苏教版初二数学讲义--平面直角坐标系.doc

初二数学讲义--平面直角坐标系
一、平面直角坐标系：
1． 有序实数对：
楷体有顺序的两个数与组成的实数对，叫做有序实数对，记作．
注意：当时，和是不同的两个有序实数对．号
2． 平面直角坐标系：号
在平面内有两条公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫做横轴或轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫做纵轴或轴，取向上的方向为正方向，两数轴的交点叫做坐标原点；轴和轴统称为坐标轴；建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面．
3． 象限
楷体轴和轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．
注意：
（1） 两条坐标轴不属于任何一个象限．
（2） 如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，要在表示横轴，纵轴的字母后附上单位．
4.点的坐标五号
对于坐标平面内的一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数、分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序实数对叫做点的坐标，记作．
坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．
注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．
二、坐标平面内特殊点的坐标特征：
1、各象限内点的坐标特征号
点在第一象限； 点在第二象限；
点在第三象限； 点在第四象限
2、坐标轴上点的坐标特
点在轴上，为任意实数；
点在轴上，为任意实数；
点即在轴上，又在轴上，即点的坐标为。号
3、两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征
点在第一、三象限夹角的角平分线上；
点在第二、四象限夹角的角平分线上．
4、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征
平行于轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数；
平行于轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．
楷体5、坐标平面内对称点的坐标特征
点关于轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．
点关于轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．
点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
点关于点的对称点是．
楷体五号

三、用坐标表示地理位置
1． 直角坐标系法
先确定原点，然后画出轴和轴，建立平面直角坐标系，再确定它的横坐标及纵坐标．点的坐标可以又横坐标和纵坐标唯一地确定．
2． 方位角法
从一定点出发，测量出被测点到定点的距离，及相对于定点的距离及相对于定点所处的方位角．点的位置有距离和方位角唯一地确定．
四、用坐标表示距离：
点到轴的距离是；点到直线的距离是；
点到轴的距离是；点到直线的距离是；
点到原点的距离是；点到点的距离，特别地，当平行于轴时，；当平行于轴时，．
五、用坐标表示平移：
1、点的平移
将点向右（或向左）平移个单位可得对应点或；
将点向上（或向下）平移个单位，可得对应点或．
2、图形的平移：
把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移个单位．
如果把图形各个点的纵坐标都加上（减去）一个正数，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）。
例题讲解：
一、坐标平面内点的位置标示：号
【例1】 与直角坐标平面内的点对应的坐标是（ ）
A．一对实数 B．一对有序实数 C．一对有理数 D．一对有序有理数
【例2】 由坐标平面内的三点构成的是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形

【例3】 已知直角三角形中，，，，若点在坐标原点，点在轴上．
（1）在平面直角坐标系中画出三角形；
（2）求点，的坐标．
二、坐标平面内特殊点的坐标特征：
【例4】 是平面直角坐标系内一点，
（1）若，则点在 ．
（2）若，则点在 ．
（3）若，则点在 ．
（4）若，则点在 ．
（5）若，则点在 ．
（6）若，则点在 ．
（7）若，则点在 ．
（8）若，则点在 ．

【例5】 已知坐标平面内两点，若还有两点和组成正方形，求两点的坐标．

【例6】 （1）已知点在第二象限，则点在第 象限．
（2）已知点在第二象限，则的取值范围是 ．
（3）已知点在第二象限，且为偶数，则的值为 ．

【例7】 （1）点若在轴上，则该点坐标为 ，若在轴上，则该点坐标为 ．
（2）如果点在第三象限，则点在 ．

【例8】 ⑴ 已知点在轴上，则点的坐标为 ．
⑵ 已知点在轴上，则点的坐标为 ．
⑶ 已知点在坐标轴上，则点的坐标为 ．

【例9】 在平面直角坐标系中，点在第一象限，则的取值范围是 ；

【例10】 点在第二象限的角平分线上，则　　　　；
【例11】 如果点在第四象限，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例12】 如果点满足，那么点必定在（ ）
A．原点上 B．轴上 C．轴上 D．坐标轴上
【例13】 对任意实数，点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例14】 ⑴ 已知点在第二象限坐标轴夹角平分线上，求点的坐标．
⑵ 已知点在第一象限坐标轴夹角平分线上，求点的坐标．
⑶ 已知点在坐标轴夹角平分线上，求点的坐标．

【例15】 已知点在轴上，则点的坐标为 ．

【例16】 已知点在轴上，求点的坐标．

【例17】 点在第一象限，求的范围．
【例18】 已知，求的坐标，并指出它在第几象限内．

【例19】 点在直角坐标系的轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．

【例20】 已知点在第二象限，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【例21】 点关于轴对称的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．

【例22】 点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．

【例23】 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是 ．

【例24】 已知点关于轴的对称点在第一象限，求的取值范围．

【例25】 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
三、坐标平面内的有关距离：
【例26】 点在轴上，该点坐标 ；该点到轴，轴的距离分别为 ， ；

【例27】 ⑴ 如果点在第三象限，且点到轴距离为3，到轴的距离为4，求点的坐标．
⑵ 如果点在第四象限，且点到轴距离为3，到轴的距离为4，求点的坐标．
⑶ 如果点到轴距离为3，到轴的距离为4，求点的坐标．

【例28】 点到横轴的距离为 ，到纵轴的距离为 ．

【例29】 点到直线的距离为，求的坐标．

【例30】 点到轴的距离为，到轴的距离为，该点坐标为 ．

【例31】 点到直线的距离为 ，到直线的距离为 ；

【例32】 已知点到轴、轴的距离相等，则该点坐标为 ．

【例33】 已知轴，的坐标为，并且，则的坐标为________．

【例34】 在轴上且到点的线段长度为5的点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或

【例35】 写出下列各点的坐标：
⑴ 如图，（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）；
⑵ 点到轴的距离为，到轴的距离为，则点坐标为 ；

四、坐标与平移变换

【例36】 点向左平移个单位，再向下平移个单位到点，则点的坐标为 ；
【例37】 如下图，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移
得到的，左边图案中左、右眼睛的坐标分别是，，右边图案中左眼的坐标是，则右边图案中右眼的坐标是_______．

【例38】 已知点，将坐标系先向下平移个单位长度,再向左平移个单位长度,则点在新坐标系内的坐标为_________．

【例39】 在平面直角坐标系中有一个已知点，现在轴向下平移个单位，轴向左平移个单位，单位长度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点的坐标为（，），在旧的坐标系下，点的坐标为 ；
【例40】在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，，将线段平移后得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．

【例41】把点向上平移两个单位,再向下平移3个单位,得到点的坐标为_______．

【例42】如图，把图①中的经过平移得到（如图②），如果图①中上一点的坐标为，那么平移后在图②中的对应点的坐标为 ．

五、 坐标与旋转变换：

【例43】如下图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中作出将“蘑菇”绕点逆时针旋转再向右平移2个单位的图形（其中、为所在小正方形边的中点）．

六、坐标平面内几何图形的面积：
【例44】在平面直角坐标系中，已知点，，的面积为12，试确定点的坐标特征．