教案：第二讲(摩擦角).doc

2014级高一物理竞赛培训第一讲
摩 擦 角 （两课时）
高一物理组 郭金朋
1、“千斤顶"中的学问
【例1】在固定的斜面上放一物体,并对它施加一竖直向下的压力,物体与斜面间的摩擦因数为μ。求斜面倾角θ的最大值，使得当θ≤θm时,无论竖直向下的压力有多大，物体也不会滑下。
θ

分析:如图,物体受四个力，重力和压力的合力为G+F,静摩擦力Fs，斜面支持力FN。将G+F分解为F1和F2，根据平衡条件得
FN= F2=（G+F）cosθFs= F1=(G+F)sinθ
物体不会滑下的条件是Fs小于最大静摩擦力Fm，而Fm=μFN ，从而有：
（G+F）sinθ≤（G+F)cosθ
化简得 θ≤arctanμ
所以只要θ≤arctanμ,无论F有多大,物体也不会滑下。
说明： “千斤顶”螺旋实际可以看作是＜μ的弯曲斜面。
2、推力的极大值（自锁）
【例2】在机械设计中,常用到下面的力学装置，如图只要使连杆AB与滑块m所在平面法线的夹角θ小于某个值，那么无论连杆AB对滑块施加多大的作用力，都不可能使之滑动,且连杆AB对滑块施加的作用力越大，滑块就越稳定，工程力学上称为‘自锁’现象。则自锁时θ应满足什么条件？设滑块与所在平面间的动摩擦因数为μ。
分析：将连杆AB对滑块施加的推力F分解，且F远远大于mg，可以忽略。则滑块m 不产生滑动的条件为
Fsinθ＜μFcosθ
化简得自锁的条件为θ＜arctanμ.
3、拉力的极小值
【例3】在水平面上放有一质量为m的物体，物体与地面的动摩擦因数为μ,现用力F拉物体，使其匀速运动，怎样施加F才能最小.
分析：设拉力与水平面间的夹角为θ，将拉力F分解,并列出平衡方程，由动摩擦力公式得
Fcosθ=μ（mg—Fsinθ),化简为
（其中令）
当时F有最小值： , 且θ = arctanμ.
4、破冰船中的道理
【例4】1999年，中国首次北极科学考察队乘坐我国自行研制的“雪龙”号科学考察船。“雪龙”号科学考察船不仅采用特殊的材料，而且船体的结构也满足一定的条件，以对付北极地区的冰块和冰层。它是靠本身的重力压碎周围的冰块，同时又将碎冰块挤向船底，如果碎冰块仍挤在冰层与船体之间,船体由于受到巨大的侧压力而可能解体.为此，船体与竖直方向之间必须有一倾角α。设船体与冰块之间的动摩擦因数为μ.试问使压碎的冰块能被挤压向船底，α角应满足的条件。
分析：冰块受到三个力:冰层对冰块的水平向后的挤压力,船体对冰块的侧压力F,以及沿船体方向的摩擦力（冰块的重力和浮力可以忽略)。将F分解,如图
FN= F1=FcosαFf =μFN
能使压碎的冰块被挤压向船底必须满足的条件为
F2＞Ff ，有
Fsinα＞μ Fcosα
化简得 α＞arctanμ
5、压延机原理
【例5】压延机由两轮构成,两轮的直径均为d=50mm，轮间的间隙为a=5mm，两轮按反方向转动，如图中箭头所示。已知烧红的铁板和铸铁轮之间的摩擦因数为μ=0.1，问能压延的铁板厚度b是多少？
分析:铁板的A、B两点和铸铁轮接触,接触点与转轴连线的夹角为α.在A点铁板受到FN1和Ff1两个力，在B点铁板受到FN2和Ff2两个力,如图所示。要使铁板能压延铁板所受合力必须向右,则
α ＜θ=arctanμ
则铁板的最大厚度为
bm= a+2（r-rcos）=7.48mm
所以能压延的铁板厚度
b＜7。48mm
【例6】物体放在水平面上,用与水平方向成30°的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进,求物体与水平面之间的动摩擦因素μ.
答案：引进全反力R ,对物体两个平衡状态进行受力分析，再进行矢量平移，得到图18中的左图和中间图（注意：重力G是不变的,而全反力R的方向不变、F的大小不变),φm指摩擦角。
再将两图重叠成图的右图.由于灰色的三角形是一个顶角为30°的等腰三角形,其顶角的角平分线必垂直底边……故有：φm = 15°。
最后，μ= tgφm=0.268.
【例7】如图2—1—7所示用力F推一放在水平地面上的木箱，质量为M，木箱与地面间摩擦因数为 问:当力F与竖直成夹角j多大时,力F再大也无法推动木箱？
[思路分析]本题属于物体平衡问题,一般方法是用平衡条件列方程求极值，但这里用摩擦角的概念分析,问题会更加简单．
解:选物体为研究对象，受力如图2—1—8所示，其受四个力作用而静止，将弹力N和摩擦力f合成作出全反力F ．当物体将要发生滑动时，静摩擦角j0。满足tgj0=m,由平衡条件知当0<j〈j0时，物体出现自琐现象，也就是说此时无论用多大的力都不会使物体推动，故j角属于范围（0，j0）。
一个接触面的平衡问题
【例8】一物体质量为m，置于倾角为的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为，若要使物体沿斜面匀速向上滑动,求拉力的最小值.
解析:本题有两种解法，一种是根据平衡条件利用数学建模得到后再求极值，另一种是引入全反力（摩擦角）化四力平衡为三力平衡根据矢量三角形直观快速地求解.
解法一：（利用平衡条件求解)设拉力与斜
面夹角为θ，则由平衡条件可得：
即有
令，则有
解法二：（引入摩擦角）如图1所示，设，则由平衡条件
和矢量三角形可得:当拉力F垂直于全反力方向时此时F的拉
力最小，即:
【例9】结构均匀的梯子AB,靠在光滑竖直墙上,已知梯子长为L，重为G，与地面间的动摩擦因数为μ，如图所示,
1，求梯子不滑动，梯子与水平地面夹角θ的最小值θ0；
2，当θ=θ0时，一重为P的人沿梯子缓慢向上，他上到什么位置，梯子开始滑动？
分析：本题有两种解法：解法一是根据物体的平衡条件求解,这
是常规解法;另一解法是分析出它临界条件θ0再引入摩擦角解。
解法一：（1)如图2所示，平衡条件可得：
由上述3式可解得：
（2）如图3所示，由平衡条件可得：
由上述3式可解得：
解法二：（1）（引入摩擦角)如图4所示,，由平衡
条件可得：
所以有
（2）如图5所示，将梯子和人的重力用其等效重力代替，
当等效重力的重心还在梯子重心下面时梯子还不会滑倒，当
等效重力的重心还在梯子重心上面时梯子就会滑倒,所以当
人上到梯子一半即L/2时，梯子开始滑动.
两个接触面的平衡问题
【例10】一架均匀梯子，一端放置在水平地面上,另一端靠在竖直的墙上,梯子与地面及梯子与墙的静摩擦系数分别为μ1、μ2，求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。
分析：此题同样有两种解法，为了节省篇幅，接下来只介绍引入摩擦角的解法.此题是多点摩擦的问题，而且又是多点同时滑动,所以系统达到临界平衡状态(极限平衡状态）时，即梯子与水平所成的夹角最小时，各处摩擦力均达到最大值。现把两端点的受力用全反力表示，则梯子就只受三个力,且三个力必共点。
解：如图6所示， ，,由平衡条件
和几何关系可得：
即梯子与地面所成的最小的角为
［思考题］质量为m的均匀梯子，一端在坚直光滑的墙上，另一端置于粗糙的水平地面上，静摩擦系数为μ,一个质量为M的人沿梯往上爬，为了保证该人的安全，对梯子的放置有什么要求？（答案：）
【例12】一梯子长为L，斜靠在竖直的墙壁上，梯子的倾角为,与水平地面间的静摩擦系数为,与竖直墙面间的静摩擦系数为为，不计梯子的重力，求：重为G的人沿梯子能上升的最大高度。
解：以梯子和人组成的系统为研究对象，如图所示,建立直角坐标系:
地面对梯子的全反力F1的直线方程：
y=－(x－Lcos） （1）
竖直墙面对梯子的全反力F2的直线方程：
y=tanx +Lsin (2）
梯子AB的直线方程：
y=－tan（x－Lcos） (3）
当人达最高时，梯子将要滑动，此时有：
tan= tan= 代入上式
由（1）、（2）两式可得F1 与F2的交点P坐标为：
x=
代入（3）式得人达到的最大高度为：
y=
=
令h=Lsin 则:
y=
=
讨论：(1）当tan时，y，说明人可到达梯子的顶端,即：ymax=L sin.也就是说，梯子的倾角大于某一临界角时(tan=),梯子会处于自锁状态。这种情况在实际中正是人们所希望的，因此人们通常把梯子放得陡一些,使得人无论爬到梯子的任何位置，梯子都将因自锁而不至滑倒，而且梯子与水平地面间的静摩擦系数越大，临界角就会越小,梯子会更容易实现自锁状态。
（2）、当tan时，y<h，说明人不能到达梯子的顶端，
即：ymax=
如果此题考虑到梯子的重力,则上述结果便是人与梯子系统重心的最大高度，根据系统重心的计算公式,也可计算出人沿梯子上升的最大高度。
小结：由于摩擦角与全反力所在直线的斜率存在着特殊的关系，所以在解决此类有关全反力及摩擦角的问题时,应首选“坐标法",这样可避免解繁琐的三角形，使解题的目的性更加明确，从而达到事半功倍的效果.
【例12 】 如图9所示，每侧梯长为的折梯置于铅垂平面内，已知A、B两处动摩擦因数分别为μA=0。2、μB=0。6 ,不计梯重，求人能爬多高而梯不滑到。
解析：这是多点摩擦不同时滑动的平衡问题，比前面的例题要复杂。如果地面与梯的摩擦系数足够大,则梯子不会滑到,现两边的摩擦系数较小，所以梯子有可能滑到，所以必须对A、B分别分析。
解:由题意可得：，
如果从A开始往上爬，爬到如图所示时梯子将滑到,此时
受力如图9所示，设此时人离A端的距离为S,则由平衡条件和
几何关系可得:
所以从A端能爬的最大高度为
如果从B端开始往上爬，爬到如图所示时梯子将滑到,此时
受力如图10所示,这将不可能,因为A梯早就滑动了或A
梯早就转动了.
综上所述，人能爬的最大高度是。
［想一想]为什么人在梯子上爬时,水平地面对另一边梯子的作用力必须沿梯子方向？
解题经验小结：引入摩擦角的好处:通过全反力的等效替代，可以减少力的个数，化多力平衡问题为三力平衡问题;可以迅速确定临界平衡状态；把平衡问题的判断转化为寻求角度之间的关系，这是求解平衡问题的重要思路.
【例13 】如图1-15，两把相同的均匀梯子AC和BC，由C端的铰链 连起来，组成人字形梯子，下端A和B相距6m，C端离水平地面4m，总重200 N，一人重600 N,由B端上爬，若梯子与地面的静摩擦因数μ＝0。6，则人爬到何处梯子就要滑动?
解：进行受力分析，如图所示，把人和梯子看成一个整体，整个系统处于平衡状态：
AB=6m，CD=4m，∴AC=BC=5m
设人到铰链C的距离为
满足,
所以
整理后：，
所以人在爬到梯子中点处时梯子就要滑动
【例14 】 如图1—16所示，一均匀梯子，一端放在水平地面上，另一端靠在竖直墙上，梯子与地面和墙间的静摩擦因数分别为μ1和μ2，求梯子平衡时与地面所能成的最小夹角．
解：受力分析如图所示，同样处于平衡状态，解题过程
与上题类 似，故解题过程略
则梯子平衡时与地面所能成的最小夹角为
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