高三数学复习：立体几何的平行与垂直证明(教师).doc

高三数学复习
——立体几何中的平行与垂直的证明
一、平面的基本性质
公理1：

公理2：
推论1：

推论2：

推论3：

公理3：
二、空间中直线与直线的位置关系
平行：
相交：
异面：
三、平行问题
1． 直线与平面平行的判定与性质

定义
判定定理
性质
性质定理
图形

条件

a∥α

结论
a∥α
b∥α
a∩α＝
a∥b
2. 面面平行的判定与性质

判定
性质
定义
定理
图形

条件

α∥β，a⊂β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
平行问题的转化关系：
四、垂直问题
（一）、直线与平面垂直
1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的 都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
2．直线与平面垂直的判定定理及推论

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

推论
如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面

3．直线与平面垂直的性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行

4.直线和平面垂直的常用性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．
②垂直于同一个平面的两条直线平行．
③垂直于同一条直线的两平面平行．
（二）、平面与平面垂直
1．平面与平面垂直的判定定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

2．平面与平面垂直的性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面

类型一、平行与垂直
例1、如图，已知三棱锥中，为中点，为中点，且△为正三角形。
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）若，，求三棱锥的体积。

A
B
C
A1
B1
C1
M
N
例2. 如图，已知三棱柱中，底面，，，，，分别是棱，中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．

【变式1】. 如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，分别是的中点。
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）设，求三棱锥的体积。

二、线面平行与垂直的性质
例3、如图4，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．
（1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积．

例4、如图，四棱锥P—ABCD中，平面ABCD，底面为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，
（I）求证：；
（II）求三棱锥C—DEG的体积；
（III）AD边上是否存在一点M，使得平面MEG。若存在，求AM的长；否则，说明理由。

【变式2】直棱柱ABCD-A1B1C1D1底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.
(Ⅰ)求证：AC平面BB1C1C；
(Ⅱ) A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论.

4
4
2
2
4
4
4
正视图
侧视图
俯视图

三、三视图与折叠问题
例5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。
若为的中点，求证：面；
（1） 证明：∥面；
（2） 求三棱锥的体积。

A
B
E
P
D
C

例6.已知四边形是等腰梯形，（如图1）。现将沿折起，使得（如图2），连结。
（I）求证：平面平面；
（II）试在棱上确定一点，使截面把几何体分成两部分的体积比；
（III）在点满足（II）的情况下，判断直线是否平行于平面，并说明理由。

图1
图2

【变式3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示，E为PD中点.科网
（I）求证：PB//平面AEC；（II）求四棱锥的体积；
（Ⅲ）若F为侧棱PA上一点，且，则为何值时，平面BDF.

【变式4】如图1所示，正的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点。现将沿CD翻折，使翻折后平面ACD平面BCD（如图2）
（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）求三棱锥C-DEF的体积。

四、立体几何中的最值问题
例7.图4，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径， C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A= AB=2.
(1)求证: BC⊥平面A1AC；
(2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.
图4
A
B
C
A1

例8. 如图，在交AC于 点D,现将
（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；
（2）若点P为AB的中点，E为

【变式5】如图3，已知在中，，平面ABC，于E，于F，，，当变化时，求三棱锥体积的最大值。

高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题（答案）
【典例探究】
例1解：（Ⅰ）∵
∴∥，又∴
∴∥
（Ⅱ）∵△为正三角形,且为中点，∴
又由（1）∴知 ∴
又已知 ∴，
∴，又∵
∴,∴平面平面,
（Ⅲ）∵，∴,∴
又，
∴

∴
例2.（Ⅰ）证明：因为三棱柱中，底面
又因为平面， 所以. ……………………… 1分
A
B
C
A1
B1
C1
M
N
G
因为，是中点，
所以. 　　　 ………………………………………… 2分
因为， …………………………………………… 3分
所以平面． …………………………………………… 4分
（Ⅱ）证明：取的中点，连结，，
因为，分别是棱，中点，
所以，.
又因为，，
所以，.
所以四边形是平行四边形. ………………………………………… 6分
所以. ……………………………………………………………　7分
因为平面，平面， 　…………………………… 8分
所以平面． ……………………………………………………… 9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面. …………………………………………… 10分
所以.　 ………………………… 13分
变式1.（1）根据中点寻找平行线即可；（2）易证，在根据勾股定理的逆定理证明；（3）由于点是线段的中点，故点到平面的距离是点到平面距离的，求出高按照三棱锥的体积公式计算即可。
【解析】（1）取中点，连接
平行四边形，平面，平面，平面。 （4分）
（2）等腰直角三角形中为斜边的中点，
又直三棱柱，面面，
面，
设
又面。 （8分）
（3）由于点是线段的中点，故点到平面的距离是点到平面距离的。，所以三棱锥的高为；在中，，所以三棱锥的底面面积为，故三棱锥的体积为。（12分）
二、线面平行与垂直的性质
例3.（1）证明：在中，由于，，，
∴. …… 2分
∴ ．
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面. …… 4分
（2）解：过作交于.
又平面平面， ∴平面． …… 6分
∵是边长为2的等边三角形， ∴.
由（1）知，，在中，
斜边边上的高为. …… 8分
∵，∴. …… 10分
∴. …… 14分
例4、（I）证明：平面ABCD，
又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，
∵PDICE=D， ∴BC⊥平面PCD
又∵PC面PBC，∴PC⊥BC
（II）解：∵BC⊥平面PCD，∴GC是三棱锥G—DEC的高。
∵E是PC的中点，

（III）连结AC，取A C中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA//平面MEG。
下面证明之
∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO//平面PA，
又，∴PA//平面MEG
在正方形ABCD中，∵O是AC中点，≌
∴所求AM的长为
变式2.证明：(Ⅰ)直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC.
又∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2，
∴AC=，∠CAB=45°，∴BC=，∴BC⊥AC.
又BB1∩BC=B，BB1，BC平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C.
(Ⅱ)存在点P，P为A1B1的中点。
证明：由P为A1B1的中点，有PB1∥AB，且PB1=AB.
又∵DC∥AB，DC=AB，∴DC∥PB1，且DC=PB1，
∴DCB1P为平行四边形，从而CB1∥DP.又CB1∥ACB1,DP面ACB1，∴DP∥面ACB1.
同理，DP∥面BCB1.
4
4
2
2
4
4
4
正视图
侧视图
俯视图

A
B
E
P
D
C
例5、

（1）由几何体的三视图可知，底面是边长为4的正方形，面，
∥，
为中点，
又面。
（2）取的中点，与的交点为，∥，
∥，故为平行四边形，
∥，∥面。
（3）

例6.答案略
变式3.解：（１）由三视图得，四棱锥底面ABCD为菱形,
棱锥的高为3,设,则即是棱锥
的高,底面边长是2，连接，分别
是的中点，∥，
∥
（2）
（3）过作----10分
---------------12分
---------------14分
变式4.解：（1）判断：AB//平面DEF………………………………………………..2分
M
证明：
因在中，E，F分别是
AC，BC的中点，有
EF//AB………………..5分
又因
AB平面DEF，
EF平面DEF…………..6分
所以
AB//平面DEF……………..7分
（2）过点E作EMDC于点M，
面ACD面BCD，面ACD面BCD＝CD，而EM面ACD
故EM平面BCD 于是EM是三棱锥E-CDF的高……………………………..9分
又CDF的面积为
EM＝……………………………………………………………………11分
故三棱锥C-DEF的体积为

四、立体几何中的最值问题
例7.图4
A
B
C
A1
证明:∵C是底面圆周上异于A，B的任意一点，
AB是圆柱底面圆的直径，∴BC⊥AC, ……2分
∵AA1⊥平面ABC，BCÌ平面ABC，
∴AA1⊥BC， ……4分
∵AA1∩AC=A，AA1Ì平面AA1 C，ACÌ平面AA1 C，
∴BC⊥平面AA1C. ……6分

(2)解法1：设AC=x，在Rt△ABC中，
(0<x<2) , ……7分
故(0<x<2),
……9分

即. ……11分
∵0<x<2，0<x2<4，∴当x2=2，即时，
三棱锥A1-ABC的体积的最大值为. ……14分
解法2: 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2=4， ……7分
……9分
. ……11分
当且仅当 AC=BC 时等号成立，此时AC=BC=.
例8.解：（1）设，则
令
则

单调递增
极大值
单调递减
由上表易知：当时，有取最大值。
证明：
（2） 作得中点F，连接EF、FP
由已知得：
为等腰直角三角形，
所以.
变式6. 解：因为平面ABC
平面ABC，
所以
又因为，
所以平面PAC，
又平面PAC，
所以，
又，
所以平面PBC，即。
EF是AE在平面PBC上的射影，
因为，
所以，
即平面AEF。
在三棱锥中，
，
所以，

因为，
所以
因此，当时，取得最大值为。
课后练习：
1、（广东卷8）设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
2、 （湖南卷7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )
A． B.1 C D.
3、（辽宁卷10）已知三棱柱

A． B． C． D．
4、（浙江卷4）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（ ）
A、若m∥α，n∥α,则m∥n B、若m∥α，m∥β,则α∥β
C、若m∥n，m⊥α,则n⊥α D、若m∥α，α⊥β,则m⊥β

5、（重庆卷8）某几何体的三视图如题（8）所示，则该几何体的表面积为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）

6、（安徽18）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.
已知 .
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）若为的中点，求三菱锥的体积.

7、（北京17）如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点，求证：
（1）底面
（2）平面
（3）平面平面

8、（广东卷18）如图4，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，
，是的中点，与交于点，将沿折起，
得到如图5所示的三棱锥，其中．
(1) 证明：//平面；
(2) 证明：平面；
(3) 当时，求三棱锥的体积．

9、（湖南卷17）如图，在直菱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在菱BB1上运动。
（I） 证明：AD⊥C1E；
（II） 当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，
求三菱锥C1-A2B1E的体积

10、（江苏卷16）如图，在三棱锥中，平面平面，,. 过作，垂足为，点,分别是侧棱,的中点.
求证：(1) 平面平面;
(2) .

（

11、（江西卷19）如图，直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中，AB//CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3
（1） 证明：BE⊥平面BB1C1C;
（2） 求点B1 到平面EA1C1 的距离