高三数学高考必背公式.doc

【高考必备】高三数学重要公式与结论
一、集合
1、集合与元素之间关系：，集合与集合之间关系：，。
2、集合的子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空的真子集有–2个.
二、二次函数y = ax2 +bx + c的性质
1、顶点坐标公式： 对称轴： 最大（小）值：
2、若一元二次方程中，两根为，。则，。
三、指数与指数函数

1、幂的运算法则：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） (a≠0) （7） （8）
2、指数函数y = a x (a > 0且a≠1)的性质：

（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1）

四、对数与对数函数

1、对数的运算法则：

（1）a b = N b = log a N （2）log a 1 = 0 （3）log a a = 1 （4）
（5）log a (MN) = log a M + log a N （6）log a () = log a M — log a N
（7） （8）换底公式：log a N = （9）log a N =
2、对数函数y = loga x (a > 0且a≠1)的性质：

（1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）

五、幂函数：一般地，函数叫做幂函数.其中x为自变量，为常数.

【零点存在性原理】如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。
六、常见函数的导数公式:
1． ①；②；③；④；⑤；⑥；
⑦；⑧ ；⑨；⑩；
2．导数的四则运算法则：
3．复合函数的导数：
七、几何体的表面积体积计算公式
1、圆柱: 表面积:2π+2πRh 体积:πR²h

2、圆锥: 表面积:πR²+πRl 体积: πR²h/3 (l为母线长)
3、球：S球面 = 4πR2 V球 = πR3 （其中R为球的半径）
4、球的组合体
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.

八、 线面平行判定定理 线面垂直判定定理

1、异面直线所成角：=（分别表示异面直线的方向向量）
2、直线与平面所成角：(为平面的法向量).
3、二面角的平面角：（，为平面，的法向量）.
4、空间两点间的距离公式 ：若A，B，则
=.
5、点到直线距离：(点在直线上，直线的方向向量=，向量=).
6、异面直线间的距离：
(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).
7、点到平面的距离：
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
九、解析几何
1、斜率的计算公式：k = tanα= （α ≠ 90°，x 1≠x 2）直线的方向向量，则直线的斜率为=.
2、直线的方程（1）斜截式 y = k x + b ；（2）点斜式 y – y 0 = k ( x – x 0 ) ；（3）截距式
3、两条直线的位置关系：

l1：y = k1x + b1
l2：y = k 2 x + b2
l1： A1 x + B1 y + C1 = 0
l2： A2 x + B2 y + C2 = 0
重合
k1= k 2且b1= b2

平行
k1= k 2且b1≠ b2

垂直
k1 k 2 = – 1
A1 A2 + B1 B2 = 0
4、两点间距离公式：设P1 ( x 1 , y 1 ) 、P 2 ( x 2 , y 2 )，则 | P1 P2 | =
5、点P ( x 0 , y 0 )到直线l ：的距离：
6、两条平行线l1： A x + B y + C1 = 0 ，l2： A x + B y + C2 = 0的距离：
7、求解线性规划问题的步骤是：（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）画图，确定目标函数的最优解。
8、圆的方程
⑴圆的标准方程 . 圆心：（a，b），半径：r
⑵圆的一般方程 (＞0). 圆心： 半径：
⑶圆的参数方程 .
⑷圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、).
⑸圆系方程：
①过直线:与圆:的交点的圆系方程是
,λ是待定的系数．
②过圆:与圆:的交点的圆系方程是
,λ是待定的系数．
9、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d)
直线与圆的位置关系有三种:
; ; .
10、两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
;
;
;
;
.
11、弦长公式：（r为圆的半径，d为圆心到直线的距离）
12、椭圆：，，标准方程：(>0)，参数方程：
13、双曲线：，，标准方程：(a>0,b>0)，渐近线方程：y=±x
14、抛物线：，焦点：，准线：，焦半径：
过焦点弦长.
抛物线上的动点可设为P或 P，其中 .
十、统计
1、用样本的数字特征估计总体的数字特征
（1）、众数:在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.
（2）、中位数:将一组数据按从小到大依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．
（3）、平均数：
（4）、方差 方差反映稳定性，越小越稳定
2、由频率分布直方图中估计众数，中位数，平均数
众数：众数通常是频率分布直方图中最高矩形的中点的横坐标。
中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等。
平均数：每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和。
【注意】频率分布直方图中每一个小矩形的面积（=组距×高）是频率，所有面积之和为1.
3、回归直线方程：，其中= ，，回归直线必过点.
4、相关指数：来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 的值越接近于1，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好，即解释变量和预报变量的线相关性越强.
5、列联表中，，计算其观测值，查表得出结论。
十一、复数
1.复数的四则运算法则：
(1); (2);
(3); (4).
2.复平面上的两点间的距离公式 ：
（，）.
3．几个重要的结论：
；⑶；⑷
⑸性质：T=4；；
十二、常用不等式：
⑴均值定理：(当且仅当a＝b时取“=”号)．求最值得必要条件：一正、二定、三相等.
⑵(当且仅当a＝b时取“=”号)．
⑶
⑷柯西不等式
⑸.
注：一元二次不等式的解法：；大于取两边，小于取中间.
十三、三角函数特殊角函数值
角度
函数

角α的弧度
0

sinα
0

0
cosα
1

0

tanα
0

1

-1

0

2、三角函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图像

定义域
R
R
{x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z}
值 域
[-1,1]
[-1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
增区间[-+2kπ，+2kπ]
减区间[+2kπ，+2kπ]
增区间[-π+2kπ, 2kπ]
减区间[2kπ,π+2kπ]
增区间(-+kπ,+kπ)
最值
当+2kπ时,
当-+2kπ时,
当2kπ时,
当π+2kπ时,
无
3、同角三角函数公式 sin 2α+ cos 2α= 1
4、二倍角的三角函数公式
sin2α= 2sinαcosα cos2α=2cos2α-1 = 1-2 sin2α= cos2α- sin2α
5、降幂公式
6、升幂公式 1±sin2α= (sinα±cosα) 2 1 + cos2α=2 cos2α 1- cos2α= 2 sin2α

7、两角和差的三角函数公式
cos (α-β) = cosαcosβ+sinαsinβ cos (α+β) = cosαcosβ-sinαsinβ
sin (α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ sin (α-β) = sinαcosβ-cosαsinβ

8、两角和差正弦公式的变形（合一变形）
（其中）
特殊地：
9、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。”

10、函数中，振幅：A 周期： 初相：
十四、解三角形
1、正弦定理： （R为ΔABC外接圆半径） a : b : c = sinA : sinB : sinC
2、余弦定理：a 2 = b 2 + c 2 – 2bc•cosA , b 2 = a 2 + c 2 – 2a c•cosB , c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b•cosC
, ,
3、面积公式：S =ab sinC = bc sinA = ac sinB
十五、向量的有关概念
1、向量的模计算公式：（1）向量法：|| =；（2）坐标法：设=（x，y），则|| =
2、平面向量基本定理：，是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数，，使.

3、向量的平行与垂直的条件
∥（≠） x1 y2 – x2 y1 = 0
⊥·= 0x1 x2 + y1 y2 = 0

4、向量的加减法：设=（x1，y1），=（x2，y2），则=（x1 x2 ，y1 y2）

5、两个向量的夹角计算公式： cos<, > = =
6、平面向量的数量积计算公式：·= || || cos<, >= x1 x2 + y1 y2

7、线段的定比分公式：设，，是线段的分点,是实数，且，则
（）.
8、三角形五“心”向量形式的充要条件：设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则
（1）为的外心.
（2）为的重心.
（3）为的垂心.
（4）为的内心.
（5）为的的旁心.

注：三角形重心的性质
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为；
十六、等差数列{an}
1、通项公式：，推广： ( m , n∈N )
2、前n项和公式：
3、等差数列的主要性质
① （等差中项）若a，A，b成等差数列，则有2A=a+b
② 若m + n = p + q，则 a m + a n = a p + a q ( m , n , p , q∈N )
③求公差d的方法：
十七、等比数列{an}
1、通项公式：，推广： ( m , n∈N )
2、等比数列的前n项和公式：
3、等比数列的主要性质
① （等比中项）若a，G，b成等比数列，则有，（即）
② 若m + n = p + q，则 a m • a n = a p • a q ( m , n , p , q∈N )
③求公比q的方法：
4. 常用公式：①1+2+3 …+n = ；② ；
③；④ ； ⑤
十八、一般数列{ a n }的通项公式：记S n = a 1 + a 2 + … + a n ，则恒有
1、由递推关系式求数列的通项公式：
⑴形如，累乘法； ⑵形如，累加法；
⑶形如.（A≠0且A≠1），构造法.
2、数列求和的常用方法:(1)倒序相加法;(2)错位相减法;(3)裂项相消法;(4)分组求和法;(5)并项求和法.
十九、排列、组合和二项式定理：
1、排列数公式：==.(，∈N*，且)．注:规定.
当m=n时为全排列=n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1= n!
2、组合数公式：===(，∈N*，且)
3、组合数性质：
4、二项式定理：
①通项：②注意二项式系数与系数的区别 二项式系数之和为
二十、随机变量
1、随机变量的分布列：⑴随机变量分布列的性质：①;②.
⑵离散型随机变量：
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
均值（又称期望）：
方差： ;
注：；
⑶二项分布（独立重复试验）：若X～,则, 注： 。
2、条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。注：01
3、独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。
4、正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，关于直线x＝对称；
③曲线在x＝处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
二十一、极坐标和直角坐标的互化公式
若点M的极坐标为(ρ，θ)，直角坐标为(x，y)，则，
二十二、直线的参数方程：直线过点(x0，y0)，倾斜角为α，则直线的参数方程为：(t为参数)，
参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离
设是曲线截直线所得弦，且弦端点的参数值分别为，为线段中点，参数值为，则
⑴.（弦长公式的参数形式）
⑵
⑶