求逆，以及矩阵的分块及分块矩阵的基本代数运算。1 矩阵一 、矩阵的定义定义2.1 由个数排成行、列，并加上括号，这样排成的数表： 称为一个行列矩阵，简称矩阵，通常记为或。有时也记作或，其中称为矩阵的(第行、第列的)元素。二、一些常用的特殊矩阵个元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为.只有一行的矩阵称为行矩阵： .只有一列的矩阵称为列矩阵: ， 行数等于列数（即）的矩阵称为阶方阵。下面是几种特殊的方阵：若时，即 ,则称为阶下三角矩阵若时，即 ，则称为阶上三角矩阵若时， 即 则称它为对角矩阵它既是上三角阵，也是下三角阵，可以记作。 若为阶对角矩阵，且主对角元素全相等，即 ，则称为阶纯量矩阵。特别地，若，即 ，则称为阶单位矩阵当且仅当，是同型矩阵（即行数相等、列数也相等）、且它们的对应元素相等（即）时，则称矩阵与矩阵相等，记作2 矩阵的运算一、矩阵的加法定义2.2 设矩阵和，那么矩阵与的和记作，规定其和为 根据定义容易验证矩阵的加法满足下列运算律（都是同型矩阵）：（1）交换律： ；（2）结合律： ； 若，则存在矩阵，满足称为的负矩阵由此可以定义矩阵的减法为 。 二、数与矩阵相乘（“数乘”）：定义2.3 设矩阵，是一个数，规定与矩阵的乘积为 矩阵的数乘满足下列运算律（设为同型矩阵，为数）：（1）交换律： ；（2）结合律： ；（3）第一分配律： ；（4）第二分配律： .矩阵的加减运算以及数乘统称为矩阵的线性运算例1 设， ，求三、矩阵的乘法定义2.4 设是一个矩阵，是一个矩阵，则规定矩阵A和矩阵B的乘积是一个矩阵，其中 上述定义表明，乘积矩阵的第行第列元素，是的第行的个元素与的第列的个元素一一对应相乘的乘积之和。因此只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，这两个矩阵才可乘，我们称为左乘，或右乘。例2 设，求.矩阵的乘法应注意以下几点：1. 任意两个矩阵未必可乘，应首先考察矩阵的规格，以确定是否可乘以及乘积的规格2. 交换律一般不成立一般来说；即使是同阶矩阵相乘，交换律一般也不成立。例如设， B =，容易验证。而如果成立，则说矩阵与可交换。3. 消去律一般不成立，即由，不能断定或。例如 ，因此，即使，一般由 也不能推出但矩阵的乘法仍满足以下运算律（假设运算都可行）：（1）结合律：；（2）左分配律：；右分配律：； （3）与数乘可交换：。对单位矩阵E，容易验证，可见单位矩阵E在矩阵乘法的运算中的作用类似于数的运算中“1”的作用。由于数量矩阵 故当它乘方阵时便有 和 利用矩阵的乘法，可以将线性方程组 表示成矩阵形式 并简记为 ， 其中 ，。即为线性方程组的系数矩阵，称X为未知数（变元）向量，为常数向量而矩阵 称为线性方程组的增广矩阵例3 若A，B，C都为同阶的对角矩阵，容易验证ABC仍为对角矩阵，且ABC =推广之，有限个同阶对角矩阵的乘积还是对角矩阵，其主对角元就是各个对角矩阵对应的主对角元相乘积。有了矩阵的乘法，可以定义阶方阵的幂：定义2.5 设是阶方阵，当为正整数时，的幂运算规定为： 从定义知，就是个的连乘，显然只有方阵才有幂。由于矩阵乘法符合结合律，所以方阵的幂满足以下运算律（其中为正整数）：， ，注对两个阶方阵、来说，一般因此，一些熟知的的乘法公式一般不再成立，如、 ，等等。但只要与可交换，则这些公式就都成立了。例4 设， 求（为正整数）。解：逐次相乘 =， =， 于是猜测： =下用数学归纳法证明之：当，上已见结论成立。假设时结论成立，则时：=所以对任意的的正整数，均有=。四、矩阵的转置定义2.6 把矩阵的行、列互换，得到一个矩阵，称为的转置，记为，即： 转置也是矩阵的一种代数运算，满足下述运算律（设运算是可行的）：（1） ；（2）； （3），(是数)；（4） 。证：我们仅证明（4）：设 ，记 ， ， ，则有 ，。故 若，即有 ，则称为对称矩阵；若，即有 ，则称为反对称矩阵；对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，而反对称矩阵的主对角线上所有元素均为零，其余元素以主对角线为对称轴对应相反例5设列矩阵满足为阶单位矩阵，证明是对称矩阵，且五、方阵的行列式定义2.7 由n阶方阵的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵的行列式，记作或det。对方阵取行列式，是施加于方阵的一种运算，且满足下列运算律（、为阶方阵，为数）：（1）；（2）；（3）。例6 设，其中是行列式中元素的代数余子试证证： 记，据第一章的性质8，有： ， （），故 ，类似地亦可证有本例中的方阵，是由方阵所唯一确定的，称为的伴随矩阵六、共轭矩阵设称为的共轭矩阵提问矩阵与行列式的本质区别？提问对角线上的元素行列标特点？提问数乘行列式如何乘的？说明为何称为矩阵的线性运算？提问同学们所学的运算还有哪种不满足交换律？提醒同学注意此处公式2，再次强调数乘行列式和矩阵的区别.课后作业P53563、4（4）、7、9分 教 案授课主题第二章 3-4课次2教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演学时4教学目的要求1、理解可逆矩阵的概念、性质、以及矩阵可逆的重要条件，理解伴随矩阵的概念和性质，会用伴随矩阵求矩阵的逆阵。2、知道分块矩阵及其运算规律，掌握分块对角矩阵的计算。教学重难点分块矩阵及其运算规律教 学 内 容 纲 要备注3逆矩阵1、可逆矩阵的概念定义2.8 对于阶方阵，若存在一个同阶方阵，能使，则称方阵可逆，称是的逆矩阵的逆矩阵记为 注1若方阵可逆，则的逆矩阵是唯一的事实上，若、都是的逆矩阵，由、，便可推出，所以的逆矩阵唯一 2、矩阵可逆的充要条件以及求逆阵的公式定理2.1 方阵可逆的充分必要条件是证： 必要性：设可逆，即存在，由，知充分性：设，由例2.5知有因，便可导出 ，于是由定义知可逆，且得求逆公式：若，称为非奇异的，即“可逆”等价于“非奇异”推论 设、是同阶方阵，若有（或），则、皆可逆，且、互为逆矩阵3、逆矩阵的性质（1）若可逆，则亦可逆，且； （2）若可逆，数，则亦可逆，且 ；（3）若、同阶且皆可逆，则亦可逆，且；（4）若可逆，则 亦可逆，且； 注2若可逆，则由可推出；即对可逆矩阵，消去律成立当时，定义： ，（其中为正整数） 当、为整数（正或负）时、均成立例1求二阶矩阵的逆矩阵例2设，求例3设 求矩阵使其满足例4设 求结合加法、数乘和乘法三种运算，可定义方阵的多项式：设有阶方阵和关于的次多项式 ，定义矩阵的次多项式为 ，易见仍是一个阶方阵注3 矩阵的任意两个多项式是可交换的，即的计算方法：（1）如果，从而（2）如果为对角矩阵，则从而例5 若方阵A满足，证明可逆，并求其逆。证 由及与可交换得： ，即，由定理2.推论知，可逆，且有4 矩阵分块法把一个规格较大的矩阵划分成若干小块，用分块方式来处理，把大矩阵的运算转化为小矩阵的运算，不仅能使运算较为简明，更重要的是使运用微型计算机组合来计算大矩阵成为可能。一、矩阵的分块定义2.9 用一些纵、横虚线将矩阵分割成若干小矩阵，以这些小矩阵为元素的矩阵称为分块矩阵，各个小矩阵称为的子块例如 其中 ， ， ， 也可以按行分块： ， 或按列分块： 二、分块矩阵的运算对分块矩阵进行运算时，可以把每一个子块当作矩阵的一个元素来处理，但应保证运算的可行1、 分块矩阵的加法、数乘和转置设矩阵、是两个同型矩阵，且分块法一致，即：，其中每一与的规格都对应相同，则规定加法为； 设为数，则规定数乘为 ；规定转置为 2.、分块矩阵的乘法设是矩阵，是矩阵若将分为个子块 ，将分为个子块，且的列与的行分块法一致，则规定与的乘法为其中，例1设 ，求三、分块对角阵设是阶矩阵，若的一个分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，即，其中是阶小方阵（阶数可不同），而其余的非主对角子块都为零矩阵，那么称为的分块对角矩阵例如：若记 ， 则，注1 分块对角阵有以下性质（1）若，则；（2）若每一，则有 证由知存在，由便得 例2设，求例3 设，其中皆为可逆方阵（不必同阶），求证可逆，并求对矩阵分块时，应特别重视按行和按列分块：矩阵按行分块 ， 矩阵按列分块 注1例4设线性方程组 简记为 ， 其中 ，也可记为 四、克拉默法则的证明课题引入：矩阵与数相仿，有加、减、乘三种运算，矩阵的乘法是否也和数一样有逆运算呢？提醒:类比记忆此处公式3和矩阵乘积转置公式.板书：对C=AB相应矩阵进行按行列分法，及左行右列口诀.课后作业P535611（3）、12（4）、13（2）26、28、29（1）、30（2）单 元 教 案知识单元主题第三章 矩阵的初等变换与线性方程组学时8教学内容（摘 要）1矩阵的初等变换 2矩阵的秩 3线性方程组的解教学目的要求1、掌握矩阵的初等变换，并会用初等行变换求矩阵的逆；2、理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵秩的原理，掌握用初等变换求矩阵秩的方法，知道矩阵的秩与标准形关系；3、掌握齐次与非齐次线性方程组有解的条件；4、熟练掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法。教学重点难点矩阵的初等变换；用初等行变换求矩阵的逆；矩阵的秩，初等变换求矩阵的秩；用矩阵的初等行变换解线性方程组。难点：矩阵的初等变换；矩阵秩的概念；线性方程组有解的条件教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演教学后记加强初等变换矩阵乘法关系这一部分内容的教学。部分同学对初等（行）变换求逆矩阵的原理理解不够.分 教 案授课主题 第三章 1课次2教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演学时4教学目的要求掌握矩阵的初等变换，初等矩阵；理解初等变换与矩阵乘法关系.教学重难点理解初等变换与矩阵乘法关系，部分学生对初等（行）变换求逆矩阵的原理理解不够.教 学 内 容 纲 要备注第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1 矩阵的初等变换一、分析用消元法解线性方程组的过程方程组（1）的增广矩阵二、初等变换的概念定义3.1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（1） 对调两行（对调、两行，记为），称为对调变换；（2） 用数乘某一行中所有元素（第行乘记为），称为倍乘变换；（3）把某一行所有元素的倍加到另一行的对应元素上（第行的倍加到第行上记为），称为倍加变换将定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的初等列变换的定义（将记号换成）矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换，统称为矩阵的初等变换初等变换都存在着逆变换，如变换的逆变换就是其本身；变换的逆变换为；变换的逆变换为；定义3.2 如果矩阵经有限次初等行变换变成矩阵，则称矩阵与行等价记为；如果矩阵经有限次初等列变换变成矩阵，则称矩阵与列等价记为；如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，则称矩阵与等价记为注1等价关系具有下面三条性质：1 反身性：；2 对称性：若有，则必有；3 传递性：若有、，则必有容易验证矩阵之间的初等变换满足上面等价关系的三条性质。三、利用初等行变换解线性方程组（行阶梯形矩阵）（行最简形矩阵）上面矩阵对应方程组，取为自由未知量，并令，即得其中是任意常数行阶梯形矩阵的特点：可划一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，称为非零首元行最简形矩阵的特点：行阶梯形，非零首元为1，且非零首元所在的列的其他元素都为0注2对于任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵初等变换的主要作用是化简矩阵而保持其等价性(这在用矩阵解线性方程组中很重要)。化简矩阵的主要过程是：首先通过初等行变换把化成行阶梯形矩阵，然后继续用初等行变换把化成行最简形矩阵。此后如果再用初等列变换，还可将进一步化成标准形.注3对于任何矩阵总可以经过有限次初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形此标准形由三个数完全确定，其中就是行阶梯形矩阵的非零行的行数所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的一个例1 设，把化成行最简形二 初等矩阵一、初等矩阵的概念定义3.3单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵（初等方阵）1、对调两行或对调两列由单位矩阵的第、j行（列）对调而得到的初等矩阵，记作 2、以数乘某行或某列由单位矩阵第行（列）乘而得到的倍乘初等矩阵，记作； 3、倍加变换得倍加初等矩阵由单位矩阵的第行的k倍加到第行而得到（也就是由单位矩阵E的第列的k倍加到第列而得到）的初等矩阵，记作 （） （）注1初等矩阵皆可逆，且它们的逆阵仍为同类初等阵。由于， 。二、初等矩阵的应用容易验证： 导致的第，行对调；导致的第，列对调；导致的第行乘；导致的第列乘；导致的第行的倍加到第行；导致的第列的倍加到第列。定理1 设是一个矩阵，对进行一次初等行变换，相当于在的左边乘一个相应的阶初等矩阵；对进行一次初等列变换，相当于在的右边乘一个相应的阶初等矩阵。定理2 矩阵可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵，使得.推论1方阵可逆推论2 矩阵存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使得.(此推论证明留给读者)注2对可逆矩阵和同阶单位矩阵作同样的初等行变换，则把变成单位矩阵的同时，单位矩阵也就变成了证由定理2知，若，则（其中为初等矩阵，）由此推得于是所以对和施行相同的初等变换，则变成了, 变成了例1 设，求注意：用初等行变换求的逆矩阵（或求解线性方程组）时，不必验证是否可逆，如果作变换时左边子块出现了全零行，则表明不可逆，此时需要另行讨论了。对于个未知数个方程的线性方程组，若可逆，则线性方程组的解为由知：利用矩阵的初等行变换当将变成时，就变成，此即方程组的解 例2设, ，求线性方程组的解例3求解矩阵方程, 其中.分析学生思考：如何求？对矩阵作初等列变换，使 即可得.或者改为对作初等行变换，使即可得,从而求得课题引入：对用消元法解线性方程组的三个手续抽象为对矩阵的初等变换.并从解方程的角度说明非零数乘的必要性.课后作业P79813（2）、4（1）、5分 教 案授课主题 第三章 2-3课次2教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演学时4教学目的要求理解矩阵的秩，掌握线性方程组的解.教学重难点矩阵的秩，线性方程组解的判定定理教 学 内 容 纲 要备注2矩阵的秩一、矩阵秩的概念给定矩阵，它的标准形由