立体几何三视图教案.doc

精锐教育学科教师辅导教案
学员编号： 年 级：高三 课 时 数: 3
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 刘欢
授课类型
T—几何体的三视图和直观图
T–几何体的表面积和体积
T—空间几何体的综合计算
授课日期及时段

教学内容
空间几何体的三视图（★）
情境引入
一、。对于空间几何体，可以有不同的分类标准,你能从不同的方面认识 柱、锥、台、球等空间几何体吗?你分类的依据是什么？
1、几种基本空间几何体的结构特征

结 构 特 征

图例
棱柱
(1)两底面相互平行，其余各面都是平行四边形;
(2)侧棱平行且相等。
圆柱
(1）两底面相互平行；（2)侧面的母线平行于圆柱的轴；
（3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.

棱锥
（1）底面是多边形，各侧面均是三角形;
(2）各侧面有一个公共顶点。
圆锥
（1）底面是圆；（2)是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体。

棱台
（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分。
圆台
（1）两底面相互平行；
（2)是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分。

球
(1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。

思考：柱、锥、台几何体有什么内在的联系?？
2、.为了研究空间几何体，我们需要在平面上画出空间几何体. 空间几何体有哪些不同的表现形式？
答：三视图和直观图
1.中心投影与平行投影：
① 投影法的提出：物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。人们将这种自然现象加以科学的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。
② 中心投影:光由一点向外散射形成的投影.其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形。
③ 平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影. 分正投影、斜投影.
→ 讨论：点、线、三角形在平行投影后的结果.
2.柱、锥、台、球的三视图:
.
1. “视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图。 光线自物体的前面向后投影所得的投影图成为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”,自上向下投影所得的图形称为“俯视图”。 用这三种视图即可刻划空间物体的几何结构，称为“三视图”。
2. 画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从几何体的正前方、左侧(和右侧）、正上方三个不同的方向看几何体，画出所得到的三个平面图形，并发挥空间想象能力. 在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来.
3。 三视图画法规则：(1）高平齐:正视图和侧视图的高保持平齐；宽相等:侧视图的宽和俯视图的宽相等；
长对正:正视图和俯视图的长对正.
要点提示：
(1)三视图之间的关系：
高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐
长对正：主视图与俯视图的长应对正
宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等
（2）在看图和画图时必须注意，以主视图为准,
俯、侧视图远离主视图的一侧表示物体的前面,
靠近主视图的一侧表示物体的后面。
（3)判断三视图时，以几何体的最大横截面为视图
的框架，被挡住的轮廓要用虚线表示。
典例精讲 15min。
题型1：简单空间图形的三视图
例题1.(2013•四川）一个几何体的三视图如图所示,则该集合体的直观图可以是（　　）
A．
B．
C．
D．
考点：简单空间图形的三视图．
专题：探究型．
分析：首先由几何体的俯视图断定原几何体的最上面的平面图形应是圆，再由俯视图内部只有一个虚圆，断定原几何体下部分的图形不可能是棱柱,由此可排除前三个选项．
解答：解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A和选项C．
而俯视图内部只有一个虚圆,所以排除B．故选D．
点评：本题考查了简单空间几何体的三视图，由三视图还原原几何体，首先是看俯视图,然后结合主视图和侧视图得原几何体，
解答的关键是明白三种视图都是图形在与目光视线垂直面上的投影,此题是基础题．
例题2．(2013•湖南)已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于（　　）
A．
B．1
C．
D．
考点：简单空间图形的三视图．
专题：计算题．
分析：通过三视图判断正视图的形状，结合数据关系直接求出正视图的面积即可．
解答:
解：因为正方体的棱长为1，俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形,
说明侧视图是底面对角线为边，正方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图：
那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以侧视图的面积为：．故选D．
点评：本题考查几何体的三视图形状，侧视图的面积的求法,判断几何体的三视图是解题的关键，考查空间想象能力．
例题3．(2012•湖南）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
考点：简单空间图形的三视图．
专题：作图题．
分析:由图可知，此几何体为组合体，对照选项分别判断组合体的结构，能吻合的排除，不吻合的为正确选项
解答：解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A
若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；
若俯视图为C，则正视图中应有虚线,故该几何体的俯视图不可能是C
若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为D；故选C
点评:本题主要考查了简单几何体的构成和简单几何体的三视图，由组合体的三视图，判断组合体的构成的方法,空间想象能力,属基础题
例题4. （2012•陕西）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体,则该几何体的左视图为 （　　)
A．
B．
C．
D．
考点：简单空间图形的三视图．
专题:计算题．
分析：直接利用三视图的画法，画出几何体的左视图即可．
解答：解:由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右侧的射影是正方形的对角线，B1C在右侧的射影也是对角线是虚线．
如图B．故选B．
点评：本题考查几何体的三视图的画法，考查作图能力．
课堂练习 15min.
1．（2011•江西）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图（　　）
A．
B．
C．
D．
考点：简单空间图形的三视图．
专题：作图题；压轴题．
分析:根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线,得到结果．
解答：解:左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线,对角线是由左下角都右上角的线,故选D．
点评：本题考查空间图形的三视图，考查左视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错．
2. (2010•广东）如图，A1B1C1为正三角形，与平面不平行，且CC1＞BB1＞AA1，则多面体的正视图（也称主视图）是（　　)
A．
B．
C．
D．
考点:简单空间图形的三视图．
专题:计算题；压轴题;数形结合．
分析：由题意，结合三视图的定义，容易判定A，B，C，不正确．
解答：解:因为A1B1C1为正三角形，A1B1BA正面向前，所以正视图不可能是A,B,C，只能是D故选D
点评:本题考查三视图的基本知识，是基础题．
3．（2010•广东）如图，△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC 且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC—A′B′C′的正视图（也称主视图）是(　　)
A．
B．
C．
D．
考点：简单空间图形的三视图．
专题:常规题型．
分析：根据几何体的三视图的作法，结合图形的形状，直接判定选项即可．
解答：解:△ABC为三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC，且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC—A′B′C′的正视图中，CC′必为虚线，排除B，C，3AA′=BB′说明右侧高于左侧,排除A．故选D
点评：本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力,是基础题．
4。 （2008•广东)将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B,C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图）为（　　）
A．
B．
C．
D．
考点：简单空间图形的三视图．
专题：综合题．
分析：图2所示方向的侧视图，由于平面AED仍在平面HEDG上，故侧视图中仍然看到左侧的一条垂直下边线段的线段，易得选项．
解答：解:解题时在图2的右边放扇墙（心中有墙),图2所示方向的侧视图，由于平面AED仍在平面HEDG上，
故侧视图中仍然看到左侧的一条垂直下边线段的线段，可得答案A．故选A．
点评:本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题．
题型2：由三视图还原实物图
例题1：（2011•浙江）若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是（　　）
A．
B．
C．
D．
考点:由三视图还原实物图．
分析：根据已知中的三视图,结合三视图中有两个三角形即为锥体，有两个矩形即为柱体，有两个梯形即为台体，将几何体分解为简单的几何体分析后,即可得到答案．
解答：解:由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形，故该几何体上部分是一个三棱柱；下部分是三个矩形，故该几何体下部分是一个四棱柱
故选D
点评：本题考查的知识点是由三视图还原实物图，如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形,则该几何体为N棱锥(N值由另外一个视图的边数确定）;如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱(N值由另外一个视图的边数确定）;如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．
例题2：（2013•济南二模）空间几何体的三视图如图所示,则此空间几何体的直观图为(　　）
A．
B．
C．
D．
考点：由三视图还原实物图．
专题：作图题．
分析:根据已知中的三视图，结合三视图几何体由两部分组成，上部是锥体，下部为柱体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案．
解答：解:由已知中三视图的上部分是锥体，是三棱锥,满足条件的正视图的选项是A与D,由左视图可知,选项D不正确，
由三视图可知该几何体下部分是一个四棱柱,选项都正确，故选A．
点评：本题考查的知识点是由三视图还原实物图，如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥;如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆,则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．
例题3：（2013•东城区二模)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
考点：由三视图还原实物图．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由题意可知，几何体为三棱锥，将其放置在长方体模型中即可得出正确答案．
解答：解：由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图所示（图中红色部分）,
利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形．故选D．
点评:本题考查学生的空间想象能力，由三视图还原实物图，是基础题．
例题4：纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“△”的面的方位（　　）
A．南
B．北
C．西
D．下
考点：空间几何体的直观图．
专题：压轴题．
分析:本题考查多面体展开图;正方体的展开图有多种形式，结合题目,首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．
解答：解:如图所示．

故选B
点评：本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．
课堂练习 15min.
1．（2012•莆田模拟）如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的（　　)
A．
B．
C．
D．
考点:由三视图还原实物图．
专题：操作型；空间位置关系与距离．
分析：根据直观图，作出三视图，利用排除法，可得结论．
解答：解:根据主视图为直角三角形，可排除A,根据左视图直角三角形的形状,可排除B、C，根据D，可验证知符合题意；故选D．
点评：本题考查三视图与直观图,考查学生读图能力，属于基础题．
2．(2011•安徽模拟）如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是（　　)

A．
B．
C．
D．
考点：由三视图还原实物图．
分析：正视图和左视图可以得到A，俯视图可以得到B和D，结合三视图的定义和作法解答本题正确答案D．
解答：解:正视图和左视图相同，说明组合体上面是锥体,下面是正四棱柱或圆柱，俯视图可知下面是圆柱．故选D
点评：本题主要考查三视图，三视图的复原，可以直接解答，也可以排除作答,是基本能力题目．
3．（2009•宁波模拟)三视图如图的几何体是（　　)
A．三棱锥
B．四棱锥
C．四棱台
D．三棱台
考点：由三视图还原实物图．
专题：作图题．
分析：由此几何体的正视图与侧视图可以看出，此几何体只有一个顶点，由俯视图可以看出此几何体底面是一个直角梯形，故由此可以得出此几何体是一个四棱锥．
解答：解：由三视图知，该几何体是四棱锥，且其中一条棱与底面垂直．故选B
点评：本题考点是由三视图还原实物图，考查根据三视图的形状推测出实物图的特征的能力,三视图是一个重要的描述几何体结构特征的方法,能读懂三视图，是初学者理解三视图的初步．
4．（2007•惠州模拟)如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（　　）

①长方体;②圆锥；③三棱锥；④圆柱．
A．④③②
B．②①③
C．①②③
D．③②④
考点:由三视图还原实物图．专题:图表型．
分析:由俯视图结合其它两个视图可以看出，几何体分别是圆柱、三棱锥和圆锥．
解答：解:根据三视图从不同角度知，甲、乙、丙对应的几何体分别是圆柱、三棱锥和圆锥，故选A．
点评：本题的考点是由三视图还原几何体,需要仔细分析、认真观察三视图进行充分想象，然后综合三视图,从不同角度去还原,考查了观察能力和空间想象能力．
5。 如图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来,变成正方体后的图形是（　　）

A．
B．
C．
D．
考点：由三视图还原实物图．
专题:常规题型．
分析：由题意可知，变成正方体后相邻的平面中三条线段是平行线,相邻平面只有两个是空白面,不难推出结论．
解答：解：将其折叠起来,变成正方体后的图形中，相邻的平面中三条线段是平行线，排除A，C；相邻平面只有两个是空白面，排除D；故选B
点评：本题是基础题,考查空间想象能力,折叠前后直线的位置关系，图形的特征，结合实物可以帮助理解掌握．
题型3:斜二测画法及直观图
斜二测画法步骤是:
（1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O。画直观图时，把它们画成对应的x’轴和y’轴，两轴交于点O’,且使∠x'O’y’=45°（或135 °），它们确定的平面表示水平面。
（2)已知图 形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y’轴的线段。
（3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段,长度为原来的一半。
思考：在原图与直观图中，有哪些变化的量？有哪些不变的量？
例：画水平放置的正方形的直观图。
画法：1）在已知正方形ABCD中，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴,画对应的x’、y’轴，
使∠x'o’y’＝450.
2)在x'轴上取点B’、D'，使O'B’＝OB，O'D'＝OD,并分别过点B’、D’作B'C’平行于y’轴，D'C'平行于x’轴，交点为C'.
例题1：一个边长为2的正方形用斜二测画法作直观图，则其直观图的面积为（　　）
A．
B．2
C．4
D．
考点：平面图形的直观图．
专题：计算题．
分析：根据斜二测画法所得的直观图是一个四边形，它的面积与水平放置的正方形的面积之比的关系，求解即可．
解答：解：水平放置的正方形的面积与斜二测画法所得的直观图是一个四边形,两者面积之比为，
而边长为2的正方形的面积为：22=4，所以这个四边形的面积为：．故选D．
点评：本题是基础题，考查斜二测画法与水平放置的平面图形的面积之比问题，牢记基本结论：的关系,解题能够提高速度．
例题2：利用斜二测画法画平面内一个三角形的直观图得到的图形还是一个三角形，那么直观图三角形的面积与原来三角形面积的比是（　　)
A．
B．
C．
D．
考点:斜二测法画直观图．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：根据画直观图时与x轴平行的线段长度保持不变，与y轴平行的线段程度变为原来的一半，可得直观图三角形的底边为原来的一半，高长为原来高长的，从而可得直观图三角形的面积与原来三角形面积的比．
解答：解：∵画直观图时与x轴平行的线段长度保持不变，与y轴平行的线段程度变为原来的一半
∴直观图三角形的底边为原来的一半，高长为原来高长的，∴直观图三角形的面积与原来三角形面积的比是;故选A．
点评：本题主要考查对平面直观图的画法，考查学生的计算能力,属于基础题．
课堂练习 10min.
1。 如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图,直角边O′B′=1，则这个平面图形的面积是（　　)
A．
B．1
C．
D．
考点:平面图形的直观图．
专题:计算题．
分析：由已知中Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′=1，我们易求出Rt△O′A′B′的面积，再根据原图的面积与直观图面积之比为1:，即可求出满足条件答案．
解答:解:由已知中Rt△O′A′B′，直角边O′B′=1，则Rt△O′A′B′的面积S=
由原图的面积与直观图面积之比为1：，可得原图形的面积为:；故选C
点评:本题考查的知识点是平面图形的直观图,其中原图的面积与直观图面积之比为1：，是解答引类问题的关键．
2 ．（2012•湘潭三模）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是（　　）
A．
B．2+
C．1+
D．1+
考点:平面图形的直观图．
专题：计算题．
分析：水平放置的图形为直角梯形,求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．
解答：解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2,下底为1+，
S=（1++1）×2=2+．故选B．
点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，属基础知识的考查．
3. 如图梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的斜二侧直观图,若A1D1∥O′y′A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2，A1D1=1，则四边形ABCD的面积是（　　）
A．10
B．5
C．
D．
考点：空间几何体的直观图．
专题：计算题．
分析:如图，根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形ABCD的形状，求出底边边长，上底边边长，以及高，然后求出面积．
解答：解：如图,根据直观图画法的规则，
直观图中A1D1∥O′y′，A1D1=1,⇒原图中AD∥Oy,从而得出AD⊥DC，且AD=2A1D1=2，
直观图中A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2，⇒原图中AB∥CD，AB=CD=2，
即四边形ABCD上底和下底边长分别为2，3，高为2,如图．
故其面积S=（2+3）×2=5．故选B．
点评：本题考查平面图形的直观图，考查计算能力,作图能力,是基础题．
题型4：平行投影及平行投影作图
例题1：（2013•临沂三模）一只蚂蚁从正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（　　）
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
考点：平行投影及平行投影作图法．
专题：空间位置关系与距离．
分析：本题可把正方体沿着某条棱展开到一个平面成为一个矩形，连接此时的对角线AC1即为所求最短路线．
解答：解:由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置,共有6种展开方式，若把平面ABA1B1和平面BCC1展到同一个平面内，
在矩形中连接AC1会经过BB1的中点，故此时的正视图为②．
若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内,在矩形中连接AC1会经过CD的中点,此时正视图会是④．
其它几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了，故选C
点评：本题考查空间几何体的展开图与三视图，是一道基础题．
例题2:（2012•朝阳区二模）有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是（　　）
A．1
B．
C．
D．
考点：平行投影及平行投影作图法．
专题：空间位置关系与距离．
分析：首先想象一下，当正方体绕着对角线BD’所在的直线转动时，体会投影的变化,当正方体为ABCD-A’B'C’D'投影最大的时候，应该是投影面α和面AB'C平行，从而得到结果．
解答： 解：设正方体为ABCD-A’B'C'D'投影最大的时候，应该是投影面α和面AB'C平行，三个面的投影为三个全等的菱形对角线为，即投影上三条对角线构成边长为的等边三角形．
∴投影的面积=三角形面积×2=×××2=．故选D．
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法,本题是一个计算投影面积的题目,注意解题过程中的投影图的变化情况，本题是一个中档题
课堂练习 15min.
1。（2011•丰台区一模)如图所示，O是正方体ABCD—A1B1C1D1对角线A1C与AC1的交点，E为棱BB1的中点，则空间四边形OEC1D1在正方体各面上的正投影不可能 是（　　)
A．
B．
C．
D．
考点：平行投影及平行投影作图法．
专题：阅读型．
分析：空间四边形OEC1D1在正方体左右面上的正投影是C选项的图形，空间四边形OEC1D1在正方体上下面上的正投影是D选项的图形，空间四边形OEC1D1在正方体前后面上的正投影是B选项的图形,得到结论．
解答:解：空间四边形OEC1D1在正方体左右面上的正投影是C选项的图形，空间四边形OEC1D1在正方体上下面上的正投影是D选项的图形，
空间四边形OEC1D1在正方体前后面上的正投影是B选项的图形，只有A选项不可能是投影，故选A．
点评:本题考查平行投影及平行投影作图法，考查在同一图形在不同投影面上的投影不同,本题是一个基础题．
2. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（　　)

A．①④
B．②③
C．②④
D．①②
考点:平行投影及平行投影作图法．
专题:综合题．
分析:由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P、A在各个面上的投影，再把它们连接起来，即,△PAC在该正方体各个面上的射影．
解答：解:从上下方向上看,△PAC的投影为①图所示的情况；从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；从前后方向上看,△PAC的投影为④图所示的情况；故选A．
点评：本题主要考查了平行投影和空间想象能力,关键是确定投影图得关键点，如顶点等，再一次连接即可得在平面上的投影图，主要依据平行投影的含义和空间想象来完成．
3。 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E，F分别为棱AA1，C1D1的中点，G是侧面BCC1B1的中心，则空间四边形AEFG在正方体的六个面上的射影图形面积的最大值是（　　）
A．
B．
C．
D．
考点：平行投影及平行投影作图法．
专题：计算题．
分析:在前后面上的射影，在左右面上的射影，在上下面上的射影，这三种不同的情况下，只有在前后面上的射影正好占到一个面的一半，得到结果．
解答:解：AEFG在正方体的六个面上的射影有三种情况，即在前后面上的射影，在左右面上的射影,在上下面上的射影，
这三种不同的情况下,只有在前后面上的射影正好占到一个面的一半，∴射影到面积的最大值是；故选C．
点评：本题考查平行投影即平行投影作图法,本题解题的关键是看出三种不同的情况下的射影，看出射影在三个不同的面上的面积．
4．如图所示,E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是如图中的（　　)
A．四个图形都正确
B．只有②③正确
C．只有④错误
D．只有①②正确
考点：平行投影及平行投影作图法．
分析：按照三视图的作法:上下、左右、前后三个方向的射影，四边形的四个顶点在三个投影面上的射影,再将其连接即可得到三个视图的形状，按此规则对题设中所给的四图形进行判断即可．
解答：解：因为正方体是对称的几何体，
所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为:自上而下、自左至右、由前及后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影．四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同,如图②所示;
四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图③所示．
故②③正确；故选B．
点评：本题考查简单空间图形的三视图,考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力，三视图是高考的新增考点,不时出现在高考试题中，应予以重视．
回顾小结 15min。
本节课学了哪些内容呢？
空间几何体的表面积和体积
知识梳理
（1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和.
（2)特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）
（3)柱体、锥体、台体的体积公式

（4）球体的表面积和体积公式:S= ;
典例精讲 15min.
例题1： 将圆心角为，面积为的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积
解:设扇形的半径和圆锥的母线都为，圆锥的半径为，则 ；；
例题2： 如图，在四边形中，，，,，，求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积
解：
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
专题：空间位置关系与距离．
分析：(1）旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥,由此可得几何体的直观图
（2）根据题目所给数据，求出圆台的体积和圆锥的体积，相减后可得答案．
（3）根据题目所给数据，求出圆台的侧面积、圆锥的侧面积、圆台的底面积，即可求出几何体的表面积．
解答：解:四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体，如下图所示：

（2)∵∠ADC=135°，AB=5，CD=，AD=2,
∴圆台的下底面半径为5，上底面半径为2，高为4
圆锥的底面半径为2，高为2
则S圆台下底面=π×52=25π
S圆台上底面=π×22=4π
则圆台的体积V= •(25π+10π+4π)•4=
圆锥的体积V=•4π•2=
故几何体的体积V=-=
（3)S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面
=πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1
=π×52+π×（2+5)×5+π×2×=25π+35π+π
=60π+π
点评:本题是基础题，考查旋转体的表面积，转化思想的应用，计算能力的考查，都是为本题设置的障碍，仔细分析旋转体的结构特征，为顺利解题创造依据．
【课堂练习】
1。已知三棱锥的底面是边长为2的等边三角形,高为2,则其体积为 .
2.圆锥的底面半径和高都为1,则其体积为 ，侧面积为 .
3.直径为2的球的体积为 .
4.正方体的棱长为2，其内切球的体积为 ；长方体的长宽高分别为5、4、3，则其外接球的表面积为 .
5。边长为2的等边三角形经过斜二测画法作图形的三角形面积为 .
6．半径为6cm的圆形铁片,剪去一个扇形，扇形面积为圆面积的，使剩余部分卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的容积是 .
7。圆柱的高增大为原来的3倍,底面直径增大为原来的2倍，则圆柱的体积增大为原来的( C ）倍.
A。 6 B. 9 C. 12 D. 16
8．如果圆锥的轴截面是正三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比是 2：3 。
9。两个半径为1的铁球，熔化成一个大球,则大球的表面积为（ C ）
A。 B。 C。 D。
10。如右图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水。若放入一个半径为r的实心铁球,水面高度恰好升高r,则 .
11。正三棱锥的侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高.
H=1
12.在边长为4的正方体中，求三棱锥D—A'D’C’的体积。
题型2：由三视图求面积、体积
例题1：右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 （ D ）
（A）9π　　（B)10π （C)11π (D）12π
例题2：．（2013•广东）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是(　　）
A．
B．
C．
D．1
考点：由三视图求面积、体积．
专题:空间位置关系与距离．
分析:由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．
解答:解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．
∴S△ABC＝×AB×BC＝×12＝．因此V= ×S△ABC×PA= ××2=．故选B．
题型3:多面体和旋转体表面上的最短距离问题
例题3：长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为（　　)
A．1+
B．2+
C．
D．
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题;棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计算．
专题:计算题；作图题．
分析：画出长方体的侧面展开图，然后求其三角形的边长AC1的长，
解答：解：结合长方体的三种展开图不难求得AC1的长分别是：，,,显然最小值是，故选C．

点评：求表面上最短距离常把图形展成平面图形．考查学生几何体的展开图,空间想象能力，是基础题．
例题4:侧棱垂直于底面且底面是正三角形的三棱柱叫做正三棱柱；如图正三棱柱ABC-A′B′C′的底面边长为，高为2,
一只蚂蚁要从顶点A沿三棱柱的表面爬到顶点C′，若侧面AA′C′C紧贴墙面（不能通行),则爬行的最短路程是（　　）

A．
B．2+
C．4
D．
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．
专题：计算题．
分析：由题意可知一蚂蚁从顶点A出发，沿正三棱柱的表面爬到顶点C′，那么这只蚂蚁所走过的最短路程就是,侧面展开图中AC′的距离．利用勾股定理求解即可．
巩固练习 15min。
1。 长方体的一个顶点上三条棱长分别是,且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ B ）
A B C D 都不对
2.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ B）
3. 若圆锥的表面积是，侧面展开图的圆心角是，则圆锥的体积是_______
解析： 设圆锥的底面半径为，母线为，则，得，，得，圆锥的高
4.一个半球的全面积为，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是 .
解析：
5。一个空间几何体的正视图、侧视图均是长为2、高为3的矩形,俯视图是直径为2的圆（如图），则这个几何体的表面积为（　　）
A．12+π
B．7π
C．8π
D．20π
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题．
分析：由三视图知，此几何体是一个圆柱，其高为3，半径为1，由公式易求得它的表面积，选出正确选项．
解答：解：由图知,此几何体是一个圆柱，其高为3，半径为1,它的表面积为2×π×12+2×π×1×3=8π．故选C．
点评：本题考查由三视图求面积、体积，解题的关键是由三视图还原出实物图的几何特征及其度量，再由公式求出表面积，本题考查了空间想象能力．
6.（2012•浙江）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积是(　　）
A．1cm3
B．2cm3
C．3cm3
D．6cm3
由三视图求面积、体积．
专题：计算题．
分析:由三视图知,几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1和2的直角三角形，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是3，这是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式得到结果．
解答：解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1cm和2cm的直角三角形，面积是 ×1×2=1cm2，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是3cm，这是三棱锥的高，∴三棱锥的体积是×1×3=1cm3，故选A．
点评:本题考查由三视图还原几何体,本题解题的关键是根据三视图看出几何体的形状和长度，注意三个视图之间的数据关系,本题是一个基础题．
7。（2012•湖北)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　B　）
A. B. C。 D.
8.（2012•广东）某几何体的三视图如图所示,它的体积为（　　)
A．72π
B．48π
C．30π
D．24π
解：由图知，该几何体是圆锥和半球体的组合体,球的半径是3，圆锥底面圆的半径是3,圆锥母线长为5，由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4，则它的体积故选C
9.（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（　　）
A．12π
B．45π
C．57π
D．81π
10.（2011•陕西)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是(　A　）

11。(2011•广东）如图,某几何体的正视图(主视图），侧视图