生物统计学教案(3).doc

生物统计学教案
第三章 几种常见的概率分布律
教学时间：3学时
教学方法:课堂板书讲授
教学目的：重点掌握正态分布，掌握二项分布，了解泊松分布，中心极限定律。
讲授难点：正态分布、二项分布
3。1 二项分布(重点）
3。1。1 二项分布的概率函数
满足二项分布的条件:
1、在一随机试验中,每次试验都有两种不同的结果。
2、两种结果是互不相容的。
3、每一种结果在每次试验中都有恒定的概率。
4、试验间应是独立的。
独立地将此试验重复n次，求在n此试验中,一种结果出现x次的概率是多少？
例:从雌雄各半的100只动物中抽样，抽样共进行10次，问
其中包括3只雄性动物的概率是多少？包括3只及3只以下的概率是多少？即求P（X＝3）和P(X≤3）
该例符合二项分布的条件。规定以下一组符号:
n ＝ 试验次数
x ＝ 在n次试验中事件A出现的次数
φ＝ 事件A发生的概率（每次试验都是恒定的）
1－φ＝ 事件发生的概率
p（x） = x的概率函数＝P（X＝x）
（累积分布函数） F（x) = P（ X ≤x )
上例中：n=10 x=3 φ=0.5 求p（3) 和F（3）.在一次抽样中抽到的结果为:mmmfffffff，它的概率为
P（mmmfffffff）=φ3(1-φ) 7
抽到3雄7雌的数目相当于从10个元素中抽出3个元素的组合数
对于任意n和x有以下通式:
上式称为二项分布的概率函数。该式正是二项展开式的第x+1项，因而产生“二项分布”这一名称.因为φ＋（1－φ)＝1,所以
将x＝0，1，2,3，代入二项分布概率函数,可以得出出现0，1,2，3只雄性动物的概率。
P（0）＝ 0.0009766 P(1)＝ 0。0097656
P(2)＝ 0.0439453 P（3）＝ 0。1171876
抽到3只和3只以下雄性动物的概率为：
F（3)＝P（0)＋P（1）＋P（2）＋P（3）
＝0.1718751
3。1.2 服从二项分布的随机变量的特征数
平均数： μ＝nφ 或 μ＝φ
方差： σ2＝nφ（1-φ) 或
3。1.3 二项分布应用实例
例1 以杂合基因型Wvwv的小鼠为父本,隐性纯合子小鼠wvwv为母本杂交（wv波浪毛,Wv直毛），后代两种基因型的数目应各占一半。实验只选每窝8只的，多于8只和少于8只的都淘汰.结果列在下表中。
直毛后代数 观测频数
（x) （f） fx fx2 p(x） Np(x)
0 0 0 0 0。003906 0.124992
1 1 1 1 0.031250 1.000000
2 2 4 8 0.109375 3.500000
3 4 12 36 0。218750 7.000000
4 12 48 192 0。273437 8.749984
5 6 30 150 0。218750 7.000000
6 5 30 180 0.109375 3.500000
7 2 14 98 0。031250 1.000000
8 0 0 0 0。003906 0.124992
总数 N＝32 139 665 0.999999 31。99968
样本平均数、总体平均数；样本方差、总体方差如下：
例2 遗传学中单因子杂交RR×rr,F1代为Rr，F1自交，F2基因型比符合二项分布。在F2中P（R)＝φ＝1/2，P（r）＝1－φ＝1/2,n＝2。展开二项式：
对于两对因子,n＝4
在为人类或动物遗传学研究中，为了保证实验顺利完成，在制定试验计划时,首先要以指定概率求出所需样本含量n。
例3 用棕色正常毛（bbRR）的家兔和黑色短毛(BBrr）兔杂交，F1代为黑色正常毛长的家兔(BbRr), F1代自交，F2代表型比为:9/16B_R_ : 3/16B_rr : 3/16bbR_ : 1/16bbrr。问最少需要多少F2代家兔，才能以99％的概率得到一个棕色短毛兔？
答： φn ＝（15/16）n ＝ 0.01
n（lg15－lg16)＝ lg0。01
-0。02803n ＝－2。00000
n ＝71.4
3.2 泊松分布
3。2.1 泊松分布的概率函数
在二项分布中，当某事件出现的概率特别小(φ→0），而样本含量又很大（n→∞）时，二项分布就变成泊松分布了.泊松分布是描述在一定空间、长度、面积、体积或一定时间间隔内，点子散布状况的理想化模型。泊松分布的概率函数为：
3.2.2 服从泊松分布的随机变量的特征数
泊松分布的平均数: μ＝ μ
可见,泊松分布的平均数就是泊松分布概率函数中的μ。
泊松分布的方差: σ2＝ μ
概率函数中的μ不但是它的平均数，而且是它的方差.
3.2。3 泊松分布应用实例
例1 在麦田中，平均每10m2有一株杂草，问每100m2麦田中,有0株、1株、2株、…杂草的概率是多少？
解: 先求出每100m2麦田中,平均杂草数μ
μ＝ 100/10＝ 10株
将μ代入泊松分布的概率分布函数中,
p（x） = 10x/x!e10，
即可求出x＝ 0，1，2，… 时所相应的概率。结果如下：
x ≤5 6 7 8 9 10
p(x） 0。0671 0。0631 0.0901 0.1126 0.1251 0.1251
11 12 13 14 ≥15
0.1137 0。0948 0.0729 0.0521 0.0835
例2 绘制遗传连锁图时，制图函数是通过泊松分布推演出的。在一对同源染色体之间交换的出现是服从泊松分布的，将x＝0代入泊松分布的概率函数中，
得出两基因座之间无交换出现的概率.两基因座之间至少出现一次交换的概率P（x≥1） = 1－e—μ。从遗传学理论可知，在两基因座之间大于等于1的任何有限次交换其重组频率恒等于50％。因此重组率
解出两基因座之间的平均交换次数
μ= －ln（1－2RF ）
两基因座之间平均交换一次，其图距为50m.u.，从而可以得出图距
MD＝－50ln（1－2RF）
3。4 正态分布（重点)
3.4。1 正态分布的密度函数和分布函数
对于平均数是μ，标准差是σ的正态分布，其密度函数为:
正态分布密度函数的图象称为正态曲线
正态分布曲线
以符号N（μ，σ2)表示平均数为μ，标准差为σ2的正态分布。
随机变量X的值落在任意区间（a，b）内的概率
累积分布函数
3.4。2 标准正态分布
当μ＝0，σ＝1时的正态分布称为标准正态分布，标准正态分布记为N(0,1）.标准正态分布的密度函数为:
标准正态分布的分布曲线如下图
标准正态分布曲线
累积分布函数分布图如下：
标准正态分布的累积分布曲线
标准正态分布有以下特性：
1、在u＝0时φ（u)达到最大值。
2、当u不论向哪个方向远离0时,φ(u)的值都减小.
3、曲线两侧对称。
4、曲线在u＝－1和u＝1处有两个拐点。
5、曲线与横轴所夹面积等于1。
6、累积分布曲线围绕点(0,0.5）对称。
3。4。3 正态分布表的查法
为了简化计算，随机变量（U)的值（u)落在区间（a,b）内的概率,根据标准正态累积分布函数,已经把不同u值的Ф(u)值列成表（附表2），称为正态分布表.根据以下关系式可以扩展正态分布表的使用范围。
例1 查u＝－0.82及u＝1.15时的Ф(u）值。
解:Ф(—0.82）＝0。20611
Ф(1.15）＝0.87493
例2 随机变量U服从正态分布N(0,1)，问随机变量的值落在0，1.21间的概率是多少？落在－1.96,1.96间的概率是多少?
解:
1) P(0<U<u）
= Ф（1。21)-0.5
=0.88686-0.5000
=0。38686
2）
P（|U|<u）
=1—2Ф(—u）
=1-Ф（—1。96）
=1-0.05000
=0.95000
对于服从N(μ，σ2)的随机变量X,首先要进行标准化变换，使之变为标准正态分布,再按上述方法查表。变换的方法是：
对于随机变量X
在对x进行标准化变换后，即可从正态分布表中查出相应的概率值。
例3 已知高粱品种“三尺三”的株高X服从正态分布N（156.2,4。822），求：1)X〈161厘米的概率;2)X>164厘米的概率；3)X在156－162厘米间的概率.
解：
3。4。4 正态分布的单侧临界值
附表3给出了满足P (U 〉 uα） =α时的uα值。即曲线右侧尾区一定面积(α）下，所对应的u值uα，uα称为α的上侧临界值.
对于左侧尾区，满足P (U <－uα) =α时的－uα值，称为α的下侧临界值。
将α平分到两个尾区，每一尾区的曲线下面积只有α/2，满足P （｜U| > uα/2） =α时的uα/2称为α的双侧临界值.
正态分布的单侧（上侧）和双侧临界值
3。6 中心极限定理
假设所研究的随机变量X可以被表示为许多相互独立的随机变量Xi的和，如果Xi的数量很大,而且每一个别的Xi对于X所起的作用很小,则可以认为X服从或近似地服从正态分布。
推理:若已知总体平均数为μ，标准差为σ，那么，不论该总体是否正态分布，对于从该总体所抽取的含量为n的样本,当n充分大，其平均数渐近服从正态分布N(μ，σ2/n）。
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