小学奥数数论专题知识总结.doc

小学数学总复习资料
数论基础知识
小学数论问题，起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数
1. 能整除：整除，因数与倍数,奇数与偶数，质数与合数,公因数与公倍数，分解质因数等；
2. 不能整除：余数，余数的性质与计算(余数）,同余问题(除数）,物不知数问题（被除数）.
一、因数与倍数
1、 因数与倍数
（1） 定义：
定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。
定义2:如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b,那么称a、b是c的因数,c是a、b的倍数。
注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可.（a、b是因数，c是倍数）
一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身.
一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数.
（2） 一个数的因数的特点:
① 最小的因数是1，第二小的因数一定是质数;
② 最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数
（3） 完全平方数的因数特征：
① 完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。
② 完全平方数的质因数出现次数都是偶数次;
③ 1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完全平方数的个数是54个.（312=961，442=1936，542=2916）
2、 数的整除（数的倍数)
（1） 定义：
定义1：一般地，三个整数a、b、c,且b≠0,如有a÷b＝c，则我们就说,a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。
定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b｜a。（a≥b）
（2）整除的性质:
如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a—b）也能被c整除.
如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。
如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除.
如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除.
（3）一些常见数的整除特征(倍数特征）：
①末位判别法
2、5的倍数特征:末位上的数字是2、5的倍数。
4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。
8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。
②截断求和法（从右开始截)
9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和
99（及其因数3、9、11、33)的倍数特征：两位截断求和
999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和
③截断求差法（从右开始截）
11的倍数特征：一位截断求差
101的倍数特征：两位截断求差
1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差
④公倍数法
6的倍数特征:2和3的公倍数。先判断是否2的倍数，再判断是否3的倍数。
12的倍数特征：4和3的公倍数.先判断是否4的倍数，再判断是否3的倍数.
3、 奇数与偶数（自然数按是否能被2整除分类）
（1） 定义：
奇数：不是2的倍数的数。在自然数中，最小的奇数是1。
偶数：是2的倍数的数。在自然数中,最小的偶数是0。
(2）数的奇偶性质：
① 奇偶相连，奇偶相间，偶数个连续自然数中，奇偶各半。
② 奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数;
③ 两个奇(偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；
④ 若 a、b 为整数，则 a+b 与 a—b 有相同的奇偶性;
⑤ n 个奇数的乘积是奇数，n 个偶数的乘积是 2n 的倍数;算式中有一个是偶数,则乘积必是偶数.
⑥ 连续的奇数或偶数差为2。如，与奇数m相邻的两个奇数分别是（m-2）和（m+2)。
⑦ 奇偶分析：奇＋奇＝偶 奇－奇＝偶 奇×奇＝奇
奇＋偶＝奇 偶－偶＝偶 奇×偶＝偶
偶＋偶＝偶 奇－偶＝奇 偶×偶＝偶
4、 质数与合数（非0自然数按因数个数分类）
（1） 定义：
质数:只有1和它本身两个因数的数.（因数个数:2个)
合数:除了1和它本身还有其它因数的数.（因数个数：3个或3个以上）
（2） 常见质数特征:
1既不是质数，也不是合数（1只有1个因数）；
2是最小的质数；4是最小的合数；
2是质数中唯一的偶数，也是偶数中唯一的质数（除2外，其它质数都是奇数)。
（3)100以内质数表(25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、
53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
（4） 分解质因数
① 唯一分解定理：任何一个大于1的自然数 N,如果N不是质数,那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积。
② 质因数：如果某个质数是某个数的因数，那么这个质数叫做这个数的质因数.
③ 分解质因数:把一个合数写成它的几个质因数相乘的形式.如：28＝2×2×7＝2²×7
④ 通常用短除法分解质因数.任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
⑤ 要求出乘积中末尾0的个数，只需要知道这些乘数分解质因数后2和5的个数,不用考虑其它质因数。
(5) 互质数：公因数只有1的两个数为互质数。
常见的互质数：
① 相邻自然数：8和9
② 相邻奇数：21和23
③ 2与任意奇数：2和15
④ 不同的两个质数：11和 17
⑤ 1与任意非零自然数:1和4
⑥ 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质:3和14
⑦ 公因数只有1的两个合数：6和25
⑧ 如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质：3、5、7
5、 最大公因数与最小公倍数
（1） 定义:
最大公因数：几个数公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数，用(a，b）表示.
最小公倍数：几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数，用[a,b］表示.
（2） 最大公因数的性质：
① 几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。
② 几个数的最大公因数都是这几个数的因数.
③ 几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数。
④ 几个数都乘一个自然数m，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘m.
（3) 最小公倍数的性质:
① 两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
② 两个数最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。即（a，b）×［a,b]＝a×b
（4）求最大公因数的方法:
① 列举法
② 短除法
③ 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来.
④ 辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公因数。
(5）求最小公倍数基本方法：
① 列举法
② 短除法
③ 分解质因数法
（6)分类求最大公因数和最小公倍数:
① 倍数关系：a是b的倍数,（a，b）＝b，［a，b］＝a
② 互质关系:a与b互质，（a，b)＝1，[a，b]＝a×b
③ 一般关系：a与b不互质也不倍数，用短除法。（a,b）＝左侧除数连乘积,［a，b］＝除数和商连乘积
6、 分解质因数的运用：
（1）求一个数因数的个数
① 列举法：2个一组列举
② 分解质因数法：①分解质因数②所有不同质数出现次数+1连乘积（指数加1再相乘)
如:360＝2³×3²×5，360的因数个数:（3+1）×（2+1）×（1+1）＝4×3×2＝24(个)
(2)求一个数的所有因数的和
步骤：①分解质因数②所有不同质因数的各种取法之和的连乘积。
如:180＝2²×3²×5，180的所有因数之和：（20＋21＋22）×（30＋31＋32）(50＋51)＝7×13×6＝546
二、余数性质与同余问题
1、余数的性质
(1) 余数小于除数。
(2) 若a、b除以c的余数相同，则（a-b）或（b—a）可以被c整除。
(3) a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加b除以c的余数的和除以c的余数.
(和的余数＝余数的和）
(4) a与b的差除以c的余数等于a除以c的余数减b除以c的余数的差除以c的余数.
（差的余数＝余数的差）
(5) a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数.
（积的余数＝余数的积）
2、 余数的计算（求余数)
(1) 末位判断法：2,5，4，25，8，125
(2) 数字求和法：3，9
各个数位上数字之和除以3或9的余数＝某数除以3或9的余数。
如：234569.2+3+4+5+6+9＝29，因为29÷9＝3…2，所以234569÷9＝?…2，即234569≡29（mod 9）
(3) 截断求和法:99，999及其因数
99（3、9、11、33)：两位截断求和,得到的和除以99余数,即原数除以99的余数。
999(3、9、27、37、111、333)：三位截断求和，得到的和除以999余数,即原数除以999的余数。
如：12345。345+12=357,357＜999，所以12345÷999余357。
(4) 截断求差法:从右开始截断，奇段和－偶段和。11，101,1001及其因数7、11、13、77、91、143。
①11：一位截断作差.从右开始，1位截断，(奇数位数字之和)—（偶数位数字之和)÷11的余数，即为原数÷11的余数；如不够减，求出的负数+11。
如：234569.奇数位数字之和3+5+9＝17，偶数位数字之和2+4+6＝12，17-12＝5,所以234569÷11余5，即234569≡5（mod 11)
如：98，（奇数位8＜偶数位9)8-9＝-1，-1+11=10,则98÷11＝8……10，即98≡10（mod 11)
②101:两位截断作差.从右开始，2位截断,（奇位和)—(偶位和)÷101的余数，即为原数÷101的余数;如不够减,求出的负数+101。
③1001(7、11、13、77、91、143)：三位截断作差。从右开始，3位截断，（奇位和）—（偶位和)÷1001的余数，即为原数÷1001的余数；如不够减，求出的负数+1001。
3、 费马小定理
如果p是质数，a是自然数,且a不能被p整除,则ap—1≡1（mod p).
即:假如a是自然数,p是质数,且a，p互质,那么a的（p—1)次方除以p的余数恒等于1.
如：a是自然数2，p是质数5，2和5互质，2（5-1)÷5余1。
a是自然数10，p是质数3，10和3互质，10（3-1）÷3余1.
4、 同余问题（求除数)
同余的定义:
(1) 若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
(2) 已知三个整数a、b、m，如果m能被(a—b）整除，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m),读作a同余于b模m.
5、 中国剩余定理(物不知数问题:求被除数）
在一千多年前的《孙子算经》中有著名算题：
今有物不知其数，三三数之剩二,五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？
物不知数问题，又叫孙子问题、韩信点兵问题。
方法:
① 最小公倍数法:和同加和，余同加余,差同减差(缺同减缺)。
② 列举法(逐步满足条件法）
③ 口诀法（仅适应于3、5、7）：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团圆正半月，除百零五便得知.
口诀法解释(只看数字即可）:将除以3的余数乘70，将除以5的余数乘21，将除以7的余数乘15，全部加起来后除以105，得到的余数就是答案.
步骤：2×70+3×21+2×15=140+63+30=233，233÷105=2……23
三、 完全平方数
完全平方数:0,1，4，9,16，25，36，49，64,81，100，121，144，169，196，225,256，289，324,361，400，441,484…
完全平方数特征:
(1) 末位数字只能是:0、1、4、5、6、9；（个位数字是2、3、7、8的一定不是完全平方数）
(2) 奇数的平方的个位数字是奇数,十位数字是偶数,如25，49，81.(个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数）
(3) 如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6;反之，如果完全平方数的个位数字是6，它的十位数字一定是奇数。如16，36,196，256.（个位数是6，十位数是偶数的一定不是平方数）
(4) 偶数的平方是4的倍数,奇数的平方是4的倍数加1。
(5) 奇数的平方是8n+1型，偶数的平方是8n或8n+4型。（形如8n+2,8n+3，8n+5,8n+6，8n+7型的一定不是完全平方数)
(6) 完全平方数的形式一定是3k或3k+1,即除以3余0或1。（形如3k+2的一定不是完全平方数）
(7) 完全平方数的形式一定是4k或4k+1,即除以4余0或1。(形如4k+2和4k+3的一定不是平方数）
(8) 能被5整除的数的平方是5k型，不能被5整除的数的平方是5k±1型。
(9) 完全平方数对的形式具有：16m，16m+1,16m+4，16m+9.
(10) 完全平方数的各位数字之和只能是0，1，4，7,9。（各数位数字和是2、3、5、6、8的一定不是平方数)
(11) 若质数p能整除完全平方数a，则p²也能整除a。
(12) 两个相邻整数的平方之间不可能再有完全平方数。
(13) 一个自然数n是完全平方数的充要条件是n有奇数个因数。（因数个数为奇数个的自然数是平方数)
(14) 任何四个连续整数的乘积加1,必定是一个平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X—Y）(X+Y)
完全平方和公式：（X+Y)2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式:（X—Y)2=X2—2XY+Y2
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