教案：第二讲(摩擦角).doc

2014级高一物理竞赛培训第一讲摩 擦 角 （两课时）高一物理组 郭金朋1、“千斤顶中的学问【例1】在固定的斜面上放一物体,并对它施加一竖直向下的压力,物体与斜面间的摩擦因数为。求斜面倾角的最大值，使得当m时,无论竖直向下的压力有多大，物体也不会滑下。分析:如图,物体受四个力，重力和压力的合力为G+F,静摩擦力Fs，斜面支持力FN。将G+F分解为F1和F2，根据平衡条件得FN= F2=（G+F）cosFs= F1=(G+F)sin物体不会滑下的条件是Fs小于最大静摩擦力Fm，而Fm=FN ，从而有：（G+F）sin（G+F)cos化简得 arctan所以只要arctan,无论F有多大,物体也不会滑下。说明： “千斤顶”螺旋实际可以看作是的弯曲斜面。2、推力的极大值（自锁）【例2】在机械设计中,常用到下面的力学装置，如图只要使连杆AB与滑块m所在平面法线的夹角小于某个值，那么无论连杆AB对滑块施加多大的作用力，都不可能使之滑动,且连杆AB对滑块施加的作用力越大，滑块就越稳定，工程力学上称为自锁现象。则自锁时应满足什么条件？设滑块与所在平面间的动摩擦因数为。分析：将连杆AB对滑块施加的推力F分解，且F远远大于mg，可以忽略。则滑块m 不产生滑动的条件为 FsinFcos化简得自锁的条件为arctan.3、拉力的极小值【例3】在水平面上放有一质量为m的物体，物体与地面的动摩擦因数为,现用力F拉物体，使其匀速运动，怎样施加F才能最小.分析：设拉力与水平面间的夹角为，将拉力F分解,并列出平衡方程，由动摩擦力公式得 Fcos=（mgFsin),化简为（其中令）当时F有最小值： , 且 = arctan.4、破冰船中的道理【例4】1999年，中国首次北极科学考察队乘坐我国自行研制的“雪龙”号科学考察船。“雪龙”号科学考察船不仅采用特殊的材料，而且船体的结构也满足一定的条件，以对付北极地区的冰块和冰层。它是靠本身的重力压碎周围的冰块，同时又将碎冰块挤向船底，如果碎冰块仍挤在冰层与船体之间,船体由于受到巨大的侧压力而可能解体.为此，船体与竖直方向之间必须有一倾角。设船体与冰块之间的动摩擦因数为.试问使压碎的冰块能被挤压向船底，角应满足的条件。分析：冰块受到三个力:冰层对冰块的水平向后的挤压力,船体对冰块的侧压力F,以及沿船体方向的摩擦力（冰块的重力和浮力可以忽略)。将F分解,如图 FN= F1=FcosFf =FN能使压碎的冰块被挤压向船底必须满足的条件为F2Ff ，有Fsin Fcos化简得 arctan5、压延机原理【例5】压延机由两轮构成,两轮的直径均为d=50mm，轮间的间隙为a=5mm，两轮按反方向转动，如图中箭头所示。已知烧红的铁板和铸铁轮之间的摩擦因数为=0.1，问能压延的铁板厚度b是多少？分析:铁板的A、B两点和铸铁轮接触,接触点与转轴连线的夹角为.在A点铁板受到FN1和Ff1两个力，在B点铁板受到FN2和Ff2两个力,如图所示。要使铁板能压延铁板所受合力必须向右,则 =arctan则铁板的最大厚度为 bm= a+2（r-rcos）=7.48mm所以能压延的铁板厚度 b7。48mm【例6】物体放在水平面上,用与水平方向成30的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进,求物体与水平面之间的动摩擦因素.答案：引进全反力R ,对物体两个平衡状态进行受力分析，再进行矢量平移，得到图18中的左图和中间图（注意：重力G是不变的,而全反力R的方向不变、F的大小不变),m指摩擦角。再将两图重叠成图的右图.由于灰色的三角形是一个顶角为30的等腰三角形,其顶角的角平分线必垂直底边故有：m = 15。最后，= tgm=0.268.【例7】如图217所示用力F推一放在水平地面上的木箱，质量为M，木箱与地面间摩擦因数为 问:当力F与竖直成夹角j多大时,力F再大也无法推动木箱？ 思路分析本题属于物体平衡问题,一般方法是用平衡条件列方程求极值，但这里用摩擦角的概念分析,问题会更加简单解:选物体为研究对象，受力如图218所示，其受四个力作用而静止，将弹力N和摩擦力f合成作出全反力F 当物体将要发生滑动时，静摩擦角j0。满足tgj0=m,由平衡条件知当0jj0时，物体出现自琐现象，也就是说此时无论用多大的力都不会使物体推动，故j角属于范围（0，j0）。一个接触面的平衡问题【例8】一物体质量为m，置于倾角为的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为，若要使物体沿斜面匀速向上滑动,求拉力的最小值.解析:本题有两种解法，一种是根据平衡条件利用数学建模得到后再求极值，另一种是引入全反力（摩擦角）化四力平衡为三力平衡根据矢量三角形直观快速地求解.解法一：（利用平衡条件求解)设拉力与斜面夹角为，则由平衡条件可得：即有令，则有 解法二：（引入摩擦角）如图1所示，设，则由平衡条件和矢量三角形可得:当拉力F垂直于全反力方向时此时F的拉力最小，即:【例9】结构均匀的梯子AB,靠在光滑竖直墙上,已知梯子长为L，重为G，与地面间的动摩擦因数为，如图所示,1，求梯子不滑动，梯子与水平地面夹角的最小值0；2，当=0时，一重为P的人沿梯子缓慢向上，他上到什么位置，梯子开始滑动？分析：本题有两种解法：解法一是根据物体的平衡条件求解,这是常规解法;另一解法是分析出它临界条件0再引入摩擦角解。解法一：（1)如图2所示，平衡条件可得：由上述3式可解得：（2）如图3所示，由平衡条件可得：由上述3式可解得：解法二：（1）（引入摩擦角)如图4所示,，由平衡条件可得： 所以有 （2）如图5所示，将梯子和人的重力用其等效重力代替，当等效重力的重心还在梯子重心下面时梯子还不会滑倒，当等效重力的重心还在梯子重心上面时梯子就会滑倒,所以当人上到梯子一半即L/2时，梯子开始滑动.两个接触面的平衡问题【例10】一架均匀梯子，一端放置在水平地面上,另一端靠在竖直的墙上,梯子与地面及梯子与墙的静摩擦系数分别为1、2，求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。分析：此题同样有两种解法，为了节省篇幅，接下来只介绍引入摩擦角的解法.此题是多点摩擦的问题，而且又是多点同时滑动,所以系统达到临界平衡状态(极限平衡状态）时，即梯子与水平所成的夹角最小时，各处摩擦力均达到最大值。现把两端点的受力用全反力表示，则梯子就只受三个力,且三个力必共点。解：如图6所示， ，,由平衡条件和几何关系可得：即梯子与地面所成的最小的角为 思考题质量为m的均匀梯子，一端在坚直光滑的墙上，另一端置于粗糙的水平地面上，静摩擦系数为,一个质量为M的人沿梯往上爬，为了保证该人的安全，对梯子的放置有什么要求？（答案：）【例12】一梯子长为L，斜靠在竖直的墙壁上，梯子的倾角为,与水平地面间的静摩擦系数为,与竖直墙面间的静摩擦系数为为，不计梯子的重力，求：重为G的人沿梯子能上升的最大高度。解：以梯子和人组成的系统为研究对象，如图所示,建立直角坐标系:地面对梯子的全反力F1的直线方程：y=(xLcos） （1）竖直墙面对梯子的全反力F2的直线方程：y=tanx +Lsin (2）梯子AB的直线方程：y=tan（xLcos） (3）当人达最高时，梯子将要滑动，此时有： tan= tan= 代入上式由（1）、（2）两式可得F1 与F2的交点P坐标为：x=代入（3）式得人达到的最大高度为：y=令h=Lsin 则:y=讨论：(1）当tan时，y，说明人可到达梯子的顶端,即：ymax=L sin.也就是说，梯子的倾角大于某一临界角时(tan=),梯子会处于自锁状态。这种情况在实际中正是人们所希望的，因此人们通常把梯子放得陡一些,使得人无论爬到梯子的任何位置，梯子都将因自锁而不至滑倒，而且梯子与水平地面间的静摩擦系数越大，临界角就会越小,梯子会更容易实现自锁状态。（2）、当tan时，yh，说明人不能到达梯子的顶端，即：ymax=如果此题考虑到梯子的重力,则上述结果便是人与梯子系统重心的最大高度，根据系统重心的计算公式,也可计算出人沿梯子上升的最大高度。小结：由于摩擦角与全反力所在直线的斜率存在着特殊的关系，所以在解决此类有关全反力及摩擦角的问题时,应首选“坐标法,这样可避免解繁琐的三角形，使解题的目的性更加明确，从而达到事半功倍的效果.【例12 】 如图9所示，每侧梯长为的折梯置于铅垂平面内，已知A、B两处动摩擦因数分别为A=0。2、B=0。6 ,不计梯重，求人能爬多高而梯不滑到。解析：这是多点摩擦不同时滑动的平衡问题，比前面的例题要复杂。如果地面与梯的摩擦系数足够大,则梯子不会滑到,现两边的摩擦系数较小，所以梯子有可能滑到，所以必须对A、B分别分析。解:由题意可得：，如果从A开始往上爬，爬到如图所示时梯子将滑到,此时受力如图9所示，设此时人离A端的距离为S,则由平衡条件和几何关系可得: 所以从A端能爬的最大高度为如果从B端开始往上爬，爬到如图所示时梯子将滑到,此时受力如图10所示,这将不可能,因为A梯早就滑动了或A梯早就转动了.综上所述，人能爬的最大高度是。想一想为什么人在梯子上爬时,水平地面对另一边梯子的作用力必须沿梯子方向？解题经验小结：引入摩擦角的好处:通过全反力的等效替代，可以减少力的个数，化多力平衡问题为三力平衡问题;可以迅速确定临界平衡状态；把平衡问题的判断转化为寻求角度之间的关系，这是求解平衡问题的重要思路.【例13 】如图1-15，两把相同的均匀梯子AC和BC，由C端的铰链 连起来，组成人字形梯子，下端A和B相距6m，C端离水平地面4m，总重200 N，一人重600 N,由B端上爬，若梯子与地面的静摩擦因数0。6，则人爬到何处梯子就要滑动?解：进行受力分析，如图所示，把人和梯子看成一个整体，整个系统处于平衡状态： AB=6m，CD=4m，AC=BC=5m 设人到铰链C的距离为 满足, 所以 整理后：，所以人在爬到梯子中点处时梯子就要滑动【例14 】 如图116所示，一均匀梯子，一端放在水平地面上，另一端靠在竖直墙上，梯子与地面和墙间的静摩擦因数分别为1和2，求梯子平衡时与地面所能成的最小夹角解：受力分析如图所示，同样处于平衡状态，解题过程与上题类 似，故解题过程略则梯子平衡时与地面所能成的最小夹角为6