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鲁教版初三数学知识点编辑人:鲁东大学08级经济系 李建鹏第一章 分式一、分式1分式的概念：如果整式A除以整式B, 可以表示成的形式,且除式B中含有字母，那么称式子为分式。其中, A叫分式的分子, B叫分式的分母。注意：判断一个代数式是否为分式,不能将它变形,不能约分后去判断,即使它约分后是整式也不能说它就是整式,约分之前是分式这个式子就是分式。如:x2x是分式,虽然约分之后等于x是整式,但约分前是分式。是常数,所以a/不是分式而是整式。2有理式：整式和分式统称有理式。(整式的分母中不含有字母)3关于分式的几点说明:(1)分式的分母中必须含有未知数；(2)分式是两个整式相除的商式,对任意一个分式，分母都不为零；(3)分数线有除号和括号的作用,如：表示（ab）(cd)；(4)“分式的值为零”包含两层意思：一是分式有意义(分母0)，二是分子的值为零，不要误解为“只要分子的值为零，分式的值就是零”。4一般的，对分式AB都有：分式有意义 B0；分式无意义 B=0；分式的值为0A=0且B0；分式的值大于0分子分母同号；分式的值小于0分子分母异号。5基本性质：分式的分子和分母同乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式值不变。二、分式的乘除法1.分式的乘除法则:分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。分式的乘方是把分式的分子、分母各自乘方，再把所得的幂相除。2.约分:把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。注意:当分式的分子分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式时,直接约分； 分式的分子和分母都是多项式时，将分子和分母分解因式再约分。3.最简分式: 一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般要将一个分式化为最简分式。三、分式的加减法1.通分:利用分式的基本性质 ,把异分母的分式化为同分分母的过程。通分原则:异分母通分时, 通常取各分母的最简公分母作为它们的共同分母。通分步骤:先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母，同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子。最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。2. 法则:同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减,先通分,化 为同分母的分式,再按同分母分式的加减法法则进行计算。四、分式方程1.概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2.分式方程的解法:去分母(方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化为整式程若遇到互为相反数时，不要忘了改变符号)；按解整式方程的步骤求出未知数的值；验根。3.分式方程的增根:在方程变形时，有时会产生不适合原方程的根即代入方程后分母的值为的根，叫做原方程的增根。例题：取 时，方程会产生增根(或说无解)。(思路)在这里增根就是x=3,但不能直接带入方程求m,所以要先去分母再将x=3带入求m第二章 相似图形一、线段的比1.概念:在同一单位长度下,两条线段的长度的比叫这两条线段的比。在a:b或中,a叫比例的前项,b叫比例的后项。2.注意:若a:b=k,说明a是b的k倍；两条线段的比与所采用的长度单位无关,但求比时两条线段的长度单位必须一致；两条线段的比值是一个没有单位的正数；除a=b外,a:bb:a, a/b与b/a互为倒数。二、比例线段1.概念:四条线段a,b,c,d中,如果 a与b的比等于c与d的比, 即a:b=c:d (或a/b=c/d), 那么这四条线段 a,b,c,d 叫做成比例线段,简称比例线段。a、b、c、d叫比例的项,其中,a、d叫外项,b、c叫内项。2.比例中项:当a:b=b:c时,称b为a与c的比例中项。(b2=ac)3.性质:内项之积等于外项之积 若 a/b=c/d 则 ad=bc 合比性质 若 a/b=c/d 则 (a+b)/b=(c+d)/d 分比性质 若 a/b=c/d 则 (a-b)/b=(c-d)/d 等比性质 若 a/b=c/d=m/n(b+d+n0)，则 (a+c+m)(b+d+n)=a/b合分比性质 若 a/b=c/d 则 (a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d) 更比性质 若 a/b=c/d 则 c/a=d/b(当然也就有a/c=b/d)反比性质 若 a/b=c/d 则 b/a=d/c 三、形状相同的图形例如:两个半径不相等的圆；所有的等边三角形；所有的正方形；所有的正六边形。一个图形各点的横坐标、纵坐标都乘以或除以同一个数，则连接所得到点的图形与原图形形状相同。四、相似三角形1.概念:对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形(相似符号为“”)。平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。ABCDEDEOBC相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。2.全等一定相似,相似不一定全等(全等是相似中相似比为1时的特殊情况)五、探索三角形相似的条件1定义判定：对应角相等、对应边成比例2判定1：两个角对应相等判定2：两边对应成比例且夹角相等判定3：三边对应成比例Rt相似的判定:(除上述三个外)斜边与一直角边对应成比例的两直角三角形相似。3.三角形相似的判定定理推论 推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。 推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。4.(补充)射影定理: 在RtABC中，ACB=900，CD是斜边AB上的高,则AC2=ADAB BC2=BDAB CD2=ADBD5.(补充)三角形的重心概念:三角形三条中线的交点叫做三角形的重心；三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。六、相似三角形的性质1相似三角形的三个对应角相等，三边对应成比例；2相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，3相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方。 七、测量旗杆的高度(略)八、相似多边形1.概念:对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。2.性质:性质1：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；性质2：相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方。九、位似图形1.概念:如果两图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比。2.性质:位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 3.探索:利用位似可以把一个图形放大或缩小；对应点连线都交于位似中心,对应线段平行或在一条直线上；在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.。第三章 证明(一)一、定义与命题1.定义的概念:能清楚地规定某一名称或术语的句子叫做该名称或术语的定义。2.命题的概念:一般地,判断一件事情的句子，叫做命题(命题必须是对某事作出判断)。3.命题的特征:每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地,命题都可以写成“如果，那么”的形式其中,“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论。4.真假命题:如果条件成立，那么结论成立(正确的命题),像这样的命题叫做真命题；条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立(错误的命题)，这样的命题叫做假命题。二、证明的必要性三、公理与定理1.公理:通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。2.定理:通过推理得到证实的真命题叫做定理,可以作为判断其它命题真假的依据。本教科书选用如下命题作为公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。也可以简单说成：同位角相等，两直线平行。两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。也可以简单说成：两直线平行，同位角相等。两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。三边对应相等的两个三角形全等。全等三角形的对应边相等，对应角相等。此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理。例如“在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替”，简称为“等量代换”。四、 平行线的判定定理五、平行线的性质定理把一个命题的条件和结论交换后,就构成了一个新的命题。如果把原来的命题叫做原命题,那么这个新的命题就叫做原命题的逆命题。一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题。六、三角形内角和定理三角形三个内角之和为1800 ； 直角三角形的两个锐角互余。关于辅助线：辅助线是为了证明需要在原图上添画的线(辅助线通常画成虚线)；它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用；添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定,平时做题时要注意总结。第四章 数据的收集与处理一、普查和抽样调查1.普查:为了一定的目的而考察对象进行的全面调查,称为普查。其中,所要考察的对象的全体称为总体,而组成总体的每一个考察对象称为个体。普查的优点及缺陷:可以直接获得总体情况,但总体中个体数目很多时,工作量大,无法一一考察；有时受客观条件的限制,无法对个体一一考查；有时调查具有破坏性,不允许对个体一一考查。2.抽样调查:从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查,其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,样本中的个体的数目称为样本容量。二、数据的收集议一议: 抽样调查时应注意什么?答:抽样调查时要注意样本的代表性、广泛性和真实性:即被调查的对象不得太少，被调查对象应是随意抽取的，调查数据应是真实的。抽样调查的可行性：1.抽样调查只考查总体的一部分，因此其优点是调查范围小，节省时间、人力、物力和财力；2.但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。三、数据的整理对数据进行分组整理,就是将收集到的所有数据按照一定的标准划分为若干组。通过分组整理,可比较清晰地掌握数据的整体分布情况。四、频数和频率我们称每个考查对象出现的次数为频数,而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。公式:频率=频数总次数频数=总次数频率；总次数=频数频率频数之和=总次数； 频率之和=1频数、频率、频数分布表、频数分布直方图和频数分布折线图都反映了一组数据的分布情况。五、数据的波动1.极差的概念:刻画数据离散程度(即相对于“平均水平”的偏离情况)的一个统计量,是指一组数据中最大数据与最小数据的差(极差=最大值-最小值)。极差的意义:极差是最简单的一种度量数据波动情况的量(一般而言,极差小,各个数据的波动也就小,它们的平均数对这组数据一般水平的代表性也就大；极差大,平均数的代表性也就小),但只能反映数据的波动范围,不能衡量每个数据的变化情况,而且受极端值的影响较大(当个别极端值远离其它数据时,极差往往不能充分反映全体数据的实际离散程度)。2.方差的概念:各个数据与平均数的差的平方的平均数。方差越小，波动越小；方差越大，波动越大。公式:标准差：就是方差的算术平方根规律：有两组数据，设其平均数分别为 、 方差分别为 、 (1) 当第二组每个数据比第一组每个数据增加m个单位时,则有 = +m， =(2) 当第二组每个数据是的第一组每个数据 n 倍时, 则有=n ， =(3)当第二组每个数据是的第一组每个数据 n 倍加 m 时，则有=n +m， = 第五章 二次根式一、二次根式1.概念:形如0)这样的式子叫做二次根式(a也是二次根式)。其中a可以是数,也可是单项式和多项式。2.求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数不小于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。二、二次根式的性质基本性质一：=(0)基本性质二：积的性质：=(0,b0)商的性质： = (0,b0)注：一般地，二次根式化简的结果中分母中不含根号，而且根号内的数就是一个自然数，且自然数的因数中，不含有除1以外的自然数的平方数，被开方数为带分数时，还要先化为假分数再利用性质化简。三、二次根式的加减法1.最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母(即因数是整数，因式是整式) ；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。2.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式(与二次根式的系数无关)。3.二次根式的加减:(在二次根式加减或其它运算时，把根号前的乘数看作它的系数)合并同类二次根式化为最简二次根式；系数相加减；二次根式不变。与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,作为结果的系数,根号及根号内部都不变四、二次根式的乘除法1.算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根=(0,b0)2.两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数(0,b0)注意:如果被开方数是带分数，应先化成假分数。第六章 证明(二)一、全等三角形(具体性质和判定见初一知识点)1.根据书写规范,按照对应顶点找对应边或对角。2.公共角、对顶角必为对应角；公共边必为对边。3.对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角。4.在两个全等三角形中,最长边对最长边；最小边对最小边；最大角对最大角；最小角对最小角。二、等腰三角形等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边由推论得:等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合(三线合一)推论2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60三、 直角三角形1.性质:直角三角形的两个锐角互余。反过来,有两个角互余的三角形是直角三角形。2.等腰直角三角形:两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形(具有等腰三角形和直角三角形的所有性质)。等腰直角三角形的两个锐角都是453.性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半四、线段的垂直平分线1.定义:垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线(中垂线)结论1:如果两点A 、B关于直线CD对称,则直线 CD是线段AB 的垂直平分线；结论2:如果CD是线段AB的垂直平分线,则点A 、B关于直线CD对称。2. 线段垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等3. 线段垂直平分线的判定(性质定理逆定理):到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上4. 定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点并且这点到三顶点的距离相等五、 角平分线1. 角平分线性质定理:角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等2. 逆定理:在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上第七章 一元二次方程一、一元二次方程1. 定义:方程的两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次,我们把这样的方程叫做一元二次方程。(条件:方程两边都是整式只含有一个未知数未知数的最高次数是2次)2. 一般形式:ax2+bx+c=0(a,b,c为常数且a0)。一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式。其中ax2，bx,c分别称为二次项，一次项，常数项,a、b分别称为二次项系数,一次项系数。(b和c可以为0,但a不能为0,因为一元二次方程必须有二次项,一次项和常数项没有的时候就是b和c为0的情况)注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。3. 一元二次方程的解:使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根)。二、 判别式:=b2-4ac1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的情况：(1)当0时,方程有两个不相等的实数根；(2)当=0时,方程有两个相等的实数根；(3)当0时,方程无实数根。2.根据根的情况,也可以逆推出的情况,这方面的知识主要用来求取值范围等问题。三、一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)一元二次方程的求根公式:一元二次方程根与系数的关系:若方程ax2+bx+c=0(a0)的两根分别为x1、x2,则x1x2=b/a,x1x2=c/a补充规律:两根均为负的条件:x1x20,x1x20两根均为正的条件:x1x20,x1x20两根一正负的条件:x1x20当然,以上还必须满足一元二次方程有根的条件:b2-4ac0三、一元二次方程的解法1.直接开平方法2.配方法:通过配方,将方程的左边化成一个含未知数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直接开平方求出方程的解的方法,即转化成(x+b)2=a(a0)的形式,再利用开平方步骤:(1)把方程化成一元二次方程的一般形式；(2)把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)；(3)把含有未知数的项放在方程的左边,不含未知数的项放在方程的右边；(4)方程的两边同加上一次项系数一半的平方(这是关键)；(5)方程的左边化成完全平方的形式,方程的右边化成非负数；(6)利用直接开平方的方法去解。如果整理后左边是完全平方式,如果右边是个负数,则指出原方程无实根。3.公式法步骤:(1) 把方程化成一元二次方程的一般形式；(2) 写出方程各项的系数；(3)计算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值与0的关系,若b2-4ac0时,两支曲线分别位于第一、三象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而减小；当k0时,两支曲线分别位于第二、四象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而增大。三、 反比例函数的应用第十章 频率和概率一、 用频率估计概率1.概率:一个事件发生的可能性的大小可以用一个数来表示,我们把这个数叫做这个事件发生的概率,一般用P（事件）表示。事件A发生的概率也记为P(A),事件B发生的概率记为P(B),依此类推 2.三种事件的概率:必然事件发生的概率为1(或100%),记作P(必然事件)=1;不可能事件发生的概率为0,记作P(不可能事件)=0随机事件(不确定事件)发生的概率介于0到1之间,即0P(不确定事件)1如果A为随机事件(不确定事件),那么0P(A)13. 用频率估计概率当试验次数很大时,一个事件发生频率也稳定在相应的概率附近。因此,我们可以通过多次试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。二、用列举法计算概率用列举法求概率的条件:(1)实验的所有结果是有限个(n)；(2)各种结果的可能性相等。一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)=m/n。9