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小学数学总复习资料数论基础知识小学数论问题，起因于除法算式：被除数除数商余数1. 能整除：整除，因数与倍数,奇数与偶数，质数与合数,公因数与公倍数，分解质因数等；2. 不能整除：余数，余数的性质与计算(余数）,同余问题(除数）,物不知数问题（被除数）.一、因数与倍数1、 因数与倍数（1） 定义：定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。定义2:如果非零自然数a、b、c之间存在abc，或者cab,那么称a、b是c的因数,c是a、b的倍数。注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可.（a、b是因数，c是倍数）一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身.一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数.（2） 一个数的因数的特点: 最小的因数是1，第二小的因数一定是质数; 最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数第二小的因数（3） 完全平方数的因数特征： 完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。 完全平方数的质因数出现次数都是偶数次; 1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完全平方数的个数是54个.（312=961，442=1936，542=2916）2、 数的整除（数的倍数)（1） 定义：定义1：一般地，三个整数a、b、c,且b0,如有abc，则我们就说,a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b0），得到一个整数商c，而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作ba。（ab）（2）整除的性质:如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（ab）也能被c整除.如果a能被b整除，c是整数，那么ac也能被b整除。如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除.如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除.（3）一些常见数的整除特征(倍数特征）：末位判别法2、5的倍数特征:末位上的数字是2、5的倍数。4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。截断求和法（从右开始截)9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和99（及其因数3、9、11、33)的倍数特征：两位截断求和999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和截断求差法（从右开始截）11的倍数特征：一位截断求差101的倍数特征：两位截断求差1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差公倍数法6的倍数特征:2和3的公倍数。先判断是否2的倍数，再判断是否3的倍数。12的倍数特征：4和3的公倍数.先判断是否4的倍数，再判断是否3的倍数.3、 奇数与偶数（自然数按是否能被2整除分类）（1） 定义：奇数：不是2的倍数的数。在自然数中，最小的奇数是1。偶数：是2的倍数的数。在自然数中,最小的偶数是0。(2）数的奇偶性质： 奇偶相连，奇偶相间，偶数个连续自然数中，奇偶各半。 奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数; 两个奇(偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数； 若 a、b 为整数，则 a+b 与 ab 有相同的奇偶性; n 个奇数的乘积是奇数，n 个偶数的乘积是 2n 的倍数;算式中有一个是偶数,则乘积必是偶数. 连续的奇数或偶数差为2。如，与奇数m相邻的两个奇数分别是（m-2）和（m+2)。 奇偶分析：奇奇偶 奇奇偶 奇奇奇 奇偶奇 偶偶偶 奇偶偶 偶偶偶 奇偶奇 偶偶偶4、 质数与合数（非0自然数按因数个数分类）（1） 定义：质数:只有1和它本身两个因数的数.（因数个数:2个)合数:除了1和它本身还有其它因数的数.（因数个数：3个或3个以上）（2） 常见质数特征:1既不是质数，也不是合数（1只有1个因数）；2是最小的质数；4是最小的合数；2是质数中唯一的偶数，也是偶数中唯一的质数（除2外，其它质数都是奇数)。（3)100以内质数表(25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、 53、59、61、67、71、73、79、83、89、97（4） 分解质因数 唯一分解定理：任何一个大于1的自然数N,如果N不是质数,那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积。 质因数：如果某个质数是某个数的因数，那么这个质数叫做这个数的质因数. 分解质因数:把一个合数写成它的几个质因数相乘的形式.如：2822727 通常用短除法分解质因数.任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 要求出乘积中末尾0的个数，只需要知道这些乘数分解质因数后2和5的个数,不用考虑其它质因数。(5) 互质数：公因数只有1的两个数为互质数。常见的互质数： 相邻自然数：8和9 相邻奇数：21和23 2与任意奇数：2和15 不同的两个质数：11和 17 1与任意非零自然数:1和4 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质:3和14 公因数只有1的两个合数：6和25 如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质：3、5、75、 最大公因数与最小公倍数（1） 定义:最大公因数：几个数公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数，用(a，b）表示.最小公倍数：几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数，用a,b表示.（2） 最大公因数的性质： 几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。 几个数的最大公因数都是这几个数的因数. 几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数。 几个数都乘一个自然数m，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘m.（3) 最小公倍数的性质: 两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 两个数最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。即（a，b）a,bab（4）求最大公因数的方法: 列举法 短除法 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来. 辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公因数。(5）求最小公倍数基本方法： 列举法 短除法 分解质因数法（6)分类求最大公因数和最小公倍数: 倍数关系：a是b的倍数,（a，b）b，a，ba 互质关系:a与b互质，（a，b)1，a，bab 一般关系：a与b不互质也不倍数，用短除法。（a,b）左侧除数连乘积,a，b除数和商连乘积6、 分解质因数的运用：（1）求一个数因数的个数 列举法：2个一组列举 分解质因数法：分解质因数所有不同质数出现次数+1连乘积（指数加1再相乘)如:360235，360的因数个数:（3+1）（2+1）（1+1）43224(个)(2)求一个数的所有因数的和步骤：分解质因数所有不同质因数的各种取法之和的连乘积。如:180235，180的所有因数之和：（202122）（303132）(5051)7136546二、余数性质与同余问题1、余数的性质(1) 余数小于除数。(2) 若a、b除以c的余数相同，则（a-b）或（ba）可以被c整除。(3) a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加b除以c的余数的和除以c的余数. (和的余数余数的和）(4) a与b的差除以c的余数等于a除以c的余数减b除以c的余数的差除以c的余数. （差的余数余数的差）(5) a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数. （积的余数余数的积）2、 余数的计算（求余数)(1) 末位判断法：2,5，4，25，8，125(2) 数字求和法：3，9各个数位上数字之和除以3或9的余数某数除以3或9的余数。如：234569.2+3+4+5+6+929，因为29932，所以2345699?2，即23456929（mod 9）(3) 截断求和法:99，999及其因数99（3、9、11、33)：两位截断求和,得到的和除以99余数,即原数除以99的余数。999(3、9、27、37、111、333)：三位截断求和，得到的和除以999余数,即原数除以999的余数。如：12345。345+12=357,357999，所以12345999余357。(4) 截断求差法:从右开始截断，奇段和偶段和。11，101,1001及其因数7、11、13、77、91、143。11：一位截断作差.从右开始，1位截断，(奇数位数字之和)（偶数位数字之和)11的余数，即为原数11的余数；如不够减，求出的负数+11。如：234569.奇数位数字之和3+5+917，偶数位数字之和2+4+612，17-125,所以23456911余5，即2345695（mod 11)如：98，（奇数位8偶数位9)8-9-1，-1+11=10,则9811810，即9810（mod 11)101:两位截断作差.从右开始，2位截断,（奇位和)(偶位和)101的余数，即为原数101的余数;如不够减,求出的负数+101。1001(7、11、13、77、91、143)：三位截断作差。从右开始，3位截断，（奇位和）（偶位和)1001的余数，即为原数1001的余数；如不够减，求出的负数+1001。3、 费马小定理如果p是质数，a是自然数,且a不能被p整除,则ap11（mod p).即:假如a是自然数,p是质数,且a，p互质,那么a的（p1)次方除以p的余数恒等于1.如：a是自然数2，p是质数5，2和5互质，2（5-1)5余1。a是自然数10，p是质数3，10和3互质，10（3-1）3余1.4、 同余问题（求除数)同余的定义:(1) 若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。(2) 已知三个整数a、b、m，如果m能被(ab）整除，就称a、b对于模m同余，记作ab(mod m),读作a同余于b模m.5、 中国剩余定理(物不知数问题:求被除数）在一千多年前的孙子算经中有著名算题：今有物不知其数，三三数之剩二,五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？物不知数问题，又叫孙子问题、韩信点兵问题。方法: 最小公倍数法:和同加和，余同加余,差同减差(缺同减缺)。 列举法(逐步满足条件法） 口诀法（仅适应于3、5、7）：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团圆正半月，除百零五便得知.口诀法解释(只看数字即可）:将除以3的余数乘70，将除以5的余数乘21，将除以7的余数乘15，全部加起来后除以105，得到的余数就是答案.步骤：270+321+215=140+63+30=233，233105=223三、 完全平方数完全平方数:0,1，4，9,16，25，36，49，64,81，100，121，144，169，196，225,256，289，324,361，400，441,484完全平方数特征:(1) 末位数字只能是:0、1、4、5、6、9；（个位数字是2、3、7、8的一定不是完全平方数）(2) 奇数的平方的个位数字是奇数,十位数字是偶数,如25，49，81.(个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数）(3) 如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6;反之，如果完全平方数的个位数字是6，它的十位数字一定是奇数。如16，36,196，256.（个位数是6，十位数是偶数的一定不是平方数）(4) 偶数的平方是4的倍数,奇数的平方是4的倍数加1。(5) 奇数的平方是8n+1型，偶数的平方是8n或8n+4型。（形如8n+2,8n+3，8n+5,8n+6，8n+7型的一定不是完全平方数)(6) 完全平方数的形式一定是3k或3k+1,即除以3余0或1。（形如3k+2的一定不是完全平方数）(7) 完全平方数的形式一定是4k或4k+1,即除以4余0或1。(形如4k+2和4k+3的一定不是平方数）(8) 能被5整除的数的平方是5k型，不能被5整除的数的平方是5k1型。(9) 完全平方数对的形式具有：16m，16m+1,16m+4，16m+9.(10) 完全平方数的各位数字之和只能是0，1，4，7,9。（各数位数字和是2、3、5、6、8的一定不是平方数)(11) 若质数p能整除完全平方数a，则p也能整除a。(12) 两个相邻整数的平方之间不可能再有完全平方数。(13) 一个自然数n是完全平方数的充要条件是n有奇数个因数。（因数个数为奇数个的自然数是平方数)(14) 任何四个连续整数的乘积加1,必定是一个平方数。平方差公式：X2-Y2=（XY）(X+Y)完全平方和公式：（X+Y)2=X2+2XY+Y2完全平方差公式:（XY)2=X22XY+Y25